數(shù)學(xué)史視角下正弦定理的教學(xué)設(shè)計

【摘 要】數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計時需圍繞“為什么要教”和“如何有效地教”兩個問題展開，在教學(xué)融入數(shù)學(xué)史的知識，深化教學(xué)，增添教學(xué)趣味。教學(xué)設(shè)計中利用“現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)”和“再創(chuàng)造”的教學(xué)原則組織教學(xué)過程，有助于說明教學(xué)內(nèi)容的重要性和促進(jìn)課堂教學(xué)的有效性。

【關(guān)鍵詞】正弦定理；數(shù)學(xué)文化；數(shù)學(xué)史

一、背景介紹

遠(yuǎn)在公元前3000年，人們已經(jīng)在實(shí)際測量中發(fā)現(xiàn)三邊比例為 3∶4∶5 的三角形一定是直角三角形，后來發(fā)展為現(xiàn)在所熟知的畢達(dá)哥拉斯定理或稱勾股定理。勾股定理可以看作是余弦定理的特殊情況，但兩個定理的發(fā)現(xiàn)完全在不同的歷史時代。歐幾里得（Euclid）最早給出了正弦與余弦的定義，提供了邊與角的關(guān)系。歷法和航海的發(fā)展要求人們對球面進(jìn)行研究，所以從歷史發(fā)展順序看，球面三角的發(fā)展先于平面三角。直到 1450 年后，由于平面三角在測量中的重要性，它才被突顯出來受到重視。

二、教材分析

“解三角形”既是高中數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容，又有較強(qiáng)的應(yīng)用性，并獨(dú)立成章。這部分內(nèi)容從知識體系上看，應(yīng)屬于三角函數(shù)這一章，從研究方法上看，可以歸屬于向量應(yīng)用的一方面。這部分內(nèi)容也是用代數(shù)方法解決幾何問題的典型內(nèi)容之一。本課“正弦定理”，作為單元的起始課，是在學(xué)生已有的三角函數(shù)及向量知識的基礎(chǔ)上，通過對三角形邊角關(guān)系作量化探究，發(fā)現(xiàn)并掌握正弦定理（重要的解三角形工具），通過這一部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在“實(shí)際問題”抽象成“數(shù)學(xué)問題”的建模過程中，體驗(yàn)“觀察——猜想——證明——應(yīng)用”這一思維方法，養(yǎng)成大膽猜想、善于思考的品質(zhì)和勇于求真的精神。

三、正弦定理的教學(xué)設(shè)計

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

將數(shù)學(xué)放置在生活的情境中，加之我國的數(shù)學(xué)文化多數(shù)是以數(shù)學(xué)史的內(nèi)容與教學(xué)內(nèi)容的相結(jié)合。由此借助數(shù)學(xué)史的名人，名題或者上升到高層次借助數(shù)學(xué)名題的解決思路進(jìn)而改編成為適合自己教學(xué)的方法。

創(chuàng)設(shè)情境：早在1671年，法國科學(xué)家就測量出了地球到月球的距離。大家可想而知，當(dāng)時在沒有現(xiàn)代的高科技支撐下科學(xué)家為之奮斗最終測量出來了他們之間的距離。他們的奉獻(xiàn)精神值得我們大家學(xué)習(xí)。思考：如何進(jìn)行測量？今天，大家來做一次科學(xué)家，經(jīng)歷一側(cè)科學(xué)家的探索。

（二）問題導(dǎo)入，激發(fā)興趣

這里需要注意的是問題的導(dǎo)入是為了后邊內(nèi)容做好鋪墊。由此，該問題必需全堂課的引線，要發(fā)揮其作用。不僅僅是增設(shè)認(rèn)知沖突。

問題導(dǎo)入： 如圖所示，某一條小河兩岸共有三個村莊。已知了∠ABC=60°和∠ACB=45°的大小以及BC=50KM，問，在不過河的情況下如何測出村莊B，C分到村莊A的距離。

問題1：“不過河”如何解釋？

問題2：你見過相似的問題嗎？

問題3：如何轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)問題？

講解：設(shè)置問題串，將問題細(xì)化逐步分解。逐步引導(dǎo)。

（三）引入新知，解決問題

在這個環(huán)節(jié)，實(shí)際問題要轉(zhuǎn)化成為數(shù)學(xué)問題。通過新舊知識的聯(lián)系，注重學(xué)生的知識增長。

數(shù)學(xué)模型：如圖所示，已知∠B=60°，∠C=45°，a=50km.求b，c的長度。

問題4：回憶解直角三角形的內(nèi)容。

講解：該問題除了回憶直角三角形相關(guān)的正弦，余弦和正切。還需要轉(zhuǎn)換形式得出正弦定理的表達(dá)式。

探究一：在銳角三角形中，該等式是否成立。

問題5：如何在銳角三角形中出現(xiàn)正弦、余弦與正切。

問題6：如何在銳角三角形中做出直角。

講解：兩個問題的設(shè)置起到了架橋鋪路的作用。

探究二：探究銳角三角形中正弦定理的正確性。

此時，在直角三角形和銳角三角形中，等式■=■=■成立。若在鈍角三角形中該等式也成立，則三角形的范圍將進(jìn)一步擴(kuò)展到任意三角形。

思考1：鈍角三角形中該等式是否也成立。

講解：體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。對于正弦定理在鈍角三角形中是否成立的驗(yàn)證過程將留作課后作業(yè)。

探究三：用其他方法在銳角三角形中證明正弦定理。

講解：歷史上數(shù)學(xué)名家曾用多種方法求解正弦定理。在銳角三角形中，還可以采用等面積法，外接圓法。這一過程是數(shù)學(xué)文化的滲透，感受數(shù)學(xué)名家的智慧。

思考2：該定理能解決那類問題。

講解：設(shè)置該問題是為了讓學(xué)生經(jīng)歷主動發(fā)現(xiàn)，探究，得出結(jié)論的過程。明確解決問題的類型，應(yīng)用更具針對性。

（四）鞏固基礎(chǔ)，變式訓(xùn)練

這一環(huán)節(jié)的練習(xí)題需要教師由易到難，分層次練習(xí)。在學(xué)生學(xué)習(xí)初始對概念的應(yīng)用會有些生疏。需要教師逐步引領(lǐng)。

例題1.在△ABC中，已知A=32.0°，B=81.8°，a=42.9cm，解三角形。

講解：充分給學(xué)生自己動手的時間和機(jī)會，由于本題是唯一解，為將來學(xué)生感悟什么情況下三角形有唯一解創(chuàng)造條件。

1.課堂小結(jié)

2.作業(yè)布置

四、總結(jié)

整體設(shè)計符合數(shù)學(xué)教育家波利亞的《怎樣解題》給出了四個步驟，整體滲透數(shù)學(xué)史，加深數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn)。在教學(xué)中，體現(xiàn)以學(xué)生為主，設(shè)置教學(xué)發(fā)展區(qū)，做到“備而不課”。真正做到引導(dǎo)學(xué)生思考，尊重學(xué)生的思維發(fā)展。

作者簡介：栗肖飛（1993-）女，漢，山西大同人，目前就讀于天津師范大學(xué)教師教育學(xué)院，，是碩士一年級的學(xué)生，研究方向：學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）。

參考文獻(xiàn)：

[1]王海青.數(shù)學(xué)史視角下“正弦定理”和“余弦定理”的教學(xué)設(shè)想[J].教學(xué)與管理，2017（28）：67-69.

[2]李昌官.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)順其自然、追求自然[J].課程.教材.法，2005（12）：38-42.

[3]黃紅梅，歐慧謀.數(shù)學(xué)文化的教育價值[J].教學(xué)與管理，2018（03）：86-88. [4]莫里斯·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想（第一冊）[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2014.