在解決問題教學中根植模型思想

曾國山

摘 要：數(shù)學思想不同于外顯的基本知識和基本技能，它是內隱的，隱藏在數(shù)學知識中，需要教師在課堂教學中去挖掘。由于學生的年齡特點和知識經(jīng)驗積累較少，教師要善于挖掘、提煉蘊藏于教材知識、技能中的數(shù)學思想，讓數(shù)學思想在課堂教學中顯現(xiàn)出來，注重讓學生經(jīng)歷感悟、體會、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造等過程，感悟數(shù)學思想。以義務教育教科書六年級上冊《分數(shù)除法》例7“解決問題”的課堂教學為例，談談如何在課堂教學中根植數(shù)學模型思想。

關鍵詞：數(shù)學；模型；思想

一、在活動中體驗模型思想

杜威指出，教學的基本原則是“做中學”。他提出：以活動教學代替課堂講授，以兒童親身經(jīng)歷代替書本知識，以學生的主動活動代替教師的主導。因此，課堂教學中要真正落實數(shù)學教學就是數(shù)學活動的教學。在《分數(shù)除法》例7“解決問題”的教學中，通過創(chuàng)設不同的問題情境，引導學生在提出問題、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題過程中，采用說一說、想一想、猜一猜、算一算、比一比等活動，讓學生經(jīng)歷數(shù)學學習的全過程，真真切切地在具體的學習活動中體驗模型思想。

二、在探索中感悟模型思想

（一）創(chuàng)設情境，遷移模型

師：同學們，為了方便大家出行，施工隊正在修一條720米的道路。（課件出示）甲隊單獨修12天能完成，乙隊單獨修18天能完成。讓學生說一說從中知道哪些數(shù)學信息？

通過創(chuàng)設有效的具體情境，讓學生找出已知條件，說出工作總量和工作時間這兩種量，幫助學生激發(fā)已有的認知，再引導學生進一步找出隱含的條件，即工作效率。從而回顧工作總量、工作時間和工作效率三者之間的數(shù)量關系：工作時間×工作效率=工作總量、工作總量÷工作效率=工作時間、工作總量÷工作時間=工作效率，促進學習的正向遷移，初步感知三種數(shù)量之間關系的數(shù)學模型，為學習新知做好鋪墊。

（二）猜想驗證，遷移模型

1.猜想

課件出示：修一條720米的道路，甲隊單獨修12天完成，乙隊單獨修18天完成，如果兩隊合修，多少天能完成？

（1）理解：“合修”是什么意思？

（2）猜想：猜一猜兩個隊一起修路，大約幾天能修完？（學生猜測并說一說理由。）

（3）驗證：學生獨立完成。

（4）匯報：720÷（720÷12+720÷18）=7.2（天），并讓學生說說每一步表示的意義。

教師先引導學生理解題意，通過學生交流，讓學生知道“合修”就是要求出甲乙兩隊的工效之和；再進行猜想“幾天能完成”，在猜測中預測結果，理解結果的合理性，提高學生參與學習的熱情。學生通過計算加以驗證，在獨立計算中，運用已有“工作總量÷工作效率=工作時間”的數(shù)學模型解決帶有具體工作總量的實際問題。

2.對比

課件出示例題7：修一條道路，一隊單獨修12天完成，二隊單獨修要18天完成。如果兩隊合修，多少天能修完？

（1）觀察：從以上條件，我們可以獲得什么信息？

（2）對比：課件同時出示情境問題和例7，引導學生進行對比，發(fā)現(xiàn)道路總長（工作總量）未知。

（3）思考：①要知道合修的時間，需要知道什么？②現(xiàn)在道路總長未知，該怎么辦？

（4）假設：（預設36米、180米、360米等。引導學生考慮采用12和18的公倍數(shù)會便于計算）。

學生通過觀察、討論，知道要求合修的時間，就必須知道工作總量和工作效率；再引導學生進行對比，發(fā)現(xiàn)道路全長未知，進一步引導學生思考：該怎么辦？運用知識遷移，得出用假設法把抽象的問題具體化，如果道路總長是已知的，這個問題就轉化成以前學過的舊知識了，使得復雜的數(shù)量關系簡單化。

3.驗證，辨析各種解法

（1）嘗試：選擇其中一個數(shù)據(jù)，解決問題。

（2）匯報：指名說說自己的解決方案并板書。教師再次引導幾位學生說出假設的具體數(shù)量，然后馬上說出答案，并提問：為什么老師能根據(jù)你們的不同假設這么快地說出答案呢？

（3）觀察：引導學生仔細觀察，發(fā)現(xiàn)：無論道路總長假設多少，它們的計算結果都一樣。

（4）討論：為什么假設不同的數(shù)據(jù)，計算出的結果卻都一樣？

大膽放手讓學生自主探究，不同的學生假設的長度不一樣，體現(xiàn)了解決問題方法的多樣化和開放性。再進行結果的驗證和辨析，既是學生自主探究的有效方法，又讓學生體驗發(fā)散性思維。另外，因為學生的認知基礎不同，允許驗證的方法多樣化，對于正確的答案都能給予肯定，讓學生享受成功的喜悅。

4.建模，策略優(yōu)化

（3）小結：這道題沒有給出具體的工作總量，我們可以把工作總量看作單位“1”。用工作總量除以工作效率之和，即可求得兩隊合修所需的工作時間。

教師引導學生觀察，發(fā)現(xiàn)這里的“36”“720”和“1”都表示工作總量，用工作總量除以兩隊的工作效率之和，即可求得兩隊合修所需的工作時間。

在探究過程中，引導學生發(fā)現(xiàn)并思考問題中工作總量的數(shù)據(jù)發(fā)生變化而計算結果不變的原因，“變中有不變”即“工作總量變了，工作時間還是不變”，引導學生分析此類工程問題的特點，充分體驗解決不帶具體數(shù)量的工程問題與帶有具體數(shù)量的數(shù)學模型同樣適用，讓學生自主有效地建構模型思想。

參考文獻：

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[2]朱凱東.問題教學是培養(yǎng)創(chuàng)新意識的源泉[J].廣西教育， 2005（10）.