不等式證明方法的探索

蔡燕斯

【摘要】不等式滲透在數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，是研究高等數(shù)學(xué)的重要工具.初等數(shù)學(xué)證明不等式主要采用比較法、綜合法、反證法、配方法、放縮法、判別式法、換元法、利用“1”的代換法、數(shù)學(xué)歸納法等.在證明過程中利用基本不等式的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)和數(shù)列的綜合知識.高等數(shù)學(xué)證明不等式主要將函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作為關(guān)注點，從函數(shù)的單調(diào)性、凸性、拉格朗日乘數(shù)法、泰勒公式、微積分中值定理等不同層面對證明不等式的方法進(jìn)行探討.

【關(guān)鍵詞】凸函數(shù)；不等式證明；方法探究

不等式證明在高等數(shù)學(xué)中占有重要的地位，是教學(xué)過程中的一個重點，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個難點.下面列舉了幾個重要的不等式，將函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作為關(guān)注點，從函數(shù)的單調(diào)性、凸性、拉格朗日乘數(shù)法、泰勒公式、微積分中值定理等不同層面對證明不等式的方法進(jìn)行探討.

一、利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

（一）利用函數(shù)的單調(diào)性

利用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)證明不等式，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，判斷其在相應(yīng)區(qū)間的一階導(dǎo)數(shù)的符號，根據(jù)符號得出函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性來證明.

（二）利用函數(shù)的凸性

利用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)證明不等式，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，判斷其在相應(yīng)區(qū)間的二階導(dǎo)數(shù)的符號，根據(jù)符號得出函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間的凸性的定義來證明.

（三）利用函數(shù)極值、最值

將要證明的不等式轉(zhuǎn)化為求極值和最值問題，按照函數(shù)求極值和最值的方法證明，此方法一般適用于不等式的一邊是常數(shù).

（四）利用拉格朗日乘數(shù)法

當(dāng)所證的不等式含有兩個及兩個以上變量時，可利用拉格朗日乘數(shù)法求多元函數(shù)條件極值的方法，選擇合適的目標(biāo)函數(shù)和約束條件.如果沒有明確告訴約束條件，通常把不等式的“一端”作為目標(biāo)函數(shù)，而將“另一端=常數(shù)a”作為約束條件[1].

六、結(jié)束語

證明不等式的方法多種多樣，根據(jù)待證不等式的特點，找到適合的方法可使問題迎刃而解.只有掌握高等數(shù)學(xué)的基本理論和方法，才能熟練掌握其中的技巧，簡便快捷地解決不等式的證明問題.

【參考文獻(xiàn)】

[1]吳鳳珍.不等式證明的高等數(shù)學(xué)方法研究[J].四川文理學(xué)院學(xué)報，2013（2）：10-13.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]楊麗英.柯西不等式的證明及應(yīng)用[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)漢文版），2013（1）：16-20.