直線與橢圓及雙曲線位置關系的簡易判斷法

云南省大理州賓川四中 (郵編：671600)

1 問題的提出

眾所周知，直線l與圓⊙C的位置關系最簡單的判斷方法是：用圓心C到直線l的距離d與半徑R的關系得出，即當且僅當

(1)d>R時，直線l與圓⊙C相離;

(2)d=R時，直線l與圓⊙C相切;

(3)d

由于橢圓與雙曲線都有對稱中心，是有心曲線，這點與圓一樣，所以，我們自然希望也能用橢圓及雙曲線的中心到直線l的距離d來判斷直線與橢圓及雙曲線位置關系，經(jīng)過探索我們得到一個簡便的判斷方法.

2 結(jié)論的形成及證明

2.1 本文中有關的符號說明

我們把橢圓的長半軸長及雙曲線的實半軸長記為a,橢圓的短半軸長及雙曲線的虛半軸長記為b，橢圓與雙曲線的半焦距記為c，直線l與橢圓或雙曲線焦點所在直線的的夾角記為θ(00≤θ≤900),直線l的傾斜角記為α(00≤α<1800),曲線中心到直線l的距離為d.

注不難得到焦點在x軸上總有cos2θ=cos2α, 焦點在y軸上總有cos2θ=sin2α.

2.2 直線與橢圓位置關系的判斷

定理1設f(θ)=a2-c2cos2θ，則當且僅當

(1)d2>f(θ)時，直線l與橢圓相離；

(2)d2=f(θ)時，直線l與橢圓相切；

(3)d2

①

②

計算得方程②的判別式△=4a2b2(b2+a2k2-m2)

③

④

綜上，定理1成立.

2.3 直線與雙曲線位置關系的判斷

(1)d2>f(θ)時，直線l與雙曲線相交；

(2)d2=f(θ)時，直線l與雙曲線相切；

(3)d2

⑤

⑥

計算得方程⑥的判別式

△=4a2b2(m2+b2-a2k2)

⑦

⑧

綜上，定理2成立.

3 結(jié)論的運用

例1已知橢圓E的兩個焦點F1(-3,0),F2(3,0),且橢圓E與直線l:x-y+9=0有公共點，求橢圓E長軸最短時的方程.

計算得

解由題意知,

計算得

4 記憶方法

如果把f(θ)=a2-c2cos2θ看成R2,那么，直線與橢圓的位置關系的判斷方法幾乎與直線與圓的判斷方法一樣，對于雙曲線而言，由于中心在曲線外，除相切外，相離與相交的結(jié)論與橢圓相反.