高中數(shù)學(xué)例題中導(dǎo)數(shù)的典型性應(yīng)用

張倬潤(rùn)

在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)時(shí)，若能熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)理論知識(shí)，那么在解題過(guò)程中便能把習(xí)題化簡(jiǎn)并快速作答。這樣不但能豐富自身的解題思維，還能從中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的魅力。本文將主要圍繞導(dǎo)數(shù)展開(kāi)分析，探究其在高中數(shù)學(xué)例題中的典型性運(yùn)用。

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)知識(shí)中的重點(diǎn)內(nèi)容。在鑒別函數(shù)的單調(diào)性、求證不等式、曲線求解時(shí)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)不但能提高解題速率和答案的準(zhǔn)確性，而且還能用其處理實(shí)際問(wèn)題。鑒于此，身為一名高中生，必須要掌握導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)例題解答中的典型性運(yùn)用，以此獲得事半功倍的學(xué)習(xí)效果。

一、導(dǎo)數(shù)的定義

眾所周知，導(dǎo)數(shù)是微積分中最重要的一個(gè)基礎(chǔ)概念。當(dāng)函數(shù)y=f（x）的自變量x在一點(diǎn)x0上產(chǎn)生一個(gè)增量Δx時(shí)，函數(shù)輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時(shí)的極限a如果存在，a即為在x0處的導(dǎo)數(shù)。

導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的局部性質(zhì)。一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)描述了這個(gè)函數(shù)在這一點(diǎn)附近的變化率。如果函數(shù)的自變量和取值都是實(shí)數(shù)的話(huà)，函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是該函數(shù)所代表的曲線在這一點(diǎn)上的切線斜率。導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是通過(guò)極限的概念對(duì)函數(shù)進(jìn)行局部的線性逼近。例如在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，物體的位移對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)就是物體的瞬時(shí)速度。

當(dāng)某一函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)時(shí)，便可將此導(dǎo)數(shù)叫做微分或者此導(dǎo)數(shù)可導(dǎo)?？蓪?dǎo)的函數(shù)必須是連續(xù)性的。然而針對(duì)導(dǎo)數(shù)來(lái)講，本質(zhì)就是一個(gè)解極限的數(shù)學(xué)過(guò)程，而針對(duì)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則而言，幾乎源自于極限的運(yùn)算法則。（張梓萱.導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用淺析[J].學(xué)周刊，2018（06）：49-60.）

二、高中數(shù)學(xué)例題解答中導(dǎo)數(shù)的典型性運(yùn)用

（一）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

高中數(shù)學(xué)課程里，函數(shù)知識(shí)理解和學(xué)習(xí)起來(lái)比較吃力，但又是我們必須要掌握的重點(diǎn)內(nèi)容。在導(dǎo)數(shù)未正式引進(jìn)教材前，關(guān)于函數(shù)最值的求解形式眾多。然而，在其列進(jìn)數(shù)學(xué)教材后，在求解函數(shù)最值時(shí)，又多了一種全新的解題思路。與其余方法做對(duì)比，此種辦法不但非常簡(jiǎn)單，還能節(jié)省較多時(shí)間。

函數(shù)知識(shí)中的最值問(wèn)題，是最易出現(xiàn)的知識(shí)考點(diǎn)。求解二次函數(shù)最值的相關(guān)題目逢考必出。這樣一來(lái)，若是能利用好導(dǎo)數(shù)，則能簡(jiǎn)化求解過(guò)程，可以迅速地鑒別函數(shù)的單調(diào)性等等。因此，在例題解答中，必須要明確二次函數(shù)值與區(qū)間的聯(lián)系。（朱文睿.導(dǎo)數(shù)幾種問(wèn)題的解題思路與分析[J].中國(guó)校外教育，2017（30）：79-80.）

（二）利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性

利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間，可有效地展現(xiàn)出數(shù)型結(jié)合本身的涵義。當(dāng)我們?cè)阼b別函數(shù)是否是單調(diào)時(shí)，慣用的辦法以定義法為主。然而，站在定義法的角度分析，其本身雖然利用率較高，然而在展開(kāi)一些復(fù)雜函數(shù)例題時(shí)，往往表現(xiàn)得比較吃力。但利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性則十分迅速與便捷，而且，這一點(diǎn)對(duì)無(wú)論是簡(jiǎn)單的亦或是繁雜的函數(shù)都適用。

比姐利用導(dǎo)數(shù)開(kāi)展函數(shù)單調(diào)性的推斷，其主要根據(jù)是若函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)在此函數(shù)的區(qū)間[a，b]大于0，那么此函數(shù)必然是單調(diào)遞增的。

（三）導(dǎo)數(shù)求解不等式

就不等式與函數(shù)來(lái)講，二者都是高中數(shù)學(xué)中出現(xiàn)率較高的題型。通過(guò)歸納總結(jié)考試的知識(shí)要點(diǎn)，可知現(xiàn)在考試重點(diǎn)漸漸偏向綜合形式。關(guān)于不等式與函數(shù)二者間的聯(lián)系也愈來(lái)愈緊密。比如，我們可運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)求證不等式。

例1：當(dāng)X>0時(shí)，請(qǐng)驗(yàn)證不等式1n（x+1）>x-1/2*x2。

分析：在看到此題目時(shí)，我們常常會(huì)被繁雜的、需要證明的不等式搞的不知所措，不知從何下手。然而若在解題過(guò)程中能有效地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，無(wú)疑會(huì)起到事半功倍的效果。而通過(guò)構(gòu)建函數(shù)來(lái)驗(yàn)證此不等式，是一種非常有效的辦法。

解：設(shè)f（x）=1n（x+l）-x+1/2*x2，那么f（x）=1/（x+1）-1+x=x2/1+x，當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>f（0）=0；當(dāng)x>-1時(shí)，f（x）>0，f（x）在（-1，+∞）屬于增函數(shù)，從而可知當(dāng)x>0時(shí)，In（x+1）>x-1/2x2。

利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)驗(yàn)證不等式，重點(diǎn)在于構(gòu)造新的函數(shù)。此辦法在未來(lái)學(xué)習(xí)中同樣能得到廣泛運(yùn)用，例如在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)。

（四）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)處理實(shí)際問(wèn)題

當(dāng)在解題的過(guò)程中，時(shí)常會(huì)碰見(jiàn)各種各樣與生活息息相關(guān)的習(xí)題。比如：某市有兩幢建筑物，這兩幢建筑物被區(qū)分成甲、乙類(lèi)，其中甲類(lèi)建筑物位于一條小溪旁，這條小溪為a點(diǎn)，而乙類(lèi)建筑物則位于甲類(lèi)建筑物相同方向但30千米開(kāi)外的b點(diǎn)，乙類(lèi)建筑物的垂足d與a點(diǎn)間的距離為40千米，若想在甲乙兩幢建筑物間的小溪沿岸搭建一個(gè)供水站c，而c點(diǎn)連接到甲乙建筑物的管線資金為4A，請(qǐng)問(wèn)c點(diǎn)建在哪一位置才能節(jié)約a管線的資金。

有關(guān)以上這類(lèi)問(wèn)題，解答重點(diǎn)在于把變量變換成函數(shù)等式。在解題時(shí)，率先要依據(jù)題目里的內(nèi)容繪畫(huà)出相應(yīng)圖形，之后依據(jù)題目里提供的條件，去深入探究?jī)?nèi)在關(guān)聯(lián)，然而以此為前提創(chuàng)建函數(shù)關(guān)系式，實(shí)際上就是把函數(shù)、數(shù)學(xué)模式等問(wèn)題轉(zhuǎn)變成專(zhuān)業(yè)的數(shù)學(xué)用語(yǔ)，之后依據(jù)問(wèn)題特征，把問(wèn)題予以形象化，從而搜尋最佳的解題方法與技巧。

導(dǎo)數(shù)和幾何、物理、代數(shù)知識(shí)間有著十分緊密的聯(lián)系，放在物理中可用于求解加速度與速度；放在幾何中則可求解切線。在其他學(xué)科范圍內(nèi)，導(dǎo)數(shù)還叫做紀(jì)數(shù)，不論是幾何學(xué)還是物理學(xué)，亦或是經(jīng)濟(jì)學(xué)，其中有大量主要定義都能通過(guò)導(dǎo)數(shù)來(lái)解釋和闡述。簡(jiǎn)而言之，若想要正確地把導(dǎo)數(shù)知識(shí)運(yùn)用在具體學(xué)習(xí)的解題進(jìn)程中，率先要做到的便是深刻理解與掌握有關(guān)導(dǎo)數(shù)的公式與定義。不論是在切線、函數(shù)值、三角函數(shù)、不等式或是其它數(shù)學(xué)問(wèn)題，均能運(yùn)用導(dǎo)數(shù)。我們高中生也能在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解題的過(guò)程中，不斷加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維。

綜上所述，我們要充分意識(shí)到導(dǎo)數(shù)的重要性，加強(qiáng)導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)例題解答中的運(yùn)用，化繁為簡(jiǎn)，讓解題過(guò)程越來(lái)越直觀，從而加決解題速度，提高學(xué)習(xí)水平。