“電磁場(chǎng)與電磁波”教學(xué)中物理模型的構(gòu)建方法和作用研究

蘭俊卿，杜國(guó)宏

（成都信息工程大學(xué)，四川 成都 610225）

1 物理模型的概念

物理模型是指人們借助特定物理場(chǎng)景，對(duì)復(fù)雜實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象化處理，得出的一種能形象反映問(wèn)題本質(zhì)特性的現(xiàn)象、過(guò)程或結(jié)構(gòu)模型等[1]。人們通過(guò)學(xué)習(xí)和研究物理模型，了解原型客體特性及其運(yùn)動(dòng)和變化規(guī)律。在教學(xué)過(guò)程中，合理構(gòu)建物理模型既可以幫助學(xué)生以更加直觀、形象的方式來(lái)分析和研究問(wèn)題，又可以加深學(xué)生對(duì)于知識(shí)的理解，讓學(xué)生了解知識(shí)的潛在應(yīng)用價(jià)值，從而從根本上提升學(xué)生分析和解決物理問(wèn)題的能力[2-3]。

“電磁場(chǎng)與電磁波”是工科電類專業(yè)必修的一門基礎(chǔ)理論課。學(xué)生通過(guò)本門課程的學(xué)習(xí)，可以掌握電磁場(chǎng)和電磁波的基本概念和基本理論，同時(shí)為后續(xù)相關(guān)專業(yè)課程學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。但是通過(guò)多年教學(xué)發(fā)現(xiàn)，在課程教學(xué)過(guò)程中存在諸多問(wèn)題。

1.1 課程內(nèi)容抽象

在課程學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生耗費(fèi)大量時(shí)間研究復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和進(jìn)行枯燥的解析求解。學(xué)生無(wú)法為電磁場(chǎng)和電磁波構(gòu)建形象化的物理模型，不能從根本上認(rèn)識(shí)電磁場(chǎng)的存在形式和變化規(guī)律。

1.2 課程中包含大量的理論推導(dǎo)

需要用到先前學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)。但是在數(shù)學(xué)課程中，重點(diǎn)是放在數(shù)學(xué)分析上，沒(méi)有為數(shù)學(xué)定義構(gòu)建形象化的物理模型，無(wú)法認(rèn)識(shí)到相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的物理應(yīng)用。因此，在“電磁場(chǎng)與電磁波”中使用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的時(shí)候，學(xué)生難以理解數(shù)學(xué)公式所代表的物理意義。

1.3 課程重點(diǎn)是理論知識(shí)

課程無(wú)法有效提升學(xué)生們分析和解決電磁場(chǎng)問(wèn)題的能力，同時(shí)也無(wú)法激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，這樣不僅不利于后續(xù)相關(guān)課程的開展，也無(wú)法從根本上提升學(xué)生的能力[4]。

為了有效解決以上問(wèn)題，本文提出，在課程講授中應(yīng)該重視物理模型在整個(gè)教學(xué)中的作用。面對(duì)復(fù)雜抽象的電磁場(chǎng)問(wèn)題，首先，要合理選擇物理場(chǎng)景，建立讓學(xué)生容易理解、能夠反映物理問(wèn)題本質(zhì)屬性的物理模型。其次，為課程中常用的、抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)物理模型，重在讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)背后潛在的物理應(yīng)用。最后，在物理模型的基礎(chǔ)上，通過(guò)分析物理過(guò)程可以幫助學(xué)生更加客觀地認(rèn)識(shí)和理解物理現(xiàn)象的本質(zhì)。更重要的是，可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫹治瞿芰?，從根本上提升學(xué)生分析和解決物理問(wèn)題的能力。本文將通過(guò)對(duì)以上3點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行詳細(xì)闡述，來(lái)探究物理模型的構(gòu)建方法和作用。

2 合理選擇物理場(chǎng)景，反映物理問(wèn)題本質(zhì)

首先，在構(gòu)建物理模型的時(shí)候，由于學(xué)生的知識(shí)背景和理解能力不盡相同，所以新構(gòu)建的物理模型必須要簡(jiǎn)單、易懂。其次，新構(gòu)建的物理模型不應(yīng)該拘泥于電磁場(chǎng)這門學(xué)科，應(yīng)該將學(xué)生引入熟悉的物理場(chǎng)景，或者生活中經(jīng)常遇到的以及學(xué)生們感興趣的事情上。這樣不僅可以幫助學(xué)生們以更加簡(jiǎn)單的方式來(lái)理解抽象的電磁現(xiàn)象，還能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。最后，物理模型一定要具備反映原物理問(wèn)題本質(zhì)特性的功能。本文將通過(guò)“均勻平面波”概念的講解來(lái)探討以上內(nèi)容。

“均勻平面波”是電磁波的一種理想情況，作為最簡(jiǎn)單的電磁波傳播形式，是學(xué)習(xí)和研究電磁波的基礎(chǔ)，在“電磁場(chǎng)與電磁波”課程教學(xué)中占有重要的地位。由于電磁波是看不見(jiàn)、摸不著的，在教學(xué)過(guò)程中，如何讓學(xué)生理解均勻平面波的傳播特性就成為課程講授的最大難點(diǎn)。本文將通過(guò)引入新穎的物理場(chǎng)景，為學(xué)生構(gòu)建能夠反映均勻平面波傳播特性的物理模型。

首先，在物理場(chǎng)景的選擇上，本研究突破了電磁場(chǎng)這門學(xué)科的束縛。我們選擇通過(guò)抽動(dòng)拔河所用的麻繩所產(chǎn)生的“振動(dòng)波”來(lái)構(gòu)建均勻平面波物理模型。這樣將同學(xué)們的思維從復(fù)雜的電磁場(chǎng)模式轉(zhuǎn)換到拔河場(chǎng)上。因?yàn)榻^大多數(shù)同學(xué)都參與過(guò)拔河比賽，可以較容易地聯(lián)想到，當(dāng)上下抽動(dòng)麻繩一端時(shí)，麻繩會(huì)產(chǎn)生半圓弧狀“突起”，突起會(huì)沿著麻繩傳播。為了簡(jiǎn)化模型，我們假設(shè)繩子無(wú)限長(zhǎng)，同時(shí)假設(shè)每次抽動(dòng)都是相同的，并且突起在傳播過(guò)程中沒(méi)有能量損耗。這樣就借助麻繩建立起一個(gè)典型的“振動(dòng)波”傳播模型。即每抽動(dòng)一下繩子，就會(huì)有一個(gè)特定半圓弧形狀“突起”產(chǎn)生并沿著繩子一直傳播下去。

其次，在構(gòu)建了物理場(chǎng)景之后，將引入“波陣面”的概念。波陣面是空間相位相同的點(diǎn)構(gòu)成的曲面。為了讓同學(xué)們理解什么是相位相同的點(diǎn)，構(gòu)建如圖1所示的振動(dòng)波模型。

圖1 振動(dòng)波模型

如圖1所示，在yoz平面上，每間隔m距離放置一根麻繩，繩子平行于z軸。在不同的時(shí)間分別抽動(dòng)每一根麻繩左端點(diǎn)。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間t后，呈現(xiàn)如圖所示的情況。所謂“相位相同點(diǎn)”就是圖1中麻繩“突起”上相對(duì)位置相同的點(diǎn)（例如圖1中所示p1，p2和p3是3個(gè)突起的峰值點(diǎn)，就是一組相位相同的點(diǎn)）。當(dāng)繩間距m減小的時(shí)候，在y方向，相同距離就可以放置更多的麻繩。當(dāng)m趨于0的時(shí)候，在yoz平面上就可以放置無(wú)數(shù)根麻繩（繩子粗細(xì)忽略不計(jì)）。我們把每個(gè)突起的相位相同點(diǎn)連起來(lái)就構(gòu)成了一條曲線。這個(gè)時(shí)候我們可以把這條曲線叫作“波陣線”。上面研究的情況是集中在yoz二維平面上，將上述情況沿著z軸擴(kuò)展到三維，把垂直于z軸的每個(gè)平面上的“波陣線”進(jìn)行連接就構(gòu)成了一個(gè)曲面，這個(gè)曲面就是“波陣面”。

知道了波陣面的概念之后，假設(shè)抽動(dòng)繩子的時(shí)間是相同的，那么這個(gè)時(shí)候上述模型中的波陣線就是平行于y軸的一條直線，那么波陣面就是一個(gè)平面。所謂“平面波”就是指當(dāng)波陣面是平面時(shí)的情況。這里我們研究的場(chǎng)量是振幅。假設(shè)每次抽動(dòng)繩子的狀態(tài)都是相同的，在平面波上，任一點(diǎn)上繩子的振幅狀態(tài)都是相同的，所以任意點(diǎn)上振幅和（x，y）坐標(biāo)沒(méi)有關(guān)系。這種情況下，我們就可以把這個(gè)平面波叫作“均勻平面波”。

通過(guò)上述實(shí)例，我們選擇“拔河”作為物理場(chǎng)景，通過(guò)構(gòu)建由拔河繩產(chǎn)生的“振動(dòng)波模型”來(lái)講解均勻平面波。雖然振動(dòng)波和電磁波有本質(zhì)上的不同，但是對(duì)于“均勻平面波”的概念來(lái)說(shuō)，卻沒(méi)有本質(zhì)的區(qū)別。同學(xué)們通過(guò)學(xué)習(xí)由振動(dòng)波構(gòu)建的平面波模型容易理解相位相同點(diǎn)、波陣面、平面波等均勻平面波概念中的難點(diǎn)。更重要的是，同學(xué)們可以為自己構(gòu)建出一個(gè)清晰的“平面波模型”。

3 數(shù)學(xué)物理模型構(gòu)建方法

在構(gòu)建數(shù)學(xué)物理模型的時(shí)候，不僅應(yīng)該重視數(shù)學(xué)推導(dǎo)，更應(yīng)加強(qiáng)對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)潛在物理應(yīng)用的學(xué)習(xí)。本文提出通過(guò)引入物理模型，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)背后潛在的物理應(yīng)用。

在電磁場(chǎng)理論學(xué)習(xí)中，“梯度”是描述電磁場(chǎng)的重要數(shù)學(xué)概念。教學(xué)實(shí)踐證明雖然在數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)梯度，但是很多同學(xué)認(rèn)為梯度概念抽象，不清楚梯度可能的物理應(yīng)用在哪里。本文將通過(guò)構(gòu)建“梯度”物理模型，研究數(shù)學(xué)物理模型的構(gòu)建方法和意義。

首先，本文將以“爬山”作為物理場(chǎng)景，在如圖2所示的理想圓柱狀山峰中構(gòu)建標(biāo)量場(chǎng)的等值面模型。

圖2 溫度場(chǎng)等值面模型

由于溫度是標(biāo)量，所以山峰間溫度場(chǎng)可以表示為：

所謂“標(biāo)量場(chǎng)的等值面”就是指標(biāo)量函數(shù)取得相同數(shù)值的點(diǎn)時(shí)形成的一個(gè)空間曲面。所以圖3中，溫度場(chǎng)的等值面就是函數(shù)u取得相同數(shù)值的點(diǎn)時(shí)得到的曲面，即：

為了簡(jiǎn)化模型，本文假設(shè)溫度只和山峰的高度有關(guān)，那么溫度就可以表示為：

如圖2所示，溫度場(chǎng)的等值面就是垂直于z軸的平面。

其次，將在圖2溫度等值面模型的基礎(chǔ)上引入“方向?qū)?shù)”概念。爬山是大多數(shù)同學(xué)都親身實(shí)踐過(guò)的一項(xiàng)戶外活動(dòng)。在爬山的時(shí)候，尤其是遇到高度落差較大的山峰時(shí)候，會(huì)感覺(jué)到隨著高度的變化，溫度會(huì)出現(xiàn)明顯的下降（理論上平均每上升100 m，溫度會(huì)下降0.6 ℃），如圖3所示。

圖3 方向?qū)?shù)模型

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A0時(shí)溫度瞬間變化率可以表示為：

式（5）就是標(biāo)量溫度場(chǎng)u在點(diǎn)A處沿著l 方向的方向?qū)?/p>

0數(shù)。通過(guò)上述講解同學(xué)們就可以為方向?qū)?shù)建立起一個(gè)非常清晰的對(duì)應(yīng)物理模型。即在行進(jìn)的過(guò)程中某點(diǎn)，沿著行進(jìn)方向上，溫度隨路程的變化率。

最后，建立“梯度”的物理模型。為了簡(jiǎn)化模型，假設(shè)溫度場(chǎng)u隨z軸呈線性變化，即：

這里的“-”號(hào)指的是溫度降低。 那么如圖3所示，A0點(diǎn)的方向?qū)?shù)就可以表示為：

其中θ為前行方向和y軸正方向之間的夾角。由式（7）可知，A0點(diǎn)的方向?qū)?shù)與sinθ成正比。并且當(dāng)θ等于90°的時(shí)候，方向?qū)?shù)的絕對(duì)值取得最大值。

在此基礎(chǔ)上，引入梯度的概念。標(biāo)量場(chǎng)u中某點(diǎn)的梯度是一個(gè)矢量，它的大小等于該點(diǎn)最大方向?qū)?shù)的值，它的方向指的是最大方向?qū)?shù)所指的方向。以圖3所示模型為例，溫度場(chǎng)中A0點(diǎn)的梯度的方向就是θ等于90°的時(shí)候，大小等于-k。

通過(guò)上述講解，我們將復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)概念應(yīng)用到了同學(xué)們熟悉的物理場(chǎng)景里。同學(xué)們借助數(shù)學(xué)物理模型的幫助不僅可以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，更重要的是同學(xué)們知道了數(shù)學(xué)概念的物理應(yīng)用，為今后使用該數(shù)學(xué)知識(shí)奠定了重要的基礎(chǔ)。

4 基于物理模型的“物理過(guò)程”分析方法

在物理知識(shí)的講授過(guò)程中，加強(qiáng)對(duì)于“物理過(guò)程”的分析不僅可以幫助學(xué)生更加客觀地認(rèn)識(shí)和理解物理現(xiàn)象的本質(zhì)，更重要的是，可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫹治瞿芰?，從根本上提升學(xué)生分析和解決物理問(wèn)題的能力。本文提出借助物理模型培養(yǎng)學(xué)生“物理過(guò)程”的分析能力。下面將以第三部分“方向?qū)?shù)”的物理模型為例，探究基于物理模型的“物理過(guò)程”分析方法。

首先，本文提出將“物理過(guò)程”的分析凝練在一個(gè)學(xué)生熟悉的場(chǎng)景或者故事中。在方向?qū)?shù)的講授過(guò)程中，我們以圖3中山峰溫度場(chǎng)模型為基礎(chǔ)，將物理過(guò)程的分析轉(zhuǎn)變成研究在爬山過(guò)程中溫度隨路程的變化率。這樣可以使學(xué)生能夠“身臨其境”的感受物理現(xiàn)象的變化，在“親身實(shí)踐”中培養(yǎng)學(xué)生的物理過(guò)程分析能力。

其次，借助物理模型，通過(guò)“提問(wèn)”引導(dǎo)學(xué)生合理推演和分析物理過(guò)程，在分析中學(xué)習(xí)物理現(xiàn)象的本質(zhì)和變化規(guī)律。在學(xué)習(xí)方向?qū)?shù)概念的時(shí)候，我們首先給大家拋出一個(gè)問(wèn)題：“是否在爬山的時(shí)候感受到過(guò)溫度的變化？”通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)大家進(jìn)入“爬山狀態(tài)”，并和老師一同感受爬山過(guò)程中溫度的變化。這個(gè)問(wèn)題在一定程度上還可以幫助大家較深刻地記住梯度研究的對(duì)象是標(biāo)量場(chǎng)。在此基礎(chǔ)上我們構(gòu)建圖3理想溫度等值面模型，然后讓學(xué)生分析，在爬山過(guò)程中，如果選擇不同的路徑或方向爬山，感受到的溫度隨路程變化率會(huì)怎樣。同學(xué)們借助圖3溫度等值面模型，可以直觀地想象出行進(jìn)方向會(huì)影響到溫度隨路程的變化率。

上述分析可以讓幫助同學(xué)直觀地理解方向?qū)?shù)的物理意義。同時(shí)通過(guò)上述方法，同學(xué)們?cè)趩?wèn)題的引導(dǎo)下，對(duì)物理過(guò)程進(jìn)行合理推演，并通過(guò)分析爬山過(guò)程中溫度的變化，學(xué)習(xí)和掌握方向?qū)?shù)的概念和物理意義，這樣可以有效地培養(yǎng)學(xué)生邏輯分析能力，從根本上提升分析和解決物理問(wèn)題的能力。

5 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)“電磁場(chǎng)與電磁波”教學(xué)中存在的問(wèn)題，提出重視物理模型在整個(gè)教學(xué)中的作用，通過(guò)合理選擇物理場(chǎng)景，構(gòu)建反映物理問(wèn)題本質(zhì)的物理模型，將抽象、復(fù)雜的電磁場(chǎng)直觀地展現(xiàn)在同學(xué)們面前。同時(shí)，為課程中較抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)物理模型，重在讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)背后潛在的物理應(yīng)用。最后，借助物理模型，突出對(duì)“物理過(guò)程”的分析，通過(guò)分析物理過(guò)程幫助學(xué)生更加客觀地認(rèn)識(shí)和理解物理現(xiàn)象的本質(zhì)，學(xué)習(xí)運(yùn)動(dòng)和變化規(guī)律。更重要的是可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫹治瞿芰?，從根本上提升學(xué)生分析和解決物理問(wèn)題的能力。希望本文可以為“電磁場(chǎng)與電磁波”課程的教學(xué)工作提供新的方法和思路。