高中生對函數(shù)單調(diào)性概念理解誤區(qū)及對策

覃慶東

摘要：函數(shù)的單調(diào)性是中學(xué)數(shù)學(xué)非常重要的一門課程，其概念課的教學(xué)是是整個函數(shù)單調(diào)性學(xué)習(xí)和理解基礎(chǔ).研究函數(shù)的單調(diào)性，其作用并不僅僅在于數(shù)學(xué)本身的要求，也是解決實際生活中問題的一個重要手段.本文就針對函數(shù)的單調(diào)性這一課程的概念教學(xué)和學(xué)習(xí)，首先了解學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性概念課會遇到的困難，然后對教師在教授函數(shù)單調(diào)性這一概念課給出相應(yīng)建議.

關(guān)鍵詞：高中生；函數(shù)單調(diào)性；困難；對策

1前言

數(shù)學(xué)概念是反映一類對象本質(zhì)屬性的思維方式，它具有抽象性和具體性這雙重屬性.數(shù)學(xué)概念如同數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)推理以及其它數(shù)學(xué)對象一樣，都是理想存在，因而其形象都是抽象形象.但數(shù)學(xué)離不開現(xiàn)實，他不過是將現(xiàn)實問題運用形式化，符號化后的語言描述，因而它也有具體的一面.許多老師及同學(xué)過分注意到概念的抽象性的一面，忽視了具體性，甚至在當(dāng)前有的地方只顧應(yīng)試學(xué)習(xí)的前景下，只讓學(xué)生記住有關(guān)概念內(nèi)容，然后進(jìn)行大量的強化訓(xùn)練，遇到有關(guān)問題時生搬硬套，這種教學(xué)方式既不符合教育的理念又與當(dāng)前的素質(zhì)教育的大趨勢相違背。

2學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性概念會遇到的困難

2.1函數(shù)單調(diào)性的概念

函數(shù)單調(diào)性的概念：如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1、 x2，當(dāng)x1< x2時，都有f（x1） f （x2），那么就說在這個區(qū)間上是減函數(shù)。

2.2學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性概念會遇到的困難

函數(shù)是一個抽象的概念，作為它的第一個基本性質(zhì)：函數(shù)的單調(diào)性，也是相對抽象和難理解的.學(xué)生仍處于由具體轉(zhuǎn)為抽象的過程中，對函數(shù)調(diào)性的學(xué)習(xí)將會存在很多的困難.學(xué)生存在的困難和誤解大部分體現(xiàn)在作業(yè)和考試中，也就是教師口中的“錯誤”。

學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性會出現(xiàn)的誤區(qū)1.寫單調(diào)性沒寫區(qū)間，多個區(qū)間不懂或忽視了用逗號隔開；2.對定義中的“任意”兩個字不理解，忽視定義域，非連續(xù)性圖像的單調(diào)性判斷容易出錯；3.對于用定義法證明單調(diào)性運用上不夠理解和掌握.

針對概念課會出現(xiàn)的問題，從函數(shù)單調(diào)性學(xué)生經(jīng)典易錯題進(jìn)行分析。

例：______

（1）挖掘教材，廣泛閱讀參考教材

備課中對教材的熟練以及掌握情況，自然是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的充分且必要的前提.教師應(yīng)忠實于教材，尊重教材.對教材中不懂的、不能明確掌握的、和已有知識的觀點和表達(dá)有差別的，應(yīng)該要用誠懇的、謙遜的態(tài)度去充分揣摩和理解教材編者的設(shè)計想法。

例如，對一般的學(xué)生來說，關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的概念，都有一個直觀通俗的認(rèn)識：所謂函數(shù)的單調(diào)性，就是函數(shù)圖像的“上升”和“下降”.但是，教材卻用黑色字體醒目地解釋為：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為I：如果對于定義域I內(nèi)某區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1， x2，當(dāng)x1< x2時，都有f（x1）< f（x2），那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)（increasing function）；如果對于定義域I內(nèi)某區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1， x2，當(dāng)x1< x2時，都有f（x1）

（2）教會學(xué)生掌握“概念教學(xué)的三要素”

第一要素是，掌握概念的內(nèi)涵和外延。

我們已經(jīng)知道，所謂內(nèi)涵，就是概念的本質(zhì)屬性.除了研究概念的內(nèi)涵之外，我們還需要掌握概念的外延.如果說，概念的內(nèi)涵是給概念下定義，做一個詳細(xì)的描述，那么概念的外延就是給概念做一個分類.如果，我們能夠準(zhǔn)確的認(rèn)知概念的內(nèi)涵和外延，等價于掌握了概念的“定義”和分類。

例如：函數(shù)單調(diào)性的外延，函數(shù)的單調(diào)性的概念中“定義域I內(nèi)某區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1， x2”，其中“任意”兩個字是怎么理解的呢？無窮多個x1< x2，有f（x1）f（x2），不能說明函數(shù)是單調(diào)遞減的.只有在這個區(qū)間D內(nèi)的任意x1， x2，有f（x1）f（x2）），才能說是單調(diào)函數(shù).比如，當(dāng)某一個函數(shù)的D1和D2區(qū)間同時具有相同的單調(diào)性時，我們只能說這個函數(shù)在D1和D2區(qū)間分別具有某一單調(diào)性.而不能說是這個函數(shù)在D1∪D2區(qū)間上具有這一單調(diào)性。

第二要素是：弄清概念在其所處知識體系中的地位和作用

數(shù)學(xué)概念都是自己的結(jié)構(gòu)，翻開教學(xué)課本的目錄和每一章的小結(jié)都可以清楚的看到每一節(jié)課在本章的位置，以及在整本教材的位置，通過位置和篇幅我們都可以大致判斷該節(jié)課在整個知識體系的作用，只有弄清楚它的“位置”，我們才能擺脫思維的狹隘。

第三要素是：準(zhǔn)確掌握數(shù)學(xué)概念的三個識記：定義、名稱、符號。

在概念的教學(xué)過程中，教師有時候展示概念的定義，有時候展示概念的名稱，有時候記成符號.提醒學(xué)生在預(yù)習(xí)過程中，要從定義、名稱及符號三個方面進(jìn)行識記，以防正式上課的時候沒有能夠及時反映過來老師在講什么。

（3）保證學(xué)生思維活動和實踐的時間

給學(xué)生思考的時間，就是不要過早地把結(jié)果拋給學(xué)生，給學(xué)生多一些建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的時間和空間.在學(xué)生思考或者回答問題時，教師應(yīng)該認(rèn)真聆聽學(xué)生，尤其是一些學(xué)生不太對或者與老師思路不一樣的地方，這個時候應(yīng)該沉著冷靜，可以請別的同學(xué)起來發(fā)言，或者組織學(xué)生之間交流討論，使學(xué)生的思維活動過程清晰地呈現(xiàn)出來。

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，首先要對不同材料理解，通過直覺獲得相應(yīng)知識的大量感性知識；其次，學(xué)生用語言和符號，來描述對“直覺”的理解；最后，用數(shù)學(xué)符號和相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)關(guān)系，進(jìn)行邏輯推理.這三個過程都是短時間不能完成的.教師在教學(xué)時采用“想一想、做一做、議一議”等方式，給學(xué)生實踐、探索的時間.這樣做，能夠使學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會怎樣學(xué)習(xí)、怎樣收獲和提高自己，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力，提高數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)。