“行”“知”統(tǒng)一：數(shù)學問題解決的啟發(fā)式教學設計

摘 要：“行”“知”統(tǒng)一原理揭示了數(shù)學問題解決的“信息封裝”的心理活動過程，它提示了教師啟發(fā)式教學設計應該努力的方向.知識在數(shù)學問題中的應用不是直接的、自動化的過程，而是要解題者梳理信息，辨別信息，從形成的“信息輪廓”中誘發(fā)生成觀念，才能調用數(shù)學知識解決問題，這是一種個性意義賦予或意義生成的心理構建過程.

關鍵詞：問題解決；“行”“知”統(tǒng)一；啟發(fā)式

問題是數(shù)學的心臟，學習數(shù)學就意味著解題.那么，數(shù)學問題解決究竟具有哪些教育價值呢？數(shù)學問題解決是幫助學生理解所運用解決問題的數(shù)學知識的基礎；數(shù)學問題解決是學生形成數(shù)學能力、萌發(fā)數(shù)學觀念、建構數(shù)學方法、生成數(shù)學思想必不可少的途徑；數(shù)學問題解決是學生體驗自我的精神創(chuàng)造性、生發(fā)成就感等的情感皈依的前提；數(shù)學問題解決是將數(shù)學學習所產生的知識與能力遷移到應對新的問題情境（甚至于超過數(shù)學的范圍）的前提保證.但是，不是所有的教學方式都可以實現(xiàn)上述教育價值.本文主要探討指向“行”“知”統(tǒng)一原理的數(shù)學問題解決的課堂教學，通過啟發(fā)式教學設計來實現(xiàn)這些教學目標.

一、“行”“知”統(tǒng)一：發(fā)揮數(shù)學問題解決的教育價值的途徑

學生的數(shù)學問題解決探究活動行為的發(fā)生，就是將所學的數(shù)學知識運用到面臨的數(shù)學問題（數(shù)學練習題或現(xiàn)實生活中的問題）所提供的信息中去.于是，首先需要討論的是學生探究活動展開時的“行”“知”間的內在聯(lián)系.在“行”與“知”的關系中，哲學家或教育學家常常會產生各自的偏愛，形成各自的取向，有的強調“行”，有的強調“知”，形成兩者之間的差異.例如，一個懂得某一數(shù)學知識或具備某一數(shù)學觀念的學生，卻不知道在他的計算或證明中運用這些知識或觀念解決自己所面臨的實際數(shù)學問題，即利用知識結構組織與整理問題提供的信息，這就是“知”而難“行”.對于這一現(xiàn)象，有的教師認為學生沒有掌握好知識；有的教師認為學生可能掌握了知識，但是不知道如何將知識運用到他所面臨的問題信息中去，即缺乏運用知識的能力.

教師在解釋一個體的數(shù)學問題解決行為所產生的差異可能是一種假象，因為在學生的“行”與“知”的關系中，除了你能看到學生的外在行為（通過觀察學生在課堂現(xiàn)場中的活動；或間接的活動成果如學生完成的作業(yè)，由此而推測學生曾經發(fā)生過的數(shù)學解題的心智行為）之外，教師如何知道學生對某一知識理解得怎么樣？達到何種程度？這些說明教師在實際教學行為中對“行”與“知”所強調的偏愛與取向方面會具有不同的心理估計.

這就在學生的“行”與“知”，即“機械練習”（行）與“數(shù)學理解”（知）之間畫上一條鴻溝，兩者的界限分明.教師所強調的有效教學應該是通過啟發(fā)的途徑促使學生實現(xiàn)“行”“知”統(tǒng)一.因為，格式塔完形心理學派特別強調“頓悟”即“知”（數(shù)學理解）的價值（波利亞所提供的許多例子也是一樣），要求學生的“練習”一定要在“理解”的基礎上進行，波利亞通過《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》《怎樣解題》等的經典著作都特別強調“行”“知”統(tǒng)一中的“知”（數(shù)學理解）的重要性[1].他們都認為沒有“數(shù)學理解”的解題行為是無效的，對優(yōu)化學生的心理品質沒有作用.這些對數(shù)學問題解決的教學設計具有極其重要的指導意義.

然而，必須注意的是，教育家布魯納指出，“練習”并不一定必然為機械的，而強調“理解”也有可能滑向引導學生咬文嚼字的心理傾向[2]（奧蘇貝爾的有意義的接受學習也闡述了同樣的觀點）.長期的數(shù)學問題解決教學研究的實踐經驗使我們認識到，數(shù)學計算或證明的實踐活動可能是達到理解數(shù)學概念、規(guī)律、法則、方法、觀念、思想的必不可少的環(huán)節(jié)，即以“行”而致“知”.幫助學生理解數(shù)學知識的一項比較好的途徑就是指導學生運用這一數(shù)學知識去解決已經設計好的適當?shù)臄?shù)學練習題的行為.

我們的理解是，因為一種數(shù)學問題解決行為的發(fā)生并不是主體意識機能的條件反射式的自然反應，而是在發(fā)動組織與整理數(shù)學化問題信息行為時，首先必須萌生指導這種行為動作的數(shù)學觀念，這些數(shù)學觀念大多數(shù)是從學生已經掌握了的數(shù)學知識、數(shù)學方法、數(shù)學思想中轉化而來的（或者就是已經形成的數(shù)學觀念的直接應用），這就要求學生必須對數(shù)學知識與面臨的問題信息的雙向理解進行整合的過程，其實，這一過程就是強調“行”“知”統(tǒng)一：在行動中產生知識（以“行”致“知”），在知識（通過觀念）的指導下產生行動（由“知”導“行”），二者相輔相成、不可偏廢.

或者，可以進一步說，在一個人還沒有意識到對某個數(shù)學問題所提供的信息的意蘊之前，要他對這個問題做些什么一定很難實現(xiàn).因此，在這種哲學層面上抽象地探討數(shù)學問題解決的“行”與“知”的取向，對一線教師數(shù)學問題解決的教學設計并沒有多大的實用價值，其實，它很難優(yōu)化數(shù)學（特別是一線）教師產生對于具體數(shù)學問題解決的教學行為.

對此我們可以提出更為契合的問題：對于某種特定的數(shù)學知識的教學，哪種方法或方式最有可能促進學生理解教材（數(shù)學知識）？強調運用數(shù)學知識解決問題的活動過程是一項重要途徑.那么，什么才是達到學生理解數(shù)學知識的最有成效的練習題呢？教師如何把教科書上所提供的練習題通過自己的優(yōu)化設計將其轉化為比較具有成效的練習題呢？這些都是數(shù)學問題解決的教學設計必須首先要考慮的問題.因為數(shù)學問題解決的教育價值非固定不變，而是具有等級層次性，這種等級層次除了決定于問題自身的特點以外，教學設計方式與行為也起著非常重要的作用.

在數(shù)學問題解決的教學設計中，教師如何從“行”“知”統(tǒng)一原理獲得教學行為上的效益呢？我們發(fā)現(xiàn)，從數(shù)學教育教學理論上來演繹出比較適合教師使用的教學方式方法是困難的，而從研究成功的數(shù)學教師所運用的方式方法中可能更具實踐意義，成功的數(shù)學問題解決教學行為課例，肯定能對數(shù)學問題解決的教學技藝問題，或者對一般的教授比較復雜的數(shù)學知識的技術性問題，具有較大的幫助.

二、數(shù)學問題解決的啟發(fā)式教學課例

為了弄清數(shù)學問題解決的啟發(fā)式教學設計的特點，我們首先思考數(shù)學問題解決的一般思維活動環(huán)節(jié).在數(shù)學問題解決的思維活動中，發(fā)現(xiàn)決定問題思路的必要前提在于設法操作與組織外在數(shù)學化信息（即對題意提供的條件的理解與把握），使題設信息組成某種正確率比較高的“脈絡輪廓”，從而由這個“脈絡輪廓”決定選擇與利用某個（學生已經通過學習掌握了的）具體的數(shù)學知識結構解決問題，這主要偏向于“知”；其實，這兩者的結合就是解題者已經掌握了的數(shù)學“知識結構”與數(shù)學問題所提供的信息“脈絡輪廓”的互相適應與整合的過程，即 “行”“知”統(tǒng)一.這一過程的程序環(huán)節(jié)有些復雜，概略地敘述如下.

首先，解題者必須對問題提供的信息進行辨別，從中選擇并確定出“支點信息”，選擇“支點信息”的心理活動又是由外在信息與已經內化、并保存在意識結構中的數(shù)學“知識結構”之間的互相吸引、相互誘導、互相滲透、相互調整互為因果的；其次，基于“支點信息”，并在“支點信息”所形成的“凝聚核”的作用下，使“支點信息”與諸多外圍信息組織成一種疑似于某一具體“知識結構”的“信息脈絡輪廓”；最后，由這種信息“脈絡輪廓”提示解題者選擇具體的數(shù)學“知識結構”來組織與整理信息，當“信息脈絡輪廓”與數(shù)學“知識結構”合并時，問題也就被解決了.這個過程框架如圖1所示[3].

這一發(fā)現(xiàn)解題思路的過程，筆者在寫作中稱之為“數(shù)學知識結構封裝外在數(shù)學化信息”，簡稱“信息封裝”的過程.由此可見，“信息封裝”過程實際上就是以“行”致“知”與由“知”導“行”的統(tǒng)一過程.因為，學生在對數(shù)學化信息的操作活動中，形成解題主體起承轉合的心智活動與肢體活動相互配合、相互驗證、相互促進的現(xiàn)實意義，從而萌生數(shù)學觀念，這些數(shù)學觀念指導解題行為（肢體與心智）活動的展開，這是以“行”致“知”與由“知”導“行”統(tǒng)一的重要標識.它為教師在數(shù)學問題解決中的啟發(fā)式教學設計提供了方向.對此，我們看下面的課例.

課例 已知：如圖2，在△ABC中，?ADC=?BAC①.求證：?CAD=?CBA②.

下面是筆者的課堂教學實錄（省略號表示學生思維的中斷）.

師：在圖2中存在哪些相等的角？請大家用記號標示出來.

生1：已知條件?ADC=?BAC中的?BAC被線段AD分割開來，圖形的重疊影響了探索思路的發(fā)現(xiàn).首先解決重疊問題，使我們容易看清圖形的本質……

師：一個好建議！大家試一試.

學生活動關鍵環(huán)節(jié)實錄：首先，把圖2中的△ADC平移出來，得到圖3與圖5，其次，根據(jù)已知條件?ADC=?BAC①和要證明的結論?CAD=?CBA②，把圖3變換成圖4的位置形態(tài)（相機板書圖形）.

師：請對比圖4與圖5，你有新發(fā)現(xiàn)嗎？

生2：比較圖4與圖5中的這兩個三角形之間角的關系可得（相機板書等式）：

已知條件是 ?ADC=?BAC①，

所求結論是 ?CAD=?CBA②，

還有公共角 ?ACD=?BCA③.

生3：分析條件與圖形的特點，可知，在這三個等式中，①和③成立，②是要求證的結論，應該成立，但是……

師：其他同學還有什么想法？

生4：我想應用“三角形的內角和等于180°”這個定理……

師：一個絕妙的主意！如何應用？

生5：①②③三個等式的左邊三個角是△DAC的三個內角，右邊三個角是△ABC的三個內角.把這三個等式左、右兩邊分別相加，得到各自的三角形內角和為180°，即

?DAC+?ADC+?DCA=180°，

?ABC+?BAC+?ACB=180°……

師：精彩！下一步怎么想？

生6：由于這兩個等式的右邊相等（180°），知?DAC+?ADC+?DCA=?ABC+?BAC+?ACB④.只要將④的左、右兩邊對應地減去①與③的左、右兩邊，知結論②成立.

師：通過合作思考，發(fā)現(xiàn)這道證明題的思路.請寫出標準的證明過程（由學生板書）.

證明：因為?DAC+?ADC+?DCA=180°，?ABC+?BAC+?ACB=180°（三角形的內角和等于180°），

所以?DAC+?ADC+?DCA=?ABC+?BAC+?ACB（等量代替），

又因為?ADC=?BAC（已知），?ACD=?BCA（公共角），

所以?CAD=?CBA（等量減等量差相等）.

這一教學過程的特色就在于教師首先通過啟發(fā)學生從行動出發(fā)，展開研究外在數(shù)學問題化信息，將它們梳理成信息“脈絡輪廓”，學生積極參與活動，獲得許多活動成果，筆者對這些成果加以選擇與組織（通過相機板書的手段加以表征），啟發(fā)學生選擇應用已經掌握的數(shù)學知識結構（三角形內角和定理），解決了問題.它偏向于以“行”致“知”的過程.

這種教學設計通過層層鋪墊，促使學生形成完形的心理內驅力，產生了“頓悟”的過程.教師特別善于運用語言與時間的節(jié)奏，如對生3的回答，筆者提問“其他同學還有什么想法？”后，據(jù)細心的聽課教師記錄，整個五十多名學生的班級靜默了85秒鐘，此時，學生都無一例外地沉入于緊張的思考之中.這種沉默才真正是由一個客觀事件轉換成另一個不同性質的主觀事件的契機，它使因果交替，它能產生機緣[4].創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，正是出現(xiàn)在如此的課堂靜默的“頓悟”過程之中.

筆者只不過運用的是要求學生產生行為活動與誘發(fā)“頓悟”的寥寥數(shù)語，使用的都是啟發(fā)性語言，這些語言與組成問題解答過程的具體思路所需要的環(huán)節(jié)沒有多大關系，都是比“數(shù)學觀念”高一層次的一般性的觀念（試圖啟發(fā)學生從這種一般觀念中萌生出具體的“數(shù)學觀念”），即不是直接提示學生發(fā)生具體操作信息的行動，而是促使學生萌生出相應的觀念指導他們自己的行動，或者說，學生行為產生的命令由學生自己創(chuàng)造出來，整個問題解決時對信息的意義賦予與具體環(huán)節(jié)構建活動，都是由學生自己操作與思考所主導，由此促使學生自己將外在數(shù)學化信息與其已經內化了的“數(shù)學知識”關聯(lián)起來，依據(jù)問題信息的特點，選擇了合適的“知識結構”進行“信息封裝”.

三、優(yōu)化教師教學行為的啟示

做好數(shù)學問題解決的啟發(fā)式教學設計，要求教師在啟發(fā)學生組織外在數(shù)學化信息時，應力求超越信息所指稱的符號表層（客觀或共性）意義的教學，要由符號表層意義教學走向信息的邏輯編織過程的教學與符號深層（主觀或個性）意義的教學的統(tǒng)一.在教育立場上的數(shù)學問題解決過程不再是認識結果的符號存在形式，而是在師生互動的交往過程中，基于前人的認識成果，由學生的心理活動賦予外在信息以新的意義系統(tǒng)（具有個性）的過程，如此，突破知識符號的客觀性，追問這些符號背后具有怎樣的個性心理意義.如果數(shù)學問題解決活動不與主體的個性行為結合起來，那么，教學就只會停留在人類固有的認識成果上——精致的符號表征性的解題結果（就是課例的數(shù)學過程中證明部分的那種精致表達的結論），這就無法實現(xiàn)數(shù)學問題解決的教育價值——認識過程與人性的相遇.

數(shù)學問題解決的啟發(fā)式教學設計的重要特征應該形成符號表征、邏輯形式與構建意義三位一體的整合過程，重在啟發(fā)學生對外在信息的意義構建活動.這要求教師在先進的教學理念的統(tǒng)領下，選擇一系列合適的教學手段、方法與策略，通過努力優(yōu)化教學行為來達到啟發(fā)學生解決問題，從而促進學生理解知識，形成能力與情感皈依的目的.教學設計及其實施時教師一般需要具有四類行為：主體教學行為（指導行為、對話行為、呈示行為）、輔助教學行為（學習動機的激發(fā)、思維動力的維持、課堂氣氛的營造）、課堂管理行為（課堂問題行為的預防或處理）與教學評價行為（學生活動成果評價、學生理解層次評價、教學設計本身的評價）[5].這四種行為統(tǒng)一于教師在課堂中與學生的對話交流中，啟發(fā)式教學設計就是教師充分挖掘這四種行為中可以啟發(fā)學生展開思維活動的要素并進行現(xiàn)實中的合理關聯(lián)，經由精心的設計呈示于課堂，而不是將教師的精致思路發(fā)現(xiàn)的結果在課堂上和盤托出.

教師關于數(shù)學問題解決的啟發(fā)式教學設計需要產生的合適教學行為，并非完全從時代的優(yōu)勢教育理念中演繹來的，而是重在觀照現(xiàn)代教育理論與對具體的知識性質、學生心理的分析之中與在反思課堂教學行為的實踐中，通過再構教學行為而獲得的.數(shù)學教師教學行為構成要素的基礎環(huán)節(jié)主要體現(xiàn)在互相關聯(lián)的三個側面：對要傳授的數(shù)學知識點（或練習題的思路）的結構所呈現(xiàn)的環(huán)節(jié)及其連接中介組成序列的理解（教材分析）；對學生萌發(fā)數(shù)學知識（環(huán)節(jié)及其連接中介）的心理環(huán)節(jié)（呈現(xiàn)的是觀念形態(tài)）的把握（學情分析）；通過創(chuàng)造性工作找到這二者之間的聯(lián)系（教學法分析），由此設計出合適的教學活動序列（如圖6[6]）.

“行”“知”統(tǒng)一原理揭示了數(shù)學問題解決的“信息封裝”的心理活動過程，它提示了教師啟發(fā)式教學設計應該努力的方向.知識在數(shù)學問題中的應用不是直接的、自動化的過程，而是要解題者梳理信息，辨別信息，從形成的“信息輪廓”中誘發(fā)生成觀念，才能調用數(shù)學知識解決問題，這是一種個性意義賦予或意義生成的心理構建過程.對此，我們應該思之再思，慎之又慎！

參考文獻：

[1]喬治·波利亞. 數(shù)學的發(fā)現(xiàn)——對解題的理解、研究與講授（第二卷）[M].劉遠圖，秦章，譯.北京：科學出版社，1987：401.

[2]布魯納.教育過程[M].邵瑞珍，譯.北京：文化教育出版社，1982：46.

[3]張昆. 滲透數(shù)學觀念的教學設計方法研究——以一元一次方程為例[D].重慶：西南大學，2011.

[4]張昆.潛心自我教育 實現(xiàn)專業(yè)成長——一個邊遠農村教師發(fā)展的心路歷程[J].中國教師，2012（8）：47.

[5]劉路.有效教學的深度追求[J]. 教學與管理（中學版），2015（4）：5.

[6]張昆，曹一鳴.完善數(shù)學教師教學行為的實現(xiàn)途徑[J]. 數(shù)學教育學報，2015，24（1）：33-37.