一道大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的思考與推廣

王奉龍

【摘要】本文借助定積分的三種表達(dá)形式、廣義積分中值定理、微分中值定理、牛頓—萊布尼茲公式求解該極限題，并將此極限結(jié)果推廣到一般形式.

【關(guān)鍵詞】無(wú)窮和式極限；定積分定義；廣義積分中值定理；微分中值定理

高等數(shù)學(xué)是以函數(shù)為對(duì)象，以微分和積分及其應(yīng)用為內(nèi)容，以極限為手段的一門(mén)學(xué)科，換句話說(shuō)，高等數(shù)學(xué)是用極限來(lái)研究函數(shù)的微分和積分的理論.由于極限貫穿于整個(gè)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程，故極限的計(jì)算顯得尤為重要.在極限求解的學(xué)習(xí)過(guò)程中，作者查閱了相關(guān)教材并閱讀了相關(guān)期刊文章，卻未發(fā)現(xiàn)有與該題類似解題思路的題目，該題顯得極為特殊，故本文將不再贅述其他極限求解的方法，而以一道全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題為例講解此極限題求解的思路與方法，并予以推廣到一般形式.

一、競(jìng)賽真題

三、結(jié) 語(yǔ)

本文主要探討了此類特殊極限的求解思路與方法，對(duì)于極限問(wèn)題的求解，其主要思路就是將題目中未知的信息與我們已知的信息建立聯(lián)系，并使得題目符合極限運(yùn)算的過(guò)程.針對(duì)此題，須借助定積分多種書(shū)寫(xiě)形式建立聯(lián)系，應(yīng)用廣義積分中值定理，微分中值定理—拉格朗日中值定理與牛頓—萊布尼茲公式簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.可見(jiàn)，該題詳盡地考查了定積分定義以及微分中值定理、積分中值定理、牛頓—萊布尼茲公式等微積分主干內(nèi)容，是一道選拔數(shù)學(xué)人才不可多得的好題.極限的運(yùn)算具有極強(qiáng)的技巧性和靈活性，在求解類似特殊極限題之前，應(yīng)對(duì)極限運(yùn)算法則與極限的基礎(chǔ)解法融會(huì)貫通，并適時(shí)地聯(lián)系積分中值定理、微分中值定理、泰勒定理等方能對(duì)此類較為復(fù)雜的極限進(jìn)行求解.

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