一道組合計數(shù)問題的推廣

曹博瑞，劉 鐵

（安康學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，陜西 安康 725000）

在《競賽數(shù)學(xué)教程》一書中有這樣一道組合計數(shù)題：“在m×n(m≤n)的方格中，有多少個平行于網(wǎng)格線的長方形和正方形？”[1]，此題表述簡單，但內(nèi)涵豐富，以一個簡單的幾何計數(shù)問題為載體，重點考察學(xué)生的歸納推理、分類討論、數(shù)形結(jié)合的能力，以及由特殊到一般的思想方法，凸顯了對學(xué)生創(chuàng)造性思維能力考查。所謂計數(shù)問題，就是要計算給定的有限集合的元素個數(shù)，此類問題不僅是日常生活中經(jīng)常遇到的問題，也是數(shù)學(xué)競賽中常見的一類問題，還是組合數(shù)學(xué)各個模塊的重要基礎(chǔ)。目前人們已經(jīng)總結(jié)出許多計數(shù)的方法和技巧，如枚舉法、映射法、遞推法等，書中此題就用到了映射法，但過程過于簡略，不利于學(xué)生理解。本文對此問題給出了詳細(xì)的求解過程，并將問題推廣到空間中，且予以詳盡解答，得到了相應(yīng)的結(jié)論。

1 計數(shù)方法：映射法

當(dāng)我們遇到組合計數(shù)問題時，如果直接計算集合A中的元素個數(shù)較困難，則可設(shè)法建立一個從集合A到集合B的雙射f，并且集合B中的元素個數(shù)容易算出，那么所求集合A中的元素個數(shù)為，這種計數(shù)方法稱為映射法（或配對原理）。

2 問題與求解

問題1在m×n(m≤n)的方格中（如圖1為5×7的方格），有多少個平行于網(wǎng)格線的長方形和正方形？

圖1 5×7的方格

解（1） 求長方形個數(shù)。

在m×n(m≤n)的方格中，有m+1條橫邊，n+1條豎邊。因為正方形是特殊的長方形，所以正方形也是長方形。長方形有4條邊，每個長方形的兩條橫邊可以從m+1條橫邊中任意選取，有C2m+1種取法，兩條豎邊可以從n+1條豎邊中任意選取，有C2n+1種取法，這種取法是一一對應(yīng)的。故長方形的個數(shù)為

（2）求正方形個數(shù)。

當(dāng)正方形的邊長為1時，讓橫（豎）邊的第1條作為它其中的一條橫（豎）邊，則只能取第2條橫（豎）邊作為其對邊，以此類推，讓橫（豎）邊第2，3，…，m-1（或n-1），m（或n） 條作為正方形其中一條橫（豎） 邊，則只能取第3，4，…，m（或n），m+1（或n+1） 條橫（豎） 邊作為其對邊。所以，其橫、豎邊各有(m+1-1)=m、(n+1-1)=n種取法，利用乘法原理，則邊長為1的正方形有(m+1-1)(n+1-1)=mn個。

同理，當(dāng)正方形的邊長為2，3，…，m-1，m時（因為在m×n的方格中，m≤n，所以構(gòu)成的正方形的最大邊長只能取到m），對應(yīng)邊長的正方形分 別 有 (m+1-2)(n+1-2)， (m+1-3)(n+1-3)， … ，[m+1-(m-1)][n+1-(m-1)]，(m+1-m)(n+1-m)個。

所以，所求方格中含有邊長為k的正方形個數(shù)一一對應(yīng)于其中相距為k個小方格的兩條橫邊和兩條豎邊的選取方法，故所求方格中含有的正方形個數(shù)為

特別地，當(dāng)m=n時，其長方形個數(shù)為

其正方形個數(shù)為

3 問題推廣

此問題如果推廣到空間上，情況又如何呢？即有

問題2由m×n×k(m≤n≤k)個小正方體組成的空間立體中（如圖2為5×5×6的空間立體），有多少個平行于網(wǎng)格面的長方體和正方體？

圖2 5×5×6的空間立體

解求長方體和正方體的個數(shù)與求長方形和正方形的個數(shù)的方法類似。

（1）求長方體個數(shù)。

在由m×n×k(m≤n≤k)個小正方體組成的空間立體中，有m+1個橫面，n+1個縱面及k+1個水平面。因為正方體是特殊的長方體，所以正方體也是長方體。長方體有6個面，每個長方體的兩個橫面可以從m+1個橫面中任意選取，有種取法，兩個縱面可以從n+1個縱面中任意選取，有種取法，兩個水平面可以從k+1個水平面中任意選取，有種取法，這種取法是一一對應(yīng)的。故長方體的個數(shù)為

（2）求正方體個數(shù)。

當(dāng)正方體的棱長為1時，讓橫（縱、水平）面的第1個面作為它其中的一個橫（縱、水平）面，則只能取第2個橫（縱、水平）面作為其對面，以此類推，讓橫（縱、水平） 面第2，3，…，m-1（或n-1，k-1），m（或n，k） 個面作為正方體的一個橫（縱、水平）面，則只能取第3，4，…，m（或n，k），m+1（或n+1，k+1） 個橫（縱、水平）面作為其對面。所以，其橫、縱、水平面各有(m+1-1)=m、(n+1-1)=n、(k+1-1)=k種取法，利用乘法原理，則棱長為1的正方體有(m+1-1)(n+1-1)(k+1-1)=mnk個。

同理，當(dāng)正方體棱長為2，3，…，m-1，m時（因在m×n×k正方體組成的空間立體中，m≤n≤k，所以要構(gòu)成正方體其最大棱長只能取到m），對應(yīng)棱長的正方體分別有(m+1-2)(n+1-2)(k+1-2)，(m+1-3)(n+1-3)(k+1-3)，…，[m+1-(m-1)][n+1-(m-1)][k+1-(m-1)]，(m+1-m)(n+1-m)(k+1-m)個。

所以，所求空間立體中含有棱長為i的正方體個數(shù)一一對應(yīng)于其中相距為i個面的兩個橫（縱、水平）面的選取方法，故所求空間立體中含有的正方體個數(shù)為

特別地，當(dāng)n=m=k時，其長方體個數(shù)為其正方體個數(shù)為