變形構(gòu)造、動態(tài)分析

劉杭嶺

“含參函數(shù)方程有解取值范圍問題”歷來是高考的熱點與難點。此類問題通常將函數(shù)、方程、不等式、解析幾何等多個知識點融合在一起，需要綜合運用多種解題技巧與思想方法。因此，學(xué)生遇到此類問題時往往無從下手，望而生畏。那么此類問題的該如何解決呢？

一、直接構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為零點分布

例1 設(shè)關(guān)于x的方程和得實根分別為和，若，則的取值范圍是__________

解析：此題涉及到兩個含參數(shù)的方程根之間的關(guān)系，如果直接利用解方程的思想很難找到題目的突破口。如果把方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，把根的關(guān)系看出零點的分布或者圖像的交點，那么，問題的解決可能就會容易的多。一般情況下，方程根的問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點的問題，因為根是對方程的 “靜態(tài)”表述，而零點是對函數(shù)的“動態(tài)”刻畫，借助運動變化的觀點往往更容易找到問題的突破口。

設(shè)，畫出兩個函數(shù)的圖像，如圖1所示。容易得到，要滿足，

則

二、分離參數(shù)構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為圖像交點

通過構(gòu)造新的函數(shù)，零點往往又可以轉(zhuǎn)化為圖像的交點。在構(gòu)造新的函數(shù)時，往往遵循“一動一定，一直一曲”的原則，這樣有助于復(fù)雜的問題簡單化、直觀化。對于上述例題，我們還可以這樣解：

因為;

設(shè)，

于是函數(shù)與圖像的交點的橫坐標(biāo)就是，。如圖2所示，要滿足，則直線只能在A、B之間移動，容易求得。

交點比零點更具靈活性，因為不同的函數(shù)視角，就會產(chǎn)生不同的交點。對于，上述例題，還有另外一種構(gòu)造方法：

。

令，問題就轉(zhuǎn)化為拋物線與兩條直線的交點問題。由于a的不確定性，所以要對a進行分類討論，如圖3所示。

（1）當(dāng)時，，

則;

（2）當(dāng)時，顯然成立;

（3）當(dāng)時，要滿足，則直線只能在與的交點A、B之間滑動。不妨設(shè)交點為，

則有，

解得，所以。綜上，。

三、注變化規(guī)律，動態(tài)分析臨界狀態(tài)

例2 若關(guān)于x的方程對任意均有實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是_______

解析：此題包含兩個參數(shù)，兩個參數(shù)相互制約，共同影響整個問題的結(jié)論。因此，在解題時要關(guān)注參數(shù)的變化規(guī)律，從運動的視角分析臨界狀態(tài)下圖像相交的特點，從而找到問題的突破口。

。

設(shè)，可得的圖像表示的是恒過定點，斜率在之間變化的直線束，其中點在直線上運動。

因此，原問題就轉(zhuǎn)化為與有交點，如圖4所示，考慮臨界狀態(tài)時的相交情況。

當(dāng)?shù)闹本€過點時，

將代入，得臨界點;

當(dāng)?shù)闹本€過點時，

將代入，得臨界點;

所以。

本題難點在于有兩個參數(shù)，如果能夠事先估計除參數(shù)的取值范圍，那么問題的解答過程就會簡潔的多。本題的解法還可以進一步優(yōu)化：

因為方程對任意的都成立，則當(dāng)與1時方程也成立，即有解，

得;有解，

得，

所以。

上面是當(dāng)與1時得到的取值范圍，還需要驗證

當(dāng)時，

對任意的，方程都有解。

令，直線恒過定點，

而點在線段上運動

如圖5所示，對任意的斜率，直線與半圓恒有交點。

綜上所述：。

“含參函數(shù)方程有解取值范圍問題”往往比較抽象，直接運用代數(shù)計算很容易陷入“山重水復(fù)疑無路”的困境，而采用數(shù)形結(jié)合就會迎來“柳暗花明又一村”的曙光。運用數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵是通過變形，構(gòu)造函數(shù)，把方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點或者圖像交點來處理，然后立足運動變化的視角動態(tài)分析圖像的變化規(guī)律，最終找到問題的突破口。