論麥克斯韋方程組的相對(duì)論不變性

諶望

摘要：根據(jù)狹義相對(duì)論的相對(duì)性原理，并利用四維時(shí)空的變換關(guān)系，把電磁學(xué)有關(guān)的各物理量表示成四維形式，最終推導(dǎo)得出麥克斯韋方程組的相對(duì)論不變性。

關(guān)鍵詞：麥克斯韋方程組;狹義相對(duì)論;四維時(shí)空;協(xié)變

一、四維時(shí)空的變換關(guān)系

在我們?nèi)粘Ｉ畹娜S空間中，假設(shè)有∑系，其坐標(biāo)表示為（x1，x2，x3），另有∑′系，

其坐標(biāo)表示為（x′1，x′2，x′3），若由∑系變換到∑'系滿(mǎn)足正交條件：

x′ix′i=xixi=不變量i=1，2，3

（其中運(yùn)用了愛(ài)因斯坦求和約定，后面不在贅述）

則其坐標(biāo)變換具有確定的形式：

x′i=aijxi，aij可寫(xiě)作三階方陣的形式，

且任意矢量和坐標(biāo)變換具有相同的形式，而標(biāo)量保持不變，二階張量也有確定的變換形式：

T′ij=aikajlTkl

此即為三維空間的線性變換，即正交變換。

相對(duì)論指出，時(shí)間和空間彼此統(tǒng)一成四維時(shí)空，即閔可夫斯基空間。那四維時(shí)空的變換是否具有確定的變換形式呢？答案是肯定的！狹義相對(duì)論時(shí)空觀要求，兩事件的間隔不隨參考系的改變而改變，即

x′21+x′22+x′23-c2t′2=x21+x22+x23-c2t2

若令四維時(shí)空的第四維坐標(biāo)為含時(shí)間的虛數(shù)坐標(biāo)x=ict，用希臘字母代替下標(biāo)14，則間隔不變式可寫(xiě)作類(lèi)似三維正交條件的形式：

x′μx′μ=xμxμ=不變量

且相對(duì)論的坐標(biāo)變換為洛倫茲變換，具有確定的形式：

x′μ=aμνxμ

其中aμν由洛倫茲變換公式給出，為一個(gè)四階的函虛數(shù)的方陣。類(lèi)比三維空間易得，洛倫茲變換形式上可看作四維時(shí)空的正交變換（即可看作四維空間的“轉(zhuǎn)動(dòng)”），從而得到任意四維矢量都有與上述坐標(biāo)變換相同的形式，而四維標(biāo)量保持不變，四維張量具有下列確定的變換形式：

T′μν=aμλaντTλτ

此即為四維時(shí)空的變換關(guān)系！

二、電磁學(xué)有關(guān)物理量的四維形式的推導(dǎo)

根據(jù)上述四維時(shí)空變換關(guān)系的推導(dǎo)，我們引進(jìn)了一個(gè)四維空間矢量xμ=（x→，ict），它在洛倫茲變換下具有確定的變換性質(zhì)，我們將它稱(chēng)作四維協(xié)變量或協(xié)變量，四維標(biāo)量與各階四維張量都屬于協(xié)變量。在參考系變換下方程形式不變的性質(zhì)稱(chēng)為協(xié)變性，如果方程的每一項(xiàng)都屬于同一類(lèi)協(xié)變量，則方程在洛倫茲變換下具有確定的變換，方程形式不變，那么它就滿(mǎn)足了相對(duì)性原理的要求，這就是我們推導(dǎo)麥克斯韋方程的協(xié)變性需要找出電磁學(xué)中物理量的四維形式的原因。

如上對(duì)于間隔不變性我們引入了四維空間矢量xμ=（x→，ict），同理在電磁學(xué)中我們知道電荷是守恒的，Q=∫ρdV=不變量，結(jié)合電荷密度與電流密度關(guān)系，易得四維電流密度矢量Jμ=（J→，icρ），則電流連續(xù)性方程（也稱(chēng)微分形式的電荷守恒定律），

通分和指標(biāo)收縮運(yùn)算容易驗(yàn)證，該方程也具有協(xié)變性。

綜上所述，我們將麥克斯韋方程組寫(xiě)成了協(xié)變形式

Fμνxν=μ0Jμ，

Fμνxλ+Fνλxμ+Fλμxν=0

且兩個(gè)方程都具有明顯的協(xié)變性，由此我們便得出了麥克斯韋方程組具有協(xié)變性，即在參考系變換下，麥克斯韋方程組的形式保持不變，具有相對(duì)論不變性。

四、結(jié)語(yǔ)

相對(duì)性原理要求一切慣性參考系都是等價(jià)的，表征物理規(guī)律的方程其形式不會(huì)因慣性系而改變。我們通過(guò)四維形式，驗(yàn)證了麥?zhǔn)戏匠探M具有協(xié)變性，也就滿(mǎn)足了相對(duì)性原理。所以由麥克斯韋方程組得出的一個(gè)重要結(jié)論，即電磁波在真空中沿各個(gè)方向的傳播速度為c，這個(gè)結(jié)論不隨慣性參考系的改變而改變，符合客觀規(guī)律，解決了經(jīng)典時(shí)空觀的困難。但在其推導(dǎo)協(xié)變性上直接或間接地用了麥克斯韋方程的協(xié)變性來(lái)推導(dǎo)，如四維勢(shì)矢量的推導(dǎo)以及電磁張量的洛倫茲變換推導(dǎo)。這種推導(dǎo)方法存在一定的邏輯缺陷，但就其用來(lái)理解其方程組的協(xié)變性來(lái)說(shuō)，還是可行的，讀者還可自行探究更為合理的推導(dǎo)方法。

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