有限元法的變分原理及其在土石壩設(shè)計中的應(yīng)用

鄒戰(zhàn)軍 楊望

【摘要】有限元法是采用直接法計算變分問題的重要方法，在土木工程計算領(lǐng)域的分析軟件如ANSYS、Workbench、Autobank等均以變分法為理論基礎(chǔ)。本文將就有限元法的變分原理作一簡單梳理，并采用Autobank軟件建模分析某土石壩的滲流場及應(yīng)力變形，計算結(jié)果表明大壩應(yīng)力變形符合工程實(shí)際，計算分析對大壩設(shè)計工作起到了指導(dǎo)作用。

【關(guān)鍵詞】有限元；變分法；Autobank；土石壩設(shè)計；應(yīng)力變形分析

引言

隨著壩工技術(shù)的發(fā)展，土石壩建設(shè)高度越來越高，其應(yīng)力和變形計算越來越關(guān)系到大壩安全。因此，結(jié)構(gòu)計算分析將會在土石壩的設(shè)計和科學(xué)研究中發(fā)揮越來越重要的作用。

有限元法的理論基礎(chǔ)為變分法，變分法歷史悠久，是近代發(fā)展起來的一門重要數(shù)學(xué)分支，在工程技術(shù)及科學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用。變分法起源于泛函的極值問題，其關(guān)鍵定理是歐拉-拉格朗日方程。

Autobank軟件應(yīng)力變形分析模塊是以變分法為理論基礎(chǔ)開發(fā)的一款有限元分析軟件，提供線彈性模型、非線性模型（如鄧肯E-B、E-μ模型）等，在水利工程設(shè)計中有著廣泛的應(yīng)用。

1、有限元法簡介

目前在水利工程結(jié)構(gòu)分析領(lǐng)域常用的數(shù)值計算方法有：有限差分法FDM、有限元法FEM、邊界元法BEM、離散元法DEM等，其中有限元法是應(yīng)用最廣泛的方法。

有限元法是以變分原理為基礎(chǔ)發(fā)展起來的，是一種高效的數(shù)值計算方法。工程計算和科學(xué)研究領(lǐng)域，常常需要求解各類常微分方程（組）、偏微分方程（組），而許多微分方程（組）的解析解很難得到，甚至無法求出。使用有限元法將微分方程離散化后，編制計算機(jī)程序輔助求解，是一種可行且高效的方法。

2、有限元法的變分原理

2.1 泛函及其極值

設(shè)有泛函的極值問題：

研究泛函在某函數(shù)類中的極值問題即變分問題，例如最小曲面問題、懸鏈線問題、邊坡穩(wěn)定最小安全系數(shù)的滑弧問題、重力壩的最優(yōu)斷面問題等。研究泛函極值的方法即變分法。直接法是求解泛函極值的近似方法，對于無法求解解析解的變分問題及工程計算，有著及其重要的作用。

2.2 變分方法

2.2.1、 Rits法

Rits法是變分問題直接解法中最重要的一種，其求解過程為：

2.2.2、 伽遼金法

伽遼金法屬于加權(quán)余量法的一種，加權(quán)余量法求解微分方程的邊值問題并不需要求得問題對應(yīng)的泛函，使得應(yīng)用范圍得以擴(kuò)大。其基本原理如下：

1）當(dāng)選擇基函數(shù)，使un滿足邊界條件式（2.2-3）時，問題轉(zhuǎn)化為求解式（2.2-4），稱為內(nèi)部法，對應(yīng)的有限元法稱為內(nèi)部元法。

2）當(dāng)選擇基函數(shù)，使un滿足算子方程式（2.2-2）時，問題轉(zhuǎn)化為求解式（2.2-5），稱為邊界法，對應(yīng)的有限元法稱為邊界元法。

3）當(dāng)un既不滿足邊界條件式（2.2-3）時，也不滿足算子方程式（2.2-2）時，稱為混合法，對應(yīng)的有限元法稱為混合元法。

在內(nèi)部法中，當(dāng)令權(quán)函數(shù)Wsi=時，即為伽遼金法。

2.2.3、 有限元法

設(shè)有邊值問題：

3、設(shè)計案例—土石壩應(yīng)力變形分析

3.1 工程概況

龍王殿水庫位于杭州市臨安區(qū)，樞紐由擋水大壩、溢洪道、放水設(shè)施等組成。

水庫大壩為粘土心墻土石壩，壩頂長100m，壩頂高程200.70～200.90m，最大壩高25.50m。迎水面高程186.50m以上壩坡坡度為1：2，以下壩坡坡度為1：2.26；背水面壩坡坡度為1：2，在高程177.50m處設(shè)置排水棱體。大壩采用心墻加黏土套井防滲。

3.2 Autobank軟件簡介

Autobank是特別適用于土石壩及邊坡分析的一款軟件，包含：建模模塊、滲流分析模塊、穩(wěn)定分析模塊、應(yīng)力變形分析模塊等。

應(yīng)力變形分析模塊采用有限元法計算土石壩、重力壩、邊坡及其他類型建筑物的應(yīng)力、位移等物理量隨空間、時間的變化。

3.3 本構(gòu)模型

目前土石壩工程上應(yīng)用非線性模型，鄧肯-張（E-μ及E-B）模型是常用的非線性模型，本文采用E-B模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析。E-B模型相對于E-μ模型，計算結(jié)果更接近于工程實(shí)際情況。

3.4 建模及網(wǎng)格劃分

本文采用Autobank分析軟件計算壩體的應(yīng)力變形。采用相對高程，設(shè)壩體上游面建基面高程為0.00m。

在分析結(jié)果的影響因素中，網(wǎng)格劃分的影響是非常顯著的。選取適當(dāng)?shù)木W(wǎng)格劃分方式及網(wǎng)格大小，既可以節(jié)省計算時間，又可以使計算精度在可接受范圍內(nèi)。本文采用三角形網(wǎng)格劃分單元，自適應(yīng)網(wǎng)格。壩體及壩基共劃分為4993個單元，2649個節(jié)點(diǎn)。網(wǎng)格劃分結(jié)果如下：

3.5 求解及后處理

網(wǎng)格劃分完成后應(yīng)用滲流分析模塊求得單元的水頭、水壓、水力坡降等物理量。求得土石壩的浸潤線位置，作為應(yīng)力變形分析的輸入。

應(yīng)力變形成果在滲流場計算成果之后取得，從計算結(jié)果可以看到，x方向位移偏向下游，壩體應(yīng)力變形符合規(guī)律。

本文的重點(diǎn)在于有限元分析的原理及土石壩應(yīng)力變形分析的計算流程，有關(guān)設(shè)計參數(shù)的取得尚需試驗(yàn)的進(jìn)一步工作。

壩體應(yīng)力變形計算結(jié)果如下：

4、成果分析

壩體的滲流計算成果作為應(yīng)力變形分析的輸入，發(fā)揮著十分重要的作用，因此，上下游水位邊界條件的精度，影響著應(yīng)力變形分析的結(jié)果。

從本文的計算結(jié)果可以看出，壩體材料參數(shù)對計算結(jié)果有著比較大的影響，材料參數(shù)的具體數(shù)值尚需進(jìn)一步研究，以提高計算結(jié)果精度。

5、結(jié)語

隨著壩工技術(shù)的發(fā)展，土石壩高度越來越高，其應(yīng)力和變形計算精度要求越來越高，越來越關(guān)系到大壩安全。傳統(tǒng)的分層總和法計算壩體沉降，適合于中小型土石壩的計算，對于高壩來說，采用有限元分析計算其應(yīng)力和變形是十分必要的。

《碾壓式土石壩設(shè)計規(guī)范》規(guī)定：1、2級高壩及建于復(fù)雜和軟弱地基上的壩應(yīng)采用有限元計算壩體及壩基或其他相銜接的建筑物在土體自重及其他外荷載作用下和各種不同工作條件下的應(yīng)力變形。因此有限元計算分析將會在土石壩的設(shè)計和科學(xué)研究中發(fā)揮越來越重要的作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]老大中.變分法基礎(chǔ)[M].北京：國防工業(yè)出版社，2006：262-269.

[2]水利部水利水電規(guī)劃設(shè)計總院.水工設(shè)計手冊：第6卷[M].北京：中國水利水電出版社，2014：121.

[3]黎耀貴.黎平雙江水電站拱壩開孔應(yīng)力計算[J].黑龍江水利科技，2014.3：30.

[4] SL274-2001，碾壓式土石壩設(shè)計規(guī)范[S].