一元微積分古詩(shī)趣讀

李尚志

金庸武俠小說(shuō)《射雕英雄傳》中的《九陰真經(jīng)》分成上、下兩篇，上篇講的是指導(dǎo)思想（idea），下篇講的是具體招數(shù)（technique）。雖然打架靠technique，但是在idea指揮下才能對(duì)technique應(yīng)用自如，應(yīng)付戰(zhàn)場(chǎng)上的千變?nèi)f化。沒(méi)有idea的指揮，梅超風(fēng)練出的technique就只是歪門邪道。這就好比詩(shī)歌，詩(shī)歌不是工筆畫(huà)而是寫意畫(huà)，不能像數(shù)學(xué)語(yǔ)言那樣嚴(yán)格地講述定理和公式，但是卻可以講述指揮這些定理和公式的idea，幫助我們領(lǐng)會(huì)到這些定理和公式的真諦。以下四首詩(shī)通過(guò)浪漫的比喻和生動(dòng)的形象介紹了一元微積分四個(gè)專題的主要思想。

微分

凌波能信步，

苦海豈無(wú)邊。

函數(shù)千千萬(wàn)萬(wàn)，

一次最簡(jiǎn)單。

函數(shù)千千萬(wàn)萬(wàn)，千變?nèi)f化，太復(fù)雜，難以研究，猶如無(wú)邊苦海。怎么逃出這個(gè)苦海？將難以研究的函數(shù)轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)單的一次函數(shù)來(lái)研究，這就是微分。

金庸武俠小說(shuō)段譽(yù)學(xué)了“凌波微步”的逃命功夫，雖能凌波而不沉入苦海，畢竟還需要小心翼翼地“微步”，生怕步伐太急太重墮入水中。我們改成信步，可以隨意進(jìn)退。有什么絕招可以如此瀟灑？絕招就是“一次最簡(jiǎn)單”，將函數(shù)y=f （x）在每一點(diǎn)c附近用與之最接近的一次函數(shù)dy=y-f（c）=k（x-c）=kdx近似代替，就是函數(shù)圖象曲線在點(diǎn)（c，f（c））的切線方程，切線斜率k=f （c）就是導(dǎo)數(shù)，dy=f （c）dx就是微分。微分就是用一次函數(shù)代替函數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)就是導(dǎo)數(shù)。

Taylor展開(kāi)

漫天休問(wèn)價(jià)，

就地可還錢。

我有乘除加減，

翱翔天地間。

研究一般的函數(shù)太困難，猶如面對(duì)“漫天要價(jià)”，難以對(duì)付。將它變成一次函數(shù)來(lái)研究，這是“就地還錢”。在很多情況下，一次函數(shù)又過(guò)分簡(jiǎn)單，精確度不夠，這時(shí)可以再“漲一點(diǎn)價(jià)”。例如，研究變化速度，一次就夠了。研究加速度，研究彎曲程度，研究極大極小值，一次不夠，就用二次函數(shù)。我們不會(huì)算三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)這些“超越函數(shù)”，只會(huì)算加減乘除。將超越函數(shù)變成一次、二次多項(xiàng)式，就可以通過(guò)加減乘除算出來(lái)。精確度如果還不夠，就用三次、四次以至更高次數(shù)的多項(xiàng)式。通過(guò)提高多項(xiàng)式的次數(shù)來(lái)提高精確度，達(dá)到滿意的程度。這就是Taylor展開(kāi)。無(wú)限地提高次數(shù)，用無(wú)窮級(jí)數(shù)可以達(dá)到完全精確。這就是Taylor級(jí)數(shù)。憑借通過(guò)加減乘除算多項(xiàng)式這樣簡(jiǎn)單的本事，就能在“超越函數(shù)”這個(gè)“天”與“一次函數(shù)”這個(gè)“地”之間自由翱翔，游刃有余。

定積分

一帆難遇風(fēng)順，

一路高低不平，

平平淡淡分秒，

編織百味人生。

粗看起來(lái)，這首詩(shī)不是講數(shù)學(xué)，而是講人生。人生難得一帆風(fēng)順，總是高低不平。人生由分分秒秒組成。每分每秒太短暫，來(lái)不及有驚天動(dòng)地的業(yè)績(jī)，往往很平淡，但積累起來(lái)卻可以編織成豐富多彩的人生。

勻速運(yùn)動(dòng)的路程等于速度乘時(shí)間。但是，宇宙間的運(yùn)動(dòng)難得有真正勻速的，運(yùn)動(dòng)總是有快有慢，速度有大有小，不能直接將速度乘時(shí)間。很短一瞬間內(nèi)速度來(lái)不及變化，可以近似地看成勻速運(yùn)動(dòng)，將速度乘時(shí)間來(lái)計(jì)算路程。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間段可分成一個(gè)個(gè)短暫瞬間，將每個(gè)短暫瞬間的速度乘時(shí)間得到短暫路程的近似值，將這些短暫路程相加就得到總路程的近似值。分成的短暫瞬間越短，誤差越小。無(wú)限細(xì)分，短路程之和就無(wú)限接近于總路程的精確值。這就是定積分。

分分秒秒的平淡生活編織成精彩紛呈不平淡的人生。各個(gè)短暫瞬間近似勻速的運(yùn)動(dòng)路程組成整個(gè)變速運(yùn)動(dòng)。

原函數(shù)

量天何必苦登高，

借問(wèn)銀河落九霄。

直下凡塵幾萬(wàn)里，

幾多里處宴蟠桃？

已知速度求路程，是求定積分，很難，好比登天去量天的高度一樣難。

為什么一定要自己從下往上量天的高度呢？可以反過(guò)來(lái)從天上到地下度量。李白詩(shī)云“疑是銀河落九天”。讓銀河度量一下從九霄到凡塵的路程，不就是天的高度了嗎？銀河說(shuō)從天到地九萬(wàn)里，就知道從地到天九萬(wàn)里。銀河說(shuō)從天宮往凡間走二里路處舉行蟠桃宴，從凡間趕往天上差二里路到天宮處有蟠桃吃。

由速度v（t） 求路程s（t）太難。反過(guò)來(lái)由路程s（t）求速度v（t）是求導(dǎo)數(shù)，比較容易。求一個(gè)函數(shù)F（t） 使它的導(dǎo)數(shù)是已知的速度 v（t），這個(gè)函數(shù)F（t）是否就是路程呢？ 不一定。F（t）不一定是路程，但一定是位置。最末時(shí)刻b的位置F（b）與最初時(shí)刻a的位置F（a）之差F（b）-F（a）就是路程s（t），就是所求的定積分：

F（b）-F（a） =∫ab v（t） dt

定積分不僅是由速度v（t） 求路程，也可以是函數(shù)v（t）曲線與x軸之間所圍面積S。

F（t） 就是 v（t） 的原函數(shù)。上述通過(guò)原函數(shù)求定積分的方法就是微積分基本定理，就是牛頓-萊布尼茲公式。

既然叫微積分基本定理，它當(dāng)然就是微積分中最重要的定理。最重要的定理的想法其實(shí)非常簡(jiǎn)單：由下到上太困難，變成由上而下，將困難的事情變簡(jiǎn)單。