基于投影網(wǎng)格算法的海面波浪模擬

彭 晶，陸 曉，李 暉

武漢工程大學(xué)計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430205

隨著計算機(jī)圖形學(xué)與虛擬現(xiàn)實(shí)技術(shù)的飛速發(fā)展，三維海面波浪場景模擬技術(shù)越來越多地應(yīng)用到各種領(lǐng)域，例如游戲開發(fā)、影視業(yè)等，研究具有真實(shí)感的海洋波浪模型已迫在眉睫。不少國內(nèi)外學(xué)者對此進(jìn)行了研究。海面建模方面，Johanson［1］首次提出投影網(wǎng)格的算法，投影網(wǎng)格算法是一種依賴于觀察者的視覺習(xí)慣的算法，離觀察者遠(yuǎn)的網(wǎng)格比較稀疏；反之，則比較細(xì)密。王強(qiáng)［2］在三維海面可視化仿真技術(shù)研究與實(shí)現(xiàn)中采用多級細(xì)節(jié)層次（Levels of Detail，LOD）網(wǎng)格實(shí)現(xiàn)無窮大的海面，利用快速傅里葉變換的周期性得到了海浪高度場。王艷芬等［3］在一種優(yōu)化的投影網(wǎng)格海面實(shí)時繪制方法中提出了屏幕空間的網(wǎng)格自適應(yīng)方法，模擬了精細(xì)化的海面。顧大權(quán)等［4］在基于網(wǎng)格投影的Phillips譜真實(shí)感海浪仿真模擬一文中構(gòu)建了一種基于投影網(wǎng)格上的Phillips譜海浪?？偟膩碚f，LOD網(wǎng)格算法可以減少海面三角面片的數(shù)量，達(dá)到感官上的良好效果，是現(xiàn)在研究的熱門話題。海面高度場建模方面，各研究人員關(guān)注的重點(diǎn)各異，有的追求真實(shí)感，有的追求時效性，其關(guān)注的重點(diǎn)不同所以采用的算法也都各有千秋。Fournier 和 Reeves［5］使用 Gerstner 模型簡單的來描繪水波表面，但是這種方法的計算效率低而且模擬的水面不夠逼真。Tessendorf［6］采用快速傅里葉變換（fast Fourier transform，F(xiàn)FT）反演海浪譜，快速生成海面高度場，提升了模擬效果的真實(shí)感。熊艷飛等［7］在基于海浪譜模型和FFT的海面建模一文中針對海面波浪的隨機(jī)性和復(fù)雜性等仿真難點(diǎn)問題，從海洋學(xué)的觀測和研究成果出發(fā)，使用風(fēng)浪、涌浪和震蕩波（choppy波）共同構(gòu)成海浪譜，提出一種逼真度高且計算量小的基于海浪譜模型和FFT的海面建模方法。Kass等［8］通過求解簡化Navier-Stokes的方程的解來模擬水波。Peachey［9］采用Sin函數(shù)和Cos函數(shù)進(jìn)行疊加的方法來模擬海面的波浪輪廓。陳麗寧等［10］在使用波數(shù)譜繪制海浪波幅畸變的矯正中提出了運(yùn)用快速傅里葉逆變換形式Gerstner波解決繪制海浪中出現(xiàn)的波幅畸變問題。莊建東等［11］在三維海浪造型研究中，選擇了Pierson-Moskowite模型為基礎(chǔ)，采用了波的波長和波速建立了海浪高度場。陳祥望等［12］在基于圖像的水波動動畫建模和實(shí)時模擬中運(yùn)用海浪譜統(tǒng)計學(xué)模型的水波生成法和FFT技術(shù)實(shí)時生成了海浪高度場。溫東陽［13］在隨機(jī)粗糙海面的模擬與仿真中針對海浪運(yùn)動的隨機(jī)性采用了分形和蒙特卡羅的方法對隨機(jī)海面進(jìn)行模擬。此外，也有學(xué)者傾向于更加大型更具有交互性的海洋模擬研究［14-15］，其對計算機(jī)性能要求更高。

隨著計算機(jī)三維圖像技術(shù)的日漸成熟，國內(nèi)外學(xué)者都深深體會到真實(shí)感三維自然景物模擬的重要性。國內(nèi)外學(xué)者及機(jī)構(gòu)對于三維仿真領(lǐng)域在海面建模和海面高度場建模等方面已有了深入的研究，但是仍存在一些問題，例如注重渲染卻忽略時效性，注重實(shí)時性而忽略了視覺上的感官需求，所以本文就實(shí)時性與渲染方面做出改進(jìn)，達(dá)到二者的兼顧。

1 基于投影網(wǎng)格的波浪生成算法

研究了投影網(wǎng)格算法基本原理，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，優(yōu)化了算法效率。此外，將紋理動畫與Normal Mapping技術(shù)相結(jié)合，提高了三維海洋模擬的真實(shí)感。海面波浪模擬系統(tǒng)模塊劃分如圖1所示。

圖1 海面波浪模擬系統(tǒng)Fig.1 Simulation system of sea surface waves

1.1 海面網(wǎng)格建模

在進(jìn)行大規(guī)模海洋波浪模擬時需要記錄大量的數(shù)據(jù)，所以在進(jìn)行海面模擬時常常采用網(wǎng)格的方法。在采用網(wǎng)格來進(jìn)行海面的建模時，需要考慮海洋的廣闊性和其實(shí)時動態(tài)性。主要影響海浪繪制的實(shí)時性與真實(shí)感的因素的有網(wǎng)格建模的網(wǎng)格模型和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。若網(wǎng)格與網(wǎng)格之間的間距過于致密，會增加計算機(jī)的計算量，影響實(shí)時性，而若網(wǎng)格與網(wǎng)格的距離過于稀疏，就會影響模擬場景的真實(shí)感。據(jù)此，對原始的投影網(wǎng)格做出了一些調(diào)整，使得在視點(diǎn)離水面近的時候?qū)ν队熬W(wǎng)格進(jìn)行簡化，減少采樣點(diǎn)的數(shù)量，以此來避免由于采樣點(diǎn)過于密集而導(dǎo)致的走樣，從而使渲染出來的海面網(wǎng)格更加平滑，與此同時還減少了計算量，在效率上得到了提升。

由于用投影網(wǎng)格的算法生成一個無窮大的海洋平面對于計算機(jī)資源的耗費(fèi)十分龐大，所以，需要把完整的海洋平面分割成若干個有限面積的高度場，再利用快速傅里葉變化的周期性實(shí)現(xiàn)拼接，從而得到一個無窮大的海洋平面。根據(jù)FFT算法可以快速疊加的特性，使用FFT建模。

1.1.1 FFT海面高度場的生成 根據(jù)FFT的海浪理論可知，快速傅里葉變化生成的海浪模型是由大量的不同的矢量波疊加而成，決定了波的傳播是角頻率和振幅。本文采用周期為64×64的二維FFT計算，代表世界坐標(biāo)系下實(shí)際長寬都為64 m的海洋模型的高度場。具體流程如圖2所示。

圖2 計算FFT海面高度場的流程圖Fig.2 Flowchart of calculating FFT sea surface height field

1.1.2 限制采樣頻率的投影網(wǎng)格改進(jìn) 利用投影網(wǎng)格來生成海面的一大特點(diǎn)就是不需要調(diào)整網(wǎng)格的數(shù)量，因為它是固定不變的。這對于處理大范圍的視野時較好，但是一旦觀察者的視野集中在一小塊區(qū)域時，由于網(wǎng)格數(shù)量不變并且區(qū)域面積變小，會導(dǎo)致采樣過于密集，從而出現(xiàn)網(wǎng)格畸變問題。

總的來說，海洋表面的高度場產(chǎn)生算法只能產(chǎn)生固定頻率的高度場數(shù)據(jù)，當(dāng)視野過于狹小時，會導(dǎo)致走樣。針對這種情況，對原有的算法進(jìn)行改進(jìn)，當(dāng)采樣頻率達(dá)到一定閾值時，對采樣點(diǎn)數(shù)量進(jìn)行限制，從而避免走樣。換句話說，就是視點(diǎn)離水面較遠(yuǎn)時可以把采樣保持在比較高的頻率，而當(dāng)視點(diǎn)離水面過近的時候就需要簡化投影網(wǎng)格，使其采樣的頻率變小。這種改進(jìn)方法不僅能解決走樣問題，同時還能降低計算量，提高計算效率。改進(jìn)算法步驟如下：

1）設(shè)定投影網(wǎng)格的最高采樣頻率作為閾值。根據(jù)FFT的理論，二維FFT的周期為M，N，網(wǎng)格長寬分別為 Lx，Lz，其采樣點(diǎn)的頻率為Fwidth=M/Lx，F(xiàn)length=M/Lz。

2）利用 Mprojector矩陣將視平面的四個頂點(diǎn)投影出來。

3）計算得到采樣的實(shí)際頻率。采用采樣點(diǎn)的數(shù)量M、N除以其網(wǎng)格在世界坐標(biāo)系下的實(shí)際的長度 SAB，SAD，如式（1）。

4）對投影網(wǎng)格進(jìn)行調(diào)整需要將投影網(wǎng)格的實(shí)際采樣頻率和最高采樣頻率相比較，使實(shí)際采樣頻率不超過最高采樣頻率。如果實(shí)際采樣頻率fwidth小于最高采樣頻率Fwidth，那么原來的投影網(wǎng)格就不需要改變，保持原樣即可。反之，如果實(shí)際采樣頻率 fwidth大于最高采樣頻率Fwidth，需要修改網(wǎng)格的橫向的采樣點(diǎn)數(shù)量，使 M=Fwidth×SAB，減少采樣點(diǎn)，從而改變投影網(wǎng)格的頻率。對投影網(wǎng)格的采樣頻率限制之后，當(dāng)視野向水面移動時，采樣點(diǎn)數(shù)量減少，網(wǎng)格精度降低，直到 fwidth＜Fwidth，采集到不高于最高采樣點(diǎn)的值，投影網(wǎng)格保持不變。

同理，對于投影網(wǎng)格的縱向采樣頻率 flength也采用相同步驟。改進(jìn)后的算法通過減少采樣點(diǎn)實(shí)現(xiàn)限制采樣頻率，可以得到更好的渲染效率。

1.2 紋理映射

在大規(guī)模三維場景仿真中，目前的技術(shù)還不能直接模擬海面上每一個水粒子的運(yùn)動，所以，紋理映射技術(shù)被引入到三維場景中，給三維場景添加真實(shí)感。紋理貼圖技術(shù)直接關(guān)系到三維海面波浪場景的視覺效果，是繪制真實(shí)感場景的重要步驟。

紋理貼圖［16］可以分為一維紋理、二維紋理、三維紋理。其中二維紋理貼圖是最常用的，其原理是將二維紋理映射到三維物體的表面，以此獲得具有紋理貼圖之后的三維場景，增加模擬的真實(shí)感。將二維紋理函數(shù)定義在(u，v)平面上，表現(xiàn)形式如下：

此處使用球面的紋理映射，其參數(shù)方程如下：

對于球面上的任意一點(diǎn)(x，y，z)，求解參數(shù)(u，v)，表達(dá)式如下：

1.2.1 Normal Mapping 直接通過FFT算法得到的海面過于光滑，與現(xiàn)實(shí)生活中的海面有一些差距，顯得不夠真實(shí)。真實(shí)的水面一般都會有一些波紋和跳動的細(xì)節(jié)，但是由于計算機(jī)資源是有限的，對于網(wǎng)格的精度是有限制的，所以只能模擬一些波長較長的波，在水面模擬中比較常用Normal Mapping仿真水紋的方式以增強(qiáng)細(xì)節(jié)。本文運(yùn)用此技術(shù)繪制海面，增加海面模擬的真實(shí)感。

Normal Mapping技術(shù)［17］主要是通過運(yùn)用紋理去改變物體的法向，其主要目的是體現(xiàn)出物體表面粗糙的紋理細(xì)節(jié)，而物體表面的幾何紋理是不變的，因此只需改變光照模型計算中的法向即可。為了計算物體表面上的每一個點(diǎn)的法向量，那么就需要一些額外的信息去表示物體表面的粗糙程度，采用高度圖算法就可實(shí)現(xiàn)儲存物體表面的凹凸信息，物體表面上的每一個點(diǎn)的法向量由該點(diǎn)的兩個切向量得到。

Normal Mapping需將計算得到每個點(diǎn)的法向量存儲為一張紋理貼圖。向量（0，0，1）被轉(zhuǎn)化為RGB 顏色（127，127，255），因此藍(lán)色是Normal Map的主色調(diào)。

Normal Map在仿真水紋時是利用紋理格式的RGB三通道得到一個三維的擾動值。可以將物體表面的每一個點(diǎn)轉(zhuǎn)化為一個單位長度向量，其中的每一個變量都可以傳化成RGB值。

1.2.2 基于紋理動畫的NormalMapping算法改進(jìn) 用Normal Mapping算法可以增添海洋模型的紋理細(xì)節(jié)，但其模擬的紋理是相對固定的。紋理動畫是基于靜態(tài)網(wǎng)格的紋理采樣坐標(biāo)運(yùn)動，按照設(shè)定好的時間間隔連續(xù)切換紋理，從而帶給觀察者一種運(yùn)動的感覺。將紋理動畫與Normal Mapping算法相結(jié)合，使得紋理在水面上的位置不斷變化，給人感覺就像是水面上的高頻波紋在不停地運(yùn)動。采取三次采樣的方法，避免出現(xiàn)重復(fù)采樣帶來的重復(fù)感覺。這種方法的思想主要是使水面的紋理隨著時間的變化而變化，即用變化的紋理坐標(biāo)對Normal Map進(jìn)行采樣，來提高水面的真實(shí)感。主要思想的偽代碼如下：

在上述偽代碼中，在進(jìn)行頂點(diǎn)渲染時選擇了3個采樣點(diǎn)，選取采樣點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)是3個不同的時間和參數(shù)；此外在進(jìn)行紋理貼圖渲染時也進(jìn)行3次采樣，并混合3個法向量，用其進(jìn)行光照計算，這樣會在視覺感官上更加真實(shí)。

2 結(jié)果與討論

圖3中展示的是模擬場景中的海面波浪。場景中的海面波浪主要是由限制采樣頻率的投影網(wǎng)格和FFT算法相結(jié)合產(chǎn)生的效果。下面分別介紹限制采樣頻率的投影網(wǎng)格和基于紋理動畫的Normal Mapping改進(jìn)結(jié)果。

圖3 三維海面場景圖Fig.3 3D image of sea surface scene

2.1 限制采樣頻率的投影網(wǎng)格

海洋表面的高度場生成算法只能是產(chǎn)生有限精度的高度場數(shù)據(jù)，如果視野過于狹小，就會產(chǎn)生網(wǎng)格采樣密度過高而導(dǎo)致走樣，如圖4（a）所示。所以本文做了相關(guān)改進(jìn)，通過限制采樣頻率的方式，在當(dāng)視點(diǎn)離水面較近時，采用簡化版的海面網(wǎng)格，避免了海面網(wǎng)格走樣，如圖4（b）所示。

2.2 基于紋理動畫的Normal Mapping改進(jìn)

真實(shí)的水面一般都會有一些波紋和跳動的細(xì)節(jié)，直接通過FFT算法得到的海面缺少這些細(xì)節(jié)，會顯得不夠真實(shí)。Normal Mapping在仿真水紋時是利用紋理格式的RGB三通道得到一個三維的擾動值，可以將物體表面的每一個點(diǎn)轉(zhuǎn)化為一個單位長度向量，其中的每一個變量都可以傳化成RGB值。

將其應(yīng)用到海面波浪模型上，可以更直觀的看到區(qū)別。圖5（a）是FFT直接生成的海面，整體比較平滑，缺少細(xì)節(jié)。引入Normal Mapping生成的海面可以看到豐富的波紋，更加接近真實(shí)的海面，如圖5（b）所示。

圖4 海面網(wǎng)格圖：（a）不限制采樣頻率，（b）限制采樣頻率Fig.4 Diagram of sea surface grid：（a）unlimited sampling frequency ，（b）limited sampling frequency

圖5 海面波浪模擬圖：（a）未引入Normal Mapping，（b）引入Normal MappingFig.5 Simulation diagram of sea surface waves：（a）without Normal Mapping，（b）with Normal Mapping

一般的Normal Mapping算法生成的水紋不會隨著時間的變化而變化，是靜止的。引入紋理動畫，用變化的紋理坐標(biāo)對Normal Mapping進(jìn)行采樣，并采取三次采樣來避免出現(xiàn)重復(fù)采樣的情況，從而實(shí)現(xiàn)了波動效果的海面，提高了水面的真實(shí)感。

引入紋理動畫之后，看平靜的海面也可以看到其海面紋理的變化，體現(xiàn)海水波動的視覺感受，不同時間點(diǎn)，同一個區(qū)域的海面也會有其微小的變化，如圖6展示了1 s、2 s、3 s、4 s時的海面變化。

圖6 引入紋理動畫后的動態(tài)海面模擬圖：（a） 1 s，（b） 2 s，（c） 3 s，（d） 4 sFig.6 Simulation diagram of dynamic sea surface with texture animation：（a） 1 s，（b） 2 s，（c） 3 s，（d） 4 s

2.3 算法效率

實(shí)驗結(jié)果考慮了在海面渲染過程中的幀率比較，主要考慮的是在限制采樣頻率的投影網(wǎng)格與沒有限制的網(wǎng)格之間的比較，還有在沒有限制網(wǎng)格投影通過FFT生成的高度場幀率與改進(jìn)后的比較。比較結(jié)果如表1所示。

表1 實(shí)驗結(jié)果幀率比較Tab.1 Frame rate comparison of experimental results Hz

從表1中可看出經(jīng)過限制采樣頻率的投影網(wǎng)格的頻率幀率遠(yuǎn)高于未經(jīng)限制的投影網(wǎng)格，改進(jìn)之后的計算效率更好，結(jié)合FFT算法之后海浪模擬的計算效率也使改進(jìn)網(wǎng)格的效率更高一些。綜上所述，改進(jìn)后的算法在計算速度上占有一定的優(yōu)勢。

3 結(jié) 語

以上對海面網(wǎng)格模型進(jìn)行了研究，在原有的基礎(chǔ)上提出了改進(jìn)的投影網(wǎng)格算法，對采樣頻率進(jìn)行了限制，避免了視野狹窄時采樣密度過高導(dǎo)致的走樣情況，也大量減少了三角面片數(shù)量，提高了計算速率，同時結(jié)合FFT算法，提高了模擬實(shí)時性。此外還對紋理貼圖進(jìn)行了改進(jìn)，將紋理動畫與Normal Mapping算法相結(jié)合，不僅提高了海面細(xì)節(jié)，還增加了海面的動態(tài)效果。筆者研究的海面波浪模型還有一些局限，在細(xì)節(jié)上海面泡沫、碎浪皆未能體現(xiàn)，另外，在計算效率方面還可以做進(jìn)一步的改進(jìn)，比如將一部分計算量分配給GPU，從而減少CPU的負(fù)擔(dān)等，可以進(jìn)一步的探索。