注重思路轉(zhuǎn)化 啟發(fā)數(shù)學思維
——一道幾何問題的解題思考

齊 欣

（山東省臨清市京華中學）

有效的解題教學通過合理的審題培養(yǎng)學生識圖、用圖的能力，將題目的特點轉(zhuǎn)化為有效的解題方法.以學生發(fā)展為本，堅持低起點切入，積淀基本數(shù)學思想和基本方法，引導學生發(fā)現(xiàn)通法，注重關聯(lián)，善于指導學生對解題思路進行深入分析及解后反思，這樣解題之法就會自然、清晰地呈現(xiàn)在學生腦海中.筆者現(xiàn)將自己對一道幾何填空題的解法探究整理成文，期待同行指正.

一、原題呈現(xiàn)

題目如圖1，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC，BD的交點，點E在CD上，且DE=2CE，連接BE.過點C作CF⊥BE，垂足為點F，連接OF，則OF的長為_____ .

圖1

二、探尋解法過程

思路1：借助旋轉(zhuǎn)變換，構造全等

由CD=6，又DE=2CE，可知DE=4，CE=2.在Rt△BCE中，由BC=6，CE=2，知于是由弦高公式，得從而BF=注意到OB=OC=32，且可證∠OBF=∠OCF，已具備一邊、一角分別相等，因此可在線段BF上截取BG=CF，構造全等三角形為突破口.

解法1：如圖2，在線段BF上截取BG=CF，連接OG.

圖2

因為∠OBG=45°-∠CBE=45°-∠ECF=∠OCF，

又OB=OC，

所以△OBG≌△OCF.

從而OF=OG，∠BOG=∠COF.

所以∠FOG=∠COF+∠COG=∠BOG+∠COG=∠BOC=90°.

當然，此題也可以作OG⊥OF來構造全等解決，本質(zhì)是一樣的，都是借助如圖3所示的旋轉(zhuǎn)變換模型引路.

圖3

思路2：借助四點共圓，導角定相似

由∠BOC=∠BFC=90°，可知點O，F(xiàn)均在以BC為直徑的半圓上.據(jù)此，在四點共圓的條件下，可進一步挖掘、探究角的關系，往往相似易于獲得.

圖4

解法2：如圖4，由∠BOC=∠BFC=90°，

得B，C，F(xiàn)，O四點共圓.

所以∠BOF+∠BCF=180°.

所以∠BOF=180°-∠BCF=180°-∠BEC=∠BED，且∠OBF=∠EBD.

所以△BOF∽△BED.

解法3：同解法2，得B，C，F(xiàn)，O四點共圓.

所以∠OFB=∠ACB=45°=∠BDC.

因為∠DBE是公共角，

所以△BOF∽△BED.

【評析】事實上，在圖1中，相似三角形（全等三角形除外）達20對.而恰恰就是包含OF，DE的這一對相似三角形的發(fā)現(xiàn)才是解決問題的關鍵.因此，抓住“邊定全等，角定相似”，問題迎刃而解.

思路3：融推理于計算

除了導角，還有沒有其他方法能得到△BOF與△BED相似呢？回到圖1正方形背景中來看△BOF與△BED中以點B為端點的四條線段，顯然夾公共角的四條邊BO，BF，BE，BD的長都容易求出，因此，又可通過計算、驗證得到的四條線段對應成比例，借助判別三角形相似的又一基本方法SAS來解決.融推理于計算是解題的突破口.

注：準確、快速求出BF的長是關鍵.

思路4：旋轉(zhuǎn)變換，相似相伴

回看上述歸納的基本圖形（圖3），里面的兩個等腰直角三角形顯然是相似的.這是解題的一個突破口.

圖5

解法5：由B，O，F(xiàn)，C四點共圓，得∠OFB=∠OCB=45°.

如圖5，在線段BF上取點G，使OG=OF.

繞過“攔路虎”，再殺“回馬槍”，及“關聯(lián)問題思路受阻，要學會向上看，看我們已經(jīng)得到了什么？”等等，這些都是教師在中考前經(jīng)常交代學生的解題策略，用在這里進行解后反思，又有了新的發(fā)現(xiàn).還有，CF，BF的長都是不必求出來的，原因是圖1里面用圖中字母表示的直角三角形三邊之比都是確定的.

變式1：把圖1放在坐標系中，以點B為原點，BC，BA所在直線分別為x軸、y軸，其余條件不變，求點F的坐標.

追問：OF的長和點O，F(xiàn)坐標之間有怎樣的關聯(lián)？

追問的意義在于由OF的長求不出點F的坐標，但是由點O，F(xiàn)的坐標卻可以求出OF的長.

思路5：轉(zhuǎn)化為解直角三角形

繼續(xù)思考，再次結合條件觀察△OFC，又有何新的發(fā)現(xiàn)呢？顯然OC，CF已知，∠OFC=135°，原來這就是一個解直角三角形的基本圖形（如圖6），以此為突破口，得到解法6.

圖6

圖7

解法6：如圖7，作OH⊥CF，交CF延長線于點H，顯然點O，F(xiàn)在以BC為直徑的圓上，

還可以過點C作OF邊上的高，或過點O作BC邊上的高，思路是一樣的.都是通過作垂線，構造直角三角形，并結合輔助圓及方程思想解決問題.對基本圖形的運用是解法1至解法6，以及變式1解法的共性.

思路6：活用輔助圓

類比解法3、解法4，能否構造一個以OF為邊的三角形與圖中的關聯(lián)三角形相似？繼續(xù)思考，如果延長CF交BD于點M，容易發(fā)現(xiàn)△MFO與△MBC相似，以此為解題突破口.

解法7：如圖8，延長CF交BD于點M，作MN⊥BC，垂足為點N.

圖8

借助輔助圓和相似三角形求解，作垂線構造直角三角形是關鍵.繼續(xù)觀察圖8，容易發(fā)現(xiàn)△MHC與△OFC相似.

構造△MHC與△OFC相似是解題突破口.

思路7：巧借平行線

解法9：如圖9，作CM∥BD，交BE的延長線于點M，

圖9

借助相似的基本圖形，求得ME的長是關鍵.正是“倍分關系尋相似，添線平行成習慣”.

思路8：構造中位線

解法10：如圖10，取ED的中點N，連接ON.

因為OD=OB，

所以ON為△BDE的中位線，ON∥BE.

延長CF交ON于點H，

則∠OHF=∠BFC=90°.

由EN=CE，ON∥BE，得

圖10

由B，O，F(xiàn)，C四點共圓，得∠OFH=∠OBC=45°.

三角形中位線性質(zhì)和判定，以及四點共圓的活用是解題的關鍵.

思路9：切換視角巧轉(zhuǎn)化

解法11：如圖11，作EH∥OC，交BD于點H，

變式2：正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC，BD的交點，點E在CD上，且DE=2CE，連接BE，交AC于點G，求BG，CG的長.

追問：繼續(xù)求FG呢？

推廣：正方形ABCD的邊長為a，點O是對角線AC，BD的交點，點E在CD上，且DE=2CE，連接BE.過點C作CF⊥BE，垂足為點F，連接OF，則OF的長為_______（用含a的代數(shù)式表示）；如果DE=nCE，其他條件不變，則OF的長為___________（用含a的代數(shù)式表示）.

【評析】從解題策略上來說，方法要優(yōu)化，正確是目的，效率是關鍵.

鞏固練習：如圖12，在△ABC中，∠ACB=90°，在BC上截取CD=AC，點E在AB上，∠CED=90°，CE=2，DE=1，F(xiàn)是AB的中點， 點G在CB上，∠GFB=2∠ECB.

（1）求FG的長；

（2）求證BE=BG.

圖12

【評析】發(fā)現(xiàn)FG∥AC是第（1）小題求解的關鍵，發(fā)現(xiàn)△BED∽△BCE是求解第（2）小題的關鍵.羅增儒教授曾說過，結論也是條件（從結論出發(fā)，BE∶BC=1∶2,等于DE，CE之比），從而得到思路.

三、解后反思

1.掌握審題要領是解法自然生成之鑰

本文所述題目突出的是綜合性、深刻性、靈活性、創(chuàng)新性.既體現(xiàn)在命題設計的原則上，又體現(xiàn)于筆者對審題和解題的感悟之中.合理的審題，迅速挖掘出題中包含的基本圖形及特征，這往往會對解決相應的幾何問題起到事半功倍的效果.審題的深入程度是決定解題順利與否的關鍵.審題要辯證的看待問題的本質(zhì)，及時發(fā)現(xiàn)合理地解題入口，從而迅速把握解題抓手.以上輔助線的添加、思路的探尋離不開合理、有效的審題.在已有認知經(jīng)驗基礎上，通過眾多信息的提取、組合，與已有模型關聯(lián)、步步進階，直至問題最終解決.

2.滲透數(shù)學思想是解法自然生成之本

充分探究試題多解，滲透對基本思想、方法的挖掘和相應的訓練不僅有利于學生從大量煩瑣的運算中解脫出來，而且有利于培養(yǎng)學生的求簡意識和創(chuàng)新能力.回顧問題的解決，首先，從整體上把握，分出層次，排除干擾；其次，聯(lián)想掌握的數(shù)學模型方法，滲透數(shù)學思想，從最容易發(fā)現(xiàn)的幾個基本圖形入手，用講“故事（模型）”的方式，“采蘑菇（關聯(lián)）”的方法將解法如何探究、生成、反思，以及完善的過程一一展示；最后，通過變式及推廣，分別對解法做梳理，異中求同、舉一反三.孔凡哲教授說過，數(shù)學模型是故事，解題永流傳.借“圖形”關聯(lián)，明思維之道；用“故事”引路，優(yōu)解題之術.體會數(shù)學問題都是運用所學過的知識加以解決的，知識轉(zhuǎn)化才是一切轉(zhuǎn)化思想與方法的本源.

3.啟發(fā)數(shù)學思維是解法自然生成之源

數(shù)學的嚴謹呈現(xiàn)為“冰冷的美麗”，但是數(shù)學的發(fā)現(xiàn)卻是“火熱的思考”.以上解法不是憑空產(chǎn)生的，是基于尊重學生，尊重知識發(fā)展邏輯，堅持低起點切入，學生的思維自然而然地卷入其中，探求的愿望油然而生，逐步引導學生“由此向，及遠方”，領略沿途“風景”，不知不覺中，實現(xiàn)解法自然生成這一目標.引導學生通過合理審題，激活其已有知識，注重基本圖形性質(zhì)，考查幾何基礎知識的應用和經(jīng)驗圖形的積累，是幾何教學中提高學生分析和解決問題能力的重要一環(huán)；注重基礎、關注技能、突出經(jīng)驗、強化思想也是近幾年各地區(qū)中考關于“圖形與性質(zhì)”內(nèi)容考查的鮮明特色.通過方法的滲透和體驗，讓學生學會用數(shù)學的思想方法解決問題，掌握數(shù)學模型方法，逐步將思維引向深入，使學生在思維能力、思維習慣和數(shù)學意識上得到協(xié)調(diào)發(fā)展.

4.探尋知識關聯(lián)是解法自然生成之魂

圖13

因此，從創(chuàng)新的思維視角，探尋知識關聯(lián)，讓學生在探索過程中領略到問題的演繹及變式策略，深化認知結構和完善思維，學會變換思考問題的角度，是我們不懈的追求.