芻議四年級數(shù)學(xué)廣角中的“植樹問題”

羅懿

春天，是植樹的大好季節(jié)，同學(xué)們，你可能每年也參加植樹造林活動嗎？美化綠化自己的家園，你可曾注意到植樹中也有很多學(xué)問，由于植樹的線路不同，植樹的情況也就不同。你想了解植樹中的學(xué)問并學(xué)會怎樣解決植樹問題嗎？歡迎

你參加我們的數(shù)學(xué)園欄目，共同研究你想要解決的問題。

一、自主探究

例1：兩座樓房之間相距56米，每隔4米栽雪松一棵，一直行能栽多少棵？

分析：要以兩棵雪松之間的距離作為分段的標(biāo)準(zhǔn)，兩座樓房之間的長度可分為若干段，即56米里面包含有多少個4米，56÷4=14（段）

這道題與例1的不同點是兩頭不需要栽樹（因為不能在樓房的墻根栽樹），所以要栽的雪松數(shù)比分成的段是少1，14-1=13（棵）

解： （1）以4米為段，56米應(yīng)分成的段數(shù)是：56÷4=14（段）

（2）栽種雪松的棵數(shù)：14-1=13（棵）

綜合算式：56÷4-1=13（棵）

答：能栽雪松13棵。

例2：某一淡水湖的周長1350米，在湖邊每隔9米種柳樹一株，在兩株柳樹中間種植2株夾枝桃，可栽柳樹多少株？可栽夾枝桃多少株？兩株夾枝桃之間相距多少米？

分析：在圓周上植樹時，由于開始栽的一棵與依次栽的最后一棵將會重合在一起，所以可栽的株數(shù)等于分成的段數(shù);由于兩株柳樹之間等距離地栽2&127;株夾枝桃，所以栽夾枝桃的株數(shù)等于2乘以段數(shù)的積;要求兩株夾枝桃之間相距多少米，需要懂得兩株柳樹之間等距地栽2株夾枝桃，即4株之間有3段相等的距離。

解：（1）以9米分為一段，水湖一周可分的段數(shù)，即栽柳樹的株數(shù)：

1.50÷9=150（株）

（2）栽夾枝桃的株數(shù)：2×150=300（株）

（3）每段上柳樹與夾枝桃的總株數(shù)是：2+2=4（株）

（4）4株栽在9米的距離中，有3段相等的距離，每兩株之間的距離是：

9.（4-1）=3（米）

綜合算式：（1）1350÷9=150（株）

（2）2×（1350÷9）=300（株）

（3）9÷（2+2-1）=3（米）

答：可栽柳樹150株;可栽夾枝桃300株;每兩株夾枝桃之間相距3米。

二、認(rèn)識植樹問題的誤區(qū)

1.重形象直觀，輕抽象概括。以《植樹問題》為例，兩端都栽樹，很多老師喜歡以手為例。兩個手指之間有幾個間隔？三個手指呢？四個、五個呢？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？這里，執(zhí)教教師就倉促了一些。其實，這里教師還可進(jìn)一步引導(dǎo)：6個手指有多少個間隔……100個手指呢？你是怎樣知道的？這就逼著學(xué)生跳出“手”這一具體形象，依靠表象進(jìn)行抽象概括，思維無疑進(jìn)了一步。

2.重歸納發(fā)現(xiàn)，輕演繹推理。兩端植樹，樹的棵數(shù)=間隔數(shù)+1。正如前面案例所描述的，這是一個典型的歸納發(fā)現(xiàn)的過程。那么，對于本節(jié)課的另一教學(xué)任務(wù)，《植樹問題》的另一類型：兩端都不植樹的情況，是否也依然要用歸納發(fā)現(xiàn)的方法呢？這當(dāng)然仁者見仁，智者見智。不過，我認(rèn)為以下教法很重要。因為，在我看來，“兩端植樹”和“兩端都不植樹”二者實質(zhì)是一樣的，兩端植樹，樹的棵數(shù)=間隔數(shù)+1，把兩端的樹去掉，樹的棵數(shù)就減少了2，也就是“間隔數(shù)+1-2”，加上一個1再減上一個2，間隔數(shù)總的來說少了1，用模型表示就是“間隔數(shù)-1”。

三、在線段上的植樹問題可以分為以下三種情形

1.如果植樹線路的兩端都要植樹，那么植樹的棵數(shù)應(yīng)比要分的段數(shù)多1，即：棵數(shù)=段數(shù)+1。

2.如果植樹線路只有一端要植樹，那么植樹的棵數(shù)和要分的段數(shù)相等，即：棵數(shù)=段數(shù)。

3.如果植樹線路的兩端都不植樹，那么植樹的棵數(shù)比要分的段數(shù)少1，即：棵數(shù)=段數(shù)-1。

4.在封閉線路上植樹，棵數(shù)與段數(shù)相等，即：棵數(shù)=段數(shù)。

5.在方形線路上植樹，如果每個頂點都要植樹。則棵數(shù)=（每邊的棵數(shù)-1）×邊數(shù)。

例題：

例子1，長方形場地：一個長84米，寬54米的長方形蘋果園中，蘋果樹的株距是2米，行距是3米.這個蘋果園共種蘋果樹多少棵？

解：

解法一：

①一行能種多少棵？84÷2=42（棵）.|

②這塊地能種蘋果樹多少行？54÷3=18（行）.

③這塊地共種蘋果樹多少棵？42×18=756（棵）.

如果株距、行距的方向互換，結(jié)果相同：

（84÷3）×（54÷2）=28×27=756（棵）.

解法二：

①這塊地的面積是多少平方米？

8.×54=4536（平方米）.

②一棵蘋果樹占地多少平方米？

2.3=6（平方米）.

③這塊地能種蘋果樹多少棵？

4.36÷6=756（棵）.

當(dāng)長方形土地的長、寬分別能被株距、行距整除時，可用上述兩種方法中的任意一種來解;當(dāng)長方形土地的長、寬不能被株距、行距整除時，就只能用第二種解法來解。

但有些問題從表面上看，并沒有出現(xiàn)“植樹”二字，但題目實質(zhì)上是反映封閉線段或不封閉線段長度、分隔點、每段長度三者之間的關(guān)系。鋸木頭問題就是典型的不封閉線段上，兩頭不植樹問題。所鋸的段數(shù)總比鋸的次數(shù)多一。上樓梯問題，就是把每上一層樓梯所需的時間看成一個時間間隔，那么： 上樓所需總時間 =（終點層—起始層）×每層所需時間。而方陣隊列問題，看似與植樹問題毫不相干，實質(zhì)上都是植樹問題。

五、總結(jié)歸納

歸納“化繁為簡”的解題策略。讓學(xué)生體會到研究問題可以從簡單入手，將困難的變?yōu)槿菀椎?，將?fù)雜的變?yōu)楹唵蔚?，用這樣的方法，可以有效的解決問題。把抽象的數(shù)學(xué)化歸思想滲透在教學(xué)中，讓學(xué)生在“潤物細(xì)無聲”中體驗到數(shù)學(xué)思想方法的價值，提高思維的素質(zhì)。