噪聲不均條件下的模糊C均值聚類算法及應(yīng)用

王文慧，楊 庚，葛 煒，劉沛東，錢 晨

1.南京郵電大學(xué) 計算機(jī)學(xué)院 江蘇省大數(shù)據(jù)安全與智能處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210000

2.江蘇亨通光電有限公司，江蘇 蘇州 215200

3.南京郵電大學(xué) 光電學(xué)院，南京 210000

1 引言

隨著科技的進(jìn)步，光纖通信技術(shù)從光通信中脫穎而出，已成為現(xiàn)代通信的主要支柱之一，在現(xiàn)代電信網(wǎng)中起著舉足輕重的作用。在光纖光纜的生產(chǎn)過程中，由于生產(chǎn)工藝和環(huán)境的影響，會導(dǎo)致表面不同種類的缺陷存在，這將直接影響到產(chǎn)品的壽命。依賴人工進(jìn)行瑕疵的檢測，這種方法勞動強(qiáng)度大，效率低，而且難以適應(yīng)大規(guī)模工廠化的生產(chǎn)需求。同時人工檢測法在實(shí)際使用中存在很大的局限性。采用計算機(jī)視覺技術(shù)可以客觀、及時、準(zhǔn)確地識別光纜表面的瑕疵。隨著計算機(jī)視覺和數(shù)字圖像的處理技術(shù)在工業(yè)的廣泛應(yīng)用，利用計算機(jī)技術(shù)實(shí)現(xiàn)光纜瑕疵的自動檢測成為可能。在圖像分割技術(shù)的發(fā)展中，產(chǎn)生了多種分割方法，比如：閾值分割法、區(qū)域法生長法、邊緣檢測法、基于特定理論的分割法等[1]。

在基于特定理論的分割方法中，一些基于聚類的分割方法被提出來。其中使用最廣泛的是模糊C均值FCM聚類算法。HE等人[1]充分考慮了像素的空間信息，提出了一種具有空間約束的FCM算法，該算法通過修改目標(biāo)函數(shù)和隸屬度函數(shù)，提高了算法的抗噪性，取得了較好的效果。Sowmya等人[2]提出了使用FCM算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合的方法對彩色圖像進(jìn)行分割，該方法比單一的FCM算法分割精度高，但是該算法需要大量的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，不適用于實(shí)時性的檢測。Bai等人[3]提出了一種改進(jìn)的FCM算法來分割紅外船舶圖像，通過馬爾科夫隨機(jī)場來細(xì)化局部空間約束，較好地克服了噪聲不均性。

FCM算法克服了普通聚類算法中硬聚類的缺點(diǎn)，但在分割過程中仍然存在以下缺點(diǎn)：（1）沒有考慮圖像相鄰像素的關(guān)系；（2）使用魯棒性較差的歐式距離衡量像素與聚類中心的差值；（3）初始聚類中心具有隨機(jī)性，導(dǎo)致每次運(yùn)行的時間和分割效果差異較大。基于以上原因，該算法對噪聲非常敏感。針對以上不足，本文提出了一種結(jié)合像素鄰域信息并改進(jìn)歐氏距離的模糊C均值聚類算法。使用該算法，對獲取的彩色光纜圖像在R、G、B三個維度上進(jìn)行聚類，實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示能夠準(zhǔn)確定位光纜的瑕疵區(qū)域，并很好地克服了噪聲的影響，證明了算法具有很好的魯棒性。

2 傳統(tǒng)模糊C均值聚類分割算法

FCM聚類算法是一種無監(jiān)督的分類方法，通過對目標(biāo)函數(shù)的迭代優(yōu)化實(shí)現(xiàn)對像素的劃分[3]，根據(jù)每像素屬于不同區(qū)域的程度將像素分到某個區(qū)域中。由于圖像的退化、受外界噪聲和其他不確定因素的影響，在分割中很難將像素歸屬到某個分類器中，而FCM算法將分類器之間的獨(dú)立性用一種模糊的概念來取代，克服了硬分類方法將像素歸屬一刀切的不足，在某種程度上能克服不確定因素對像素分類造成的影響[4]。

式中，J(U,V)表示區(qū)域的像素到聚類中心加權(quán)距離的平方和，J(U,V)值的大小反映圖像區(qū)域的一致性，值越小表示像素是一個區(qū)域的可能性越大，聚類效果越好[6]。參數(shù)m是隸屬度的加權(quán)指數(shù)，是為了加強(qiáng)像素的特征值屬于不同區(qū)域的對比度，它決定分類結(jié)果的模糊程度，m∈[1,+∞)，其值越大分類越模糊，當(dāng)m=1時，為硬分類，一般值取m=2。式（1）需要滿足如下約束條件：

為使J(U,V)取到最小值，該帶約束條件的極值問題可通過拉格朗日乘子法解決，相應(yīng)的迭代算法描述如下：

步驟1初始化。設(shè)定聚類類別數(shù)C、模糊指數(shù)m和迭代的終止條件ξ，并用隨機(jī)數(shù)初始化隸屬矩陣U(0)，令迭代次數(shù) k=0[7]。

步驟2計算聚類中心：

其中：

步驟3計算隸屬度矩陣：

其中：

步驟4如果停止循環(huán)迭代，否則令K=K+1，回到步驟2繼續(xù)循環(huán)。

3 改進(jìn)的模糊C均值聚類算法

3.1 初始聚類中心與聚類數(shù)的選取

根據(jù)對光纜瑕疵圖片的了解，將聚類數(shù)目選擇為2，即一類為瑕疵，另一類為光纜的正常部分。FCM算法中，聚類中心的選擇是隨機(jī)的，這樣可以簡化算法的復(fù)雜程度，整個算法的工作集中在聚類的迭代上，算法的代碼實(shí)現(xiàn)更容易。但是，F(xiàn)CM算法的迭代終止條件是相鄰兩次迭代的聚類中心變化足夠小，則認(rèn)為算法已經(jīng)收斂。由于算法的每一次迭代都是沿著使目標(biāo)函數(shù)減小的方向進(jìn)行的，而目標(biāo)函數(shù)可能有多個極值點(diǎn)。隨機(jī)的初始化可能使聚類中心落在局部極小點(diǎn)附近，使算法收斂到局部極小值[8]。而光纜表面的瑕疵樣本和非瑕疵樣本數(shù)目有可能相差很大，在這種情況下，很容易使目標(biāo)函數(shù)收斂到局部極小值，造成每次分割的效果差別較大，降低了分割的準(zhǔn)確率。為解決目標(biāo)函數(shù)中聚類中心初始化的隨機(jī)性，對彩色光纜原圖如圖1，在G、R、B三個維度上計算它的直方圖，直方圖如圖2所示。由于已經(jīng)確定了聚類數(shù)目為2，在RGB直方圖上選擇波峰最大的前兩個，它們對應(yīng)的像素值就是聚類中心。

圖1 光纜原圖

圖2 光纜原圖對應(yīng)的RGB直方圖

對同一副圖片，在精度均為1E-6的情況下，比較了隨機(jī)初始化聚類中心與根據(jù)直方圖初始化聚類中心的迭代次數(shù)，并在兩種初始化方式下多次同一副圖像進(jìn)10次分割，隨機(jī)初始化的方式中出現(xiàn)2次不理想的分割效果，根據(jù)直方圖初始化則效果理想且穩(wěn)定，具體圖像見圖3。具體數(shù)據(jù)見表1，v[i][j]代表第i類聚類中心，j分別取0、1、2代表聚類中心在B、G、R三個維度上的值。

通過實(shí)驗(yàn)可以看出，根據(jù)直方圖給聚類中心賦值的方法，可以減少程序處理圖像的迭代次數(shù)，使其更快地逼近預(yù)設(shè)的精度。假如在圖片像素量大并且要求精度較高的情況下，這樣對聚類中心的預(yù)處理會大大減少程序運(yùn)行時間。圖3中（a）、（b）圖是10次分割中隨機(jī)初始化聚類中心時出現(xiàn)的分割不理想的情況，（c）圖是分割理想的情況，使用直方圖初始化時分割效果一直如（c）圖，所以隨機(jī)初始化時分割效果不穩(wěn)定，而直方圖初始化則分割效果穩(wěn)定。

圖3 不同初始化分割效果

表1 初始化聚類中心方式及迭代次數(shù)

3.2 改進(jìn)FCM算法的目標(biāo)函數(shù)

3.2.1考慮圖像樣本的鄰域信息

標(biāo)準(zhǔn)的模糊C均值聚類算法僅僅考慮到像素的灰度信息，沒有考慮到像素與像素中間的關(guān)系[8]，即像素的空間約束性信息，因此，在分割含有噪聲的光纜圖像時，會把噪聲點(diǎn)或者因光照不均而造成的亮斑或暗斑劃分到瑕疵這一類中，使分割效果受噪聲影響嚴(yán)重。為了增強(qiáng)算法的抗噪性，結(jié)合鄰域像素信息，考慮通過滑動窗口（3×3）求出像素的鄰域平均值，F(xiàn)CM算法的目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的變化為：

3.2.2 改進(jìn)歐式距離

對于數(shù)據(jù)集X={x1,x2,…,xn}，傳統(tǒng)方法通過計算歐氏距離

這種度量xj與v的距離的方法叫做歐式距離，這種距離估計方法稱為最小二乘法。考慮一個數(shù)據(jù)集{3，4，4.4，4.7，4.9，5，5.1，5.3，5.6，6，7}，通過式（7）得到該數(shù)據(jù)集中心為v=5。但是如果在數(shù)據(jù)集中增加一個噪聲點(diǎn)30，那么中心v就會變?yōu)?.08，這個數(shù)值不在原始數(shù)據(jù)的范圍內(nèi)，顯然這個方法會因?yàn)樵肼暜a(chǎn)生很大的誤差。

對于公式（9），v重新定義為：

當(dāng)wj=1時，式（10）即為式（9）。在噪聲環(huán)境中，基于歐氏距離的目標(biāo)函數(shù)產(chǎn)生的結(jié)果極易受到噪聲的干擾。如果對于噪聲點(diǎn)和非噪聲點(diǎn)賦予不同的比重，那么對于中心計算的誤差會大大減小[8]。因此，定義一個新的距離度量：

β是一個正數(shù)，想要式（10）成為一個新的距離度量，需要滿足距離度量的以下三個條件：

條件（1）、（2）顯然成立，條件（3）的證明如下：

對于數(shù)據(jù)集X={x1,x2,…,xn}，每個樣本點(diǎn)到中心的距離度量定義為：

β是一個常數(shù)，定義為：

其中：

得到新的距離度量計算方法后，本文中樣本點(diǎn)到距離中心度量變?yōu)椋?，將其帶入改進(jìn)的目標(biāo)函數(shù)公式（6）中，得：

現(xiàn)在要對目標(biāo)函數(shù)（14）求極值，于是分別對uij和vi分別求導(dǎo)。首先將約束條件（2）拿到目標(biāo)函數(shù)中，那么式（14）變?yōu)椋?/p>

展開式（15）對uij求導(dǎo)使其等于0：

將上式化簡，并根據(jù)約束條件（2）進(jìn)一步化簡得：

然后對vi求導(dǎo)使其等于0：

將上式化簡得：

通過以上推倒，得出一種新的距離量度公式（11），并基于新的目標(biāo)函數(shù)（14）提出了新的隸屬度矩陣（16）和聚類中心（17）。

3.2.3 與Mahalanobis距離對比

Mahalanobis距離也是對傳統(tǒng)歐式距離的改進(jìn)，考慮到各種特性之間的聯(lián)系，引入了協(xié)方差矩陣[9]。由于Mahalanobis距離計算僅涉及協(xié)方差矩陣的求逆，不再和特征矢量的維度有關(guān)，而是和樣本數(shù)目有關(guān)，因此在高維特征空間計算中帶來了優(yōu)勢。

設(shè)X為一個l×n的矩陣，l為樣本個數(shù)，xi∈Rn，i=1,2…,l，樣本xi到總體X的馬氏距離可以表示為：

其中，p為所有樣本的均值向量，S為協(xié)方差矩陣，表示為：

兩個樣本的馬氏距離可以表示為：

于是，基于馬氏距離的FCM算法的目標(biāo)函數(shù)可表示為：

馬氏距離與本文距離量度相比，通過協(xié)方差矩陣建立樣本之間的聯(lián)系，使樣本與聚類中心之間的關(guān)系緊密的聯(lián)系在了一起，雖然它克服了歐式距離不考慮維度之間差異造成一致性聚類的缺點(diǎn)，但是馬氏距離依賴協(xié)方差矩陣，夸大了變化微小的變量的作用，在抗噪性方面不如本文提出的距離量度。本文距離量度具有很好的魯棒性，但當(dāng)樣本維度較高且維度之間量綱不同時，計算復(fù)雜，此時馬氏距離則可以較好的解決高維度的計算問題。本文針對光纜圖像的R、G、B三個維度討論，結(jié)合圖像采集時易受噪聲干擾的特點(diǎn)，本文提出的距離量度是合理適用的。

3.3 算法流程

通過增加鄰域信息和改進(jìn)歐氏距離，得到新的隸屬矩陣和聚類中心的計算方法，改進(jìn)的算法具體步驟如下：

（1）初始化聚類數(shù)C=2，模糊加權(quán)m=2，根據(jù)直方初始化聚類中心V并標(biāo)準(zhǔn)化，設(shè)定收斂精度ξ=10-6，初始化迭代次數(shù)t。

（2）根據(jù)公式（16）更新U 。

（4）計算每個像素和鄰域平均值的差異值。

（5）根據(jù)公式（17）更新聚類中心V 。

（6）根據(jù)公式（16），利用V 更新隸屬矩陣U(K+1)。

4 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

4.1 實(shí)驗(yàn)步驟

maxl、minl分別表示第l維的最大值、最小值，x(l)是第l維的數(shù)據(jù)，g(l)是第l維縮放后的數(shù)據(jù)。

步驟3給圖像上添加噪聲。

步驟4執(zhí)行改進(jìn)的FCM算法步驟。

步驟5根據(jù)最終的隸屬矩陣U，進(jìn)行圖像分割。

步驟1使用CCD相機(jī)獲取圖片，讀取圖像數(shù)據(jù)。

步驟2圖像數(shù)據(jù)預(yù)處理：

對圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，即對每個樣本點(diǎn)的RGB三個維度上進(jìn)行縮放，使其值位于[0，1]區(qū)間內(nèi)，縮放公式如下：

4.2 光纜表面瑕疵圖像分割效果

為了驗(yàn)證算法對光纜表面瑕疵檢測的效果和算法的性能，本文進(jìn)行了相關(guān)的實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)編程環(huán)境為Microsoft Visual Studio2010，編程語言為C++；相關(guān)實(shí)驗(yàn)參數(shù)：聚類數(shù)為2，模糊加權(quán)指數(shù)為2，收斂精度為0.000 001。

首先對圖像添加椒鹽白噪聲和高斯噪聲，并用FCM算法、基于馬氏距離的FCM（FCMM）算法本文的算法進(jìn)行分割實(shí)驗(yàn)。

從圖4可以看出，在對疊加了椒鹽噪聲的光纜圖像分割中，F(xiàn)CM算法分割效果并不理想[11]，存在較多的噪聲點(diǎn)且目標(biāo)邊緣沒有很好的分割，F(xiàn)CMM算法有較好的分割效果但是并沒有很好地抗噪性。本文算法以上兩種算法相比，受噪聲影響極小，對椒鹽噪聲具有很好的抗干擾能力；從圖5可以看出，在對疊加了高斯噪聲的光纜圖像分割中，F(xiàn)CM和FCCM算法分割結(jié)果中存在噪聲較多，本文算法噪聲影響程度很小，在分割質(zhì)量上有很大改善。除了人為添加噪聲，在光纜檢測過程中，CCD相機(jī)獲取的圖片由于光線的原因，會在圖像上呈現(xiàn)不同亮斑或暗斑，影響分割效果，如圖6所示，由于光照強(qiáng)度的不同，F(xiàn)CM算法將圖（a）右邊部分識別成了瑕疵，F(xiàn)CMM算法和本文算法則很好的將瑕疵完整分割出來。

圖4 圖像添加椒鹽噪聲分割結(jié)果

為量化評定算法的分割精度，定義分割正確率SA，通過對SA的計算來說明本文算法的優(yōu)勢。SA表示正確劃分的像素數(shù)目占聚類圖像總像素數(shù)的比例[12]，定義為：

式中，c是聚類數(shù)目，Ai表示根據(jù)算法歸類到第i類的像素集合，Ci表示原分割圖像中隸屬第i類的像素集合。

圖5 圖像添加高斯噪聲分割結(jié)果

圖6 圖像分割結(jié)果

從表2量化后的精度對比，本文算法的分割率最高，較FCM和FCMM算法有較大改進(jìn)，從表3可以看出，雖然直方圖的初始化方式可以減少迭代次數(shù)，但由于本文算法考慮了像素的鄰域信息，增加了聚類的復(fù)雜度，使得聚類效率不夠高。

表2 不同算法對光纜圖像的分割正確率%

表3 不同算法對光纜圖像的聚類時間 ms

綜上，使用本文改進(jìn)的FCM算法分割光纜瑕疵圖像，抗噪和分割效果明顯。通過直方圖初始化聚類中心，克服了隨機(jī)性，提高了圖像分割的效率。通過增加樣本鄰域像素信息和改進(jìn)歐氏距離[13]，有效地提高了圖像分割的精度，但還存在效率不夠高的問題。

5 結(jié)束語

在圖像分割中，F(xiàn)CM算法具有描述簡單，容易實(shí)現(xiàn)，分割效果好的特點(diǎn)，因此廣受歡迎[14]。但在實(shí)際生產(chǎn)環(huán)境中進(jìn)行光纜檢測時，由于周圍環(huán)境的影響，很容易將噪聲引入圖像。通過引入新的距離量度和像素鄰域信息，對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行了修正，得到了新的隸屬度和聚類中心函數(shù)[15]。通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，與傳統(tǒng)FCM算法、FCMM算法相比，改進(jìn)的算法具有更高的分割效率和精度，克服了FCM算法魯棒性差的不足。但如何提高效率，平衡分割精度和效率使其達(dá)到最優(yōu)化，還值得進(jìn)一步深入研究。