淺談空間向量與立體幾何

王龍

高考對(duì)立體幾何平行與垂直的考查是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，可以考查線面垂直的判定與性質(zhì)、面面垂直的判定與性質(zhì)，也可以考查線面平行的判定與性質(zhì)、面面平行的判定與性質(zhì)，解題思路有幾何法和向量法兩種.對(duì)空間角的考查重點(diǎn)考查異面直線所成角、線面角、二面角，思路也有兩種，幾何法與坐標(biāo)法，幾何法運(yùn)算量小，但輔助線不易做，坐標(biāo)法思路明晰，但運(yùn)算量大，容易出錯(cuò)。利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題，考查空間向量能力和運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸思想。

一、刻畫(huà)直線與平面方向的向量

1.直線

用直線的方向向量刻畫(huà)直線的方向問(wèn)題，而方向向量可由直線上的兩個(gè)點(diǎn)來(lái)確定

2.平面

用平面的法向量來(lái)刻畫(huà)平面的傾斜程度，何為法向量？與平面垂直的直線稱為平面的法線，法線的方向向量就是平面的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？

（1）所需條件：平面上的兩條相交的直線。

（2）求法：（先設(shè)再求）設(shè)平面的法向量為，若平面上所選兩條直線的方向向量分別為，則可列出方程組，利用數(shù)量積為零解出的比值即可。

二、空間向量可解決的立體幾何問(wèn)題。

1.判定類

（1）線面平行：

（2）線面垂直：

（3）面面平行：

（4）面面垂直：

2.計(jì)算類：

（1）兩直線所成角：

（2）線面角：

（3）二面角：或（視平面角與法向量夾角關(guān)系而定）

（4）點(diǎn)到平面距離：設(shè)為平面外一點(diǎn)，為平面上任意一點(diǎn)，則到平面的距離為，即在法向量上投影的絕對(duì)值。

三、點(diǎn)的存在性問(wèn)題

立體幾何在高考解答題中，最后一問(wèn)往往涉及點(diǎn)的存在性問(wèn)題，即是否在某條線上存在一點(diǎn)，使之滿足某個(gè)條件，主要介紹使用空間向量解決該問(wèn)題時(shí)的方法與技巧。

解答此類題目，以2016全國(guó)卷Ⅲ，以第19題為例：

例1、如圖，四棱錐P?ABC中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn).（I）證明MN∥平面PAB；（II）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值。

試題分析：

試題解析：

（I）由已知得.取的中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)知，. 又，故，四邊形為平行四邊形，于是.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?

（II）取的中點(diǎn)，連結(jié).由得，從而，且。以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題意知，，，，，，，.

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則

即

可取.于是.

考點(diǎn)：空間線面間的平行關(guān)系，空間向量法求線面角.

技巧點(diǎn)撥：

（1）證明立體幾何中的平行關(guān)系，常常是通過(guò)線線平行來(lái)實(shí)現(xiàn)，而線線平行常常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關(guān)系來(lái)推證。

（2）求解空間中的角和距離常?？赏ㄟ^(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中的夾角與距離來(lái)處理。

三、向量法解決二面角問(wèn)題

解答本此類題目，以2017全國(guó)卷Ⅲ，理19第二問(wèn)為例：

例2、如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD.

（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）過(guò)AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值.

試題解析：由題設(shè)及（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則.

由題設(shè)知，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，即E為DB的中點(diǎn)，得.

故.

設(shè)是平面DAE的法向量，則即

可取.設(shè)是平面AEC的法向量，則同理可取.則.所以二面角D-AE-C的余弦值為.

考點(diǎn)：二面角的平面角；二面角的向量求法

技巧點(diǎn)拔：

（1）求解本題要注意兩點(diǎn)：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計(jì)算。

（2）設(shè)m，n分別為平面α，β的法向量，則二面角θ與互補(bǔ)或相等，故有，求解時(shí)一定要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角。

四、量法解決立體幾何探索性問(wèn)題

解答本類題目，以2016北京，理17 第三問(wèn)為例：

例3、如圖，在四棱錐中，平面平面，

，，，，，.

（I）求證：平面；

（II）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；

（III）在棱PA上是否存在點(diǎn)M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.

試題解析：

（I）、略

（II）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，-1，0），P（0，0，1）

設(shè)平面的法向量為，則即令，則.所以.又，所以.

所以直線與平面所成角的正弦值為.

（III）設(shè)是棱上一點(diǎn)，則存在使得.

因此點(diǎn).因?yàn)槠矫?，所以平面?dāng)且僅當(dāng)，即，解得.所以在棱上存在點(diǎn)使得平面，此時(shí).

考點(diǎn)：空間線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理；線面角的計(jì)算；空間想象能力，推理論證能力。

技巧點(diǎn)拔：

平面與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用：當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，常作的輔助線是在其中一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)而可以證明線線垂直（必要時(shí)可以通過(guò)平面幾何的知識(shí)證明垂直關(guān)系），構(gòu)造（尋找）二面角的平面角或得到點(diǎn)到面的距離等。

高考對(duì)本部分內(nèi)容的考查以能力為主，重點(diǎn)考查空間想象能力，線面關(guān)系、面面關(guān)系、數(shù)形結(jié)合的思想等。

高考試題對(duì)該部分內(nèi)容考查的主要角度有兩種：一種是利用立體幾何的知識(shí)證明線面關(guān)系、面面關(guān)系；一種是考查學(xué)生利用空間向量解決立體幾何的能力.重點(diǎn)對(duì)該部分內(nèi)容的考查仍將以能力考查為主，要求學(xué)生有良好的空間想象能力和立體幾何素養(yǎng)。