基于平均備件保障概率的備件庫(kù)存優(yōu)化模型研究

袁 園 付興方 吳佳康

（空軍勤務(wù)學(xué)院航材四站系 徐州 221000）

1 引言

隨著飛機(jī)使用時(shí)間的延長(zhǎng)，即使飛機(jī)的可靠度再高，飛機(jī)各系統(tǒng)的部件也難免會(huì)發(fā)生故障，則就需要預(yù)先儲(chǔ)備好相對(duì)應(yīng)的備件用來更換。為了合理地進(jìn)行庫(kù)存管理，許多學(xué)者已經(jīng)提出許多庫(kù)存預(yù)測(cè)模型［1～4］。阮旻智［1］等以裝備可用度為中心，建立（R，Q）庫(kù)存策略下的備件協(xié)調(diào)訂購(gòu)模型；刑國(guó)平［2］等利用灰色關(guān)聯(lián)支持向量機(jī)對(duì)備件庫(kù)存消耗進(jìn)行預(yù)測(cè)；現(xiàn)今無論是國(guó)內(nèi)國(guó)外，都將備件保障概率作為確定備件數(shù)量的指標(biāo)［5～6］。李源［5］就是利用備件概率保障作為指標(biāo)，建立了備件需求模型，更加確定備件的需求量。林寶國(guó)［6］也利用航材保障概率，建立初始備件單個(gè)單元需求預(yù)測(cè)模型和多個(gè)單元需求預(yù)測(cè)模型，為初始備件精確保障提供理論依據(jù)。但是傳統(tǒng)的備件保障概率有著極強(qiáng)的局限性，使模型應(yīng)用范圍受到限制。故在對(duì)備件保障概率進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，提出系統(tǒng)平均備件保障概率，結(jié)合邊際效應(yīng)分析對(duì)備件庫(kù)存進(jìn)行優(yōu)化處理。

2 模型描述

2.1 實(shí)時(shí)送修策略下的備件生滅過程分析

實(shí)時(shí)送修是在實(shí)時(shí)補(bǔ)充庫(kù)存策略基礎(chǔ)上建立的，該庫(kù)存策略的含義是當(dāng)產(chǎn)生故障件后，立刻發(fā)出訂購(gòu)申請(qǐng)，申請(qǐng)數(shù)為1。在實(shí)時(shí)送修的策略下，當(dāng)飛機(jī)產(chǎn)生故障，需要備件時(shí)，立即進(jìn)行換件維修，故障件及時(shí)送修。若庫(kù)存水平保持恒定，有如下函數(shù)：

式中：s為初始庫(kù)存數(shù)量，S1為現(xiàn)有庫(kù)存數(shù)量，S2為在修數(shù)量或再供應(yīng)數(shù)，S3為備件短缺數(shù)量。

由上式可知，若庫(kù)存水平保持恒定，備件需求的產(chǎn)生和送修過程就是一類維修保障的生滅過程。對(duì)于庫(kù)存水平為s的情況，在整個(gè)保障過程中，一共有s+1種狀態(tài)不會(huì)產(chǎn)生備件短缺的情況?？傮w來說只要s≥S1+S2，就不會(huì)出現(xiàn)備件短缺的情況。即需要備件時(shí)，能夠得到保障。其概率就是備件保障概率。

2.2 平均備件保障概率

備件保障概率是指在規(guī)定的時(shí)間周期內(nèi)，裝備的備件需求能夠被滿足的概率。傳統(tǒng)的保障概率一直忽略一個(gè)現(xiàn)象，就是在整個(gè)保障周期中，不同時(shí)間段對(duì)應(yīng)的保障概率是不同的，其大小會(huì)隨著時(shí)間增加不斷地下降，如圖1。而傳統(tǒng)的保障概率所對(duì)應(yīng)的卻是期末時(shí)刻前的保障概率。而平均備件保障概率就是求整個(gè)時(shí)域內(nèi)保障概率的平均數(shù)，使得所求概率更具代表性。

圖1 保障概率與時(shí)間的關(guān)系

當(dāng)備件的失效率等于常數(shù)，即其壽命為負(fù)指數(shù)分布時(shí)，傳統(tǒng)的備件保障概率P0(m,λ,t0)可由下式表達(dá)：

其中，m為庫(kù)房存數(shù)數(shù)量；λ為備件失效率；t0為補(bǔ)充供應(yīng)周期內(nèi)備件累計(jì)工作時(shí)間。

對(duì)式（1）進(jìn)行積分，推導(dǎo)出平均備件保障概率，如下式：

上式是單個(gè)備件的平均備件保障概率。但是若是從單個(gè)備件庫(kù)存考慮，會(huì)缺乏備件之間的相互聯(lián)系，所以從飛機(jī)系統(tǒng)出發(fā)，求飛機(jī)單個(gè)系統(tǒng)內(nèi)部所有備件庫(kù)存，使得計(jì)算結(jié)果更具有整體性。

2.3 系統(tǒng)平均備件保障概率

系統(tǒng)平均保障概率是指當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)部某一個(gè)部件發(fā)生失效時(shí)，能否得到保障的概率。由于系統(tǒng)內(nèi)部各個(gè)部件發(fā)生失效的概率是相容的，即系統(tǒng)在任務(wù)持續(xù)時(shí)間段內(nèi)第i個(gè)部件發(fā)生故障時(shí)，并不排除其他部件同時(shí)發(fā)生故障。因而也不能將系統(tǒng)缺少備件的概率表達(dá)成各個(gè)部件缺少備件概率之和，即

式中：Fi(tS)為第i個(gè)部件在任務(wù)時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的概率；為第i個(gè)部件在規(guī)定的備件補(bǔ)充周期內(nèi)得不到備件保障的概率；mi為第i個(gè)部件在一個(gè)備件補(bǔ)充周期內(nèi)配置的備件數(shù)。

式中hi(tS)就是第i個(gè)部件的獨(dú)立失效概率，即當(dāng)任意一個(gè)部件失效時(shí)，系統(tǒng)停止工作。這樣就可以得到系統(tǒng)備件得到保障的平均概率：

可以利用馬爾科夫隨機(jī)過程求取獨(dú)立失效概率hi(tS)。

最終可求的獨(dú)立失效概率hi(ts)

將式（3）帶入式（2）中得：

2.4 庫(kù)存優(yōu)化模型

本文是以保障概率取最大為目標(biāo)函數(shù)，以保障經(jīng)費(fèi)為約束條件。故庫(kù)存的優(yōu)化模型如下：

式中：ts為任務(wù)持續(xù)時(shí)間，cj為編號(hào)為 j的部件采購(gòu)單價(jià)，C為總的保障費(fèi)用。

對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行分析，可以看出保障概率函數(shù)是一個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)。證明如下：假設(shè)系統(tǒng)中某部件庫(kù)存數(shù)量為m，其保障概率為P()m ，則：

表1給出三個(gè)備件的失效率，其工作時(shí)間一樣，t=500h。圖2為平均備件保障概率與庫(kù)存量之間的關(guān)系。

表1 不同備件的失效率

圖2 平均備件保障概率與庫(kù)存量之間的關(guān)系

從上面敘述可知，平均備件保障概率函數(shù)為單調(diào)遞增的函數(shù)，其數(shù)值的大小與備件本身的失效率有關(guān)，也與其工作時(shí)間的長(zhǎng)短有關(guān)。所以需要知道備件本身的失效率和系統(tǒng)工作時(shí)間。失效率可以從歷史數(shù)據(jù)中平均故障間隔時(shí)間推出，系統(tǒng)工作時(shí)間可以從年度任務(wù)中得知。對(duì)于在利用邊際效應(yīng)分析時(shí)，具體詳細(xì)步驟如下：

1）將備件的庫(kù)存量si記為0，作為備件初始庫(kù)存量。

2）進(jìn)行迭代時(shí)，確定需要調(diào)整的控制量，即需找最大的邊際效益maxΔpici。

3）將所對(duì)的備件編號(hào)所對(duì)應(yīng)的庫(kù)存量進(jìn)行加1，其余產(chǎn)品備件數(shù)量恢復(fù)原始量。

4）根據(jù)所確定的庫(kù)存量，確定對(duì)應(yīng)的保障經(jīng)費(fèi)，若是符合目標(biāo)值，迭代完成，若是不符，重新進(jìn)行步驟2），3）。

其流程圖如圖3。

圖3 邊際效應(yīng)分析流程圖

3 算例應(yīng)用

某型飛機(jī)某系統(tǒng)是由LRU1、LRU2和LRU3組成，它們重要性一致。其中周轉(zhuǎn)時(shí)間為250天，系統(tǒng)每天工作時(shí)間為4h，保障經(jīng)費(fèi)為50萬元，在實(shí)時(shí)補(bǔ)充的庫(kù)存策略下，考慮備件費(fèi)用，結(jié)合邊際效應(yīng)分析法，以平均備件保障概率為約束條件，給出備件供應(yīng)策略，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析。LRU1、LRU21和LRU3的參數(shù)如表2。

表 2 LRU1、LRU2和 LRU3參數(shù)

根據(jù)所給的參數(shù)，Si=0。LRU1、LRU2和LRU3平均備件保障概率變化如表3、表4和表5。

表3 LRU1平均備件保障概率變化數(shù)據(jù)表

該模型最終確定的庫(kù)存方案：4個(gè)LRU1、9個(gè)LRU2和7個(gè)LRU5，最終系統(tǒng)平均保障概率為0.95，其過程如圖4。

結(jié)果表明，該庫(kù)存優(yōu)化模型以系統(tǒng)級(jí)的備件平均備件保障概率為優(yōu)化目標(biāo)。在不斷對(duì)庫(kù)存量進(jìn)行迭代的基礎(chǔ)上，需求最大的系統(tǒng)平均備件保障概率，確定備件庫(kù)存的最佳方案。

表4 LRU2平均備件保障概率變化數(shù)據(jù)表

表5 LRU5平均備件保障概率變化數(shù)據(jù)表

圖4 備件庫(kù)存預(yù)測(cè)的迭代過程

4 結(jié)語(yǔ)

通過改進(jìn)傳統(tǒng)的備件保障概率模型，完善備件保障概率的適用范圍。指出以往系統(tǒng)備件保障概率的錯(cuò)誤，對(duì)壽命服從指數(shù)分布的備件建立了庫(kù)存預(yù)測(cè)模型，權(quán)衡平均備件保障概率和費(fèi)用之間的關(guān)系，為備件的數(shù)量確定提供了可行的模型方法，減輕了庫(kù)存壓力，減少了“多存、存錯(cuò)”的情況。本模型是在實(shí)時(shí)送修的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，故平均備件保障概率模型只是用于可維修性備件，對(duì)于消耗性備件是下一步研究重點(diǎn)。