直觀想象素養(yǎng)的內(nèi)涵與結(jié)構(gòu)探究

吳立寶，劉哲雨，康 玥

(1.天津師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，天津 300387；2.天津師范大學(xué) 教育科學(xué)學(xué)院，天津 300387；3.天津市南開中學(xué)，天津 300100)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》)明確提出“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析”六大核心素養(yǎng)。[1]筆者從數(shù)學(xué)三大特征的視角探討這六大核心素養(yǎng)的層次關(guān)系[2]，只有正確認(rèn)識(shí)和把握數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的內(nèi)涵和結(jié)構(gòu)，才能在數(shù)學(xué)教學(xué)中更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。本文以直觀想象素養(yǎng)為切入點(diǎn)，展開數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)探究，探討直觀想象素養(yǎng)的內(nèi)涵與結(jié)構(gòu)，旨在促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成直觀想象素養(yǎng)，從而整體提高數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

一、直觀想象素養(yǎng)：歷史脈絡(luò)與價(jià)值意義

1.直觀想象的歷史脈絡(luò)

20世紀(jì)60年代，我國中小學(xué)數(shù)學(xué)教育便形成了以“雙基”(基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能)和“三大能力”(運(yùn)算能力、空間想象能力、邏輯思維能力)為基礎(chǔ)的優(yōu)良教育傳統(tǒng)。2003年，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》(簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》)明確提出五大能力：空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力。[3]空間想象能力既屬于20世紀(jì)60年代“三大能力”范疇，又屬于21世紀(jì)“五大能力”范疇，凸顯出其在學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)體系中的重要價(jià)值。

2012年初，教育部頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》)明確指出：“在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想?！€要特別注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)?！盵4]馬云鵬教授認(rèn)為，《課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中提到的這10個(gè)關(guān)鍵詞就是義務(wù)教育階段學(xué)生所必須具備的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。[5]“空間觀念”與“幾何直觀”的價(jià)值得到充分認(rèn)可。

《課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出的“直觀想象”這一數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，來自“空間想象能力”，是對(duì)《課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中的“空間觀念”與“幾何直觀”兩個(gè)關(guān)鍵詞的新發(fā)展，具體體現(xiàn)在《課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中對(duì)直觀想象的描述：“直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)?！?/p>

從《課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》的描述中，可以發(fā)現(xiàn)“幾何直觀”“空間想象”“空間形式”“圖形”等關(guān)鍵詞，這顯然是從幾何學(xué)的視角來描述直觀想象的。從直觀想象素養(yǎng)的外延來看，《課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》突出強(qiáng)調(diào)借助空間形式，來認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；突出利用幾何圖形來描述、分析和解決數(shù)學(xué)問題；強(qiáng)化建立形與數(shù)的聯(lián)系，從而構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路。因此，在《課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中，無論是直觀想象的內(nèi)涵還是外延，均呈現(xiàn)出顯著的幾何特征。

2.直觀想象的價(jià)值意義

“直觀想象”作為數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一，與數(shù)學(xué)學(xué)科其他核心素養(yǎng)(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析)的關(guān)系非常密切。數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，在其形成過程中均離不開直觀想象素養(yǎng)。直觀想象是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)推理和構(gòu)建抽象數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)，有利于學(xué)生形成數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析與邏輯推理的思路。直觀想象是構(gòu)建抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論和進(jìn)行邏輯推理的思維加工機(jī)制，是現(xiàn)實(shí)世界通向數(shù)學(xué)結(jié)論的橋梁，是不同數(shù)學(xué)結(jié)論之間的重要通道，更是數(shù)學(xué)結(jié)論回到現(xiàn)實(shí)世界的人類智慧紐帶。

若缺少直觀想象素養(yǎng)，則難以獲得抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)；沒有直觀想象，就難以有數(shù)學(xué)高度抽象的概念命題。數(shù)學(xué)直覺的產(chǎn)生與頓悟，是以直觀想象為中介的，直觀想象是橫亙現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)之間的不可或缺的橋梁。

二、直觀想象素養(yǎng)：概念分析與內(nèi)涵延拓

基于前文對(duì)直觀想象進(jìn)行的歷史溯源和文獻(xiàn)分析，結(jié)合《課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中對(duì)直觀想象的表述，延拓直觀想象的操作性定義，初步探討直觀想象素養(yǎng)的形成過程與心理加工過程。本研究可為貫徹《課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的實(shí)施落地提供參考。

1.直觀想象的概念分析

《課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》的“直觀想象”含有兩個(gè)關(guān)鍵詞：“幾何直觀”和“空間想象”。“幾何直觀”主要是指利用圖形進(jìn)行問題的描述和分析，“空間想象”是指通過直接感知周圍環(huán)境，學(xué)生得到對(duì)二維平面和三維空間圖形及其性質(zhì)的理解。在高中階段，更加強(qiáng)調(diào)空間幾何圖形之間的相互關(guān)系、圖形變換以及坐標(biāo)表征。從這里可以看出，學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的形成，需要依托空間形式特別是幾何圖形，進(jìn)行數(shù)學(xué)化的思考和想象。

《課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出，直觀想象素養(yǎng)的本質(zhì)是基于幾何圖形展開想象的思維能力，其作用主要體現(xiàn)在感知事物的空間形態(tài)與變化，尤其是事物之間的位置關(guān)系與運(yùn)動(dòng)規(guī)律。描述中將直觀想象更多指向了幾何領(lǐng)域，而非整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域?！皥D形與幾何”或“幾何”只是中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的一部分，并且，由于不同學(xué)段、不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)內(nèi)容都蘊(yùn)含著直觀想象元素，把直觀想象僅僅局限于幾何領(lǐng)域是不夠的，需要對(duì)其概念進(jìn)行延拓。

2.直觀想象的內(nèi)涵延拓

數(shù)學(xué)形象思維的基本形式主要有三種：數(shù)學(xué)表象、數(shù)學(xué)直感與數(shù)學(xué)想象。直觀想象屬于數(shù)學(xué)形象思維的范疇，是運(yùn)用形象思維來理解和解決數(shù)學(xué)問題的一種素養(yǎng)?；跀?shù)學(xué)思維的視角和前文的分析，筆者用數(shù)學(xué)形象思維來界定數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)。直觀想象，是指學(xué)生個(gè)體借助頭腦中的已有數(shù)學(xué)表象去感知事物的形態(tài)與變化，運(yùn)用數(shù)學(xué)形象思維產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)表象的過程。

依據(jù)不同的數(shù)學(xué)表象形式，直觀想象可以分為圖形直觀想象和圖式直觀想象。圖形直觀想象側(cè)重于幾何領(lǐng)域知識(shí)，與《課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》對(duì)直觀想象的界定基本一致；圖式直觀想象側(cè)重于代數(shù)、分析、概率、統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域知識(shí)。換句話說，直觀想象是基于已有的數(shù)學(xué)表象和數(shù)學(xué)直感，運(yùn)用形象思維來解決數(shù)學(xué)問題的綜合能力。

3.直觀想象的形成過程

直觀想象的形成過程分為兩個(gè)階段：數(shù)學(xué)直觀階段和數(shù)學(xué)想象階段。

(1)數(shù)學(xué)直觀

人們通常通過接觸現(xiàn)實(shí)世界客觀事物而獲得的感性認(rèn)識(shí)，這具有一定的局限。[6]也就是說，通過對(duì)現(xiàn)實(shí)世界客觀事物的直接接觸，獲得的感性認(rèn)識(shí)可能是本質(zhì)的，也可能是非本質(zhì)的。在胡塞爾哲學(xué)中，直觀是本質(zhì)性的。在由感性直觀向范疇直觀的擴(kuò)展中，發(fā)揮奠基作用的是本質(zhì)性的直觀，而不是一般的感性認(rèn)識(shí)。由生動(dòng)的直觀發(fā)展到抽象的思維，是認(rèn)識(shí)事物的真實(shí)過程。直觀想象素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)直觀的內(nèi)涵理解與胡塞爾對(duì)直觀的內(nèi)涵理解是一致的，都認(rèn)為“直觀是本質(zhì)性的”。

從學(xué)習(xí)內(nèi)容來看，數(shù)學(xué)直觀分為圖形直觀和圖式直觀兩部分，前者側(cè)重于幾何領(lǐng)域，后者側(cè)重于代數(shù)、統(tǒng)計(jì)與概率等領(lǐng)域；從學(xué)習(xí)層次來看，數(shù)學(xué)直觀分為數(shù)學(xué)表象與數(shù)學(xué)直感兩部分。數(shù)學(xué)表象是學(xué)生頭腦中已有的各種數(shù)學(xué)圖像、數(shù)學(xué)圖表、數(shù)學(xué)圖形、數(shù)學(xué)概念以及數(shù)學(xué)符號(hào)等。這些已有的數(shù)學(xué)表象都可以作為學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)、解決新問題的“直觀”。我們對(duì)數(shù)學(xué)表象的認(rèn)識(shí)與理解不應(yīng)該是封閉的、靜止的，而應(yīng)該是動(dòng)態(tài)的、發(fā)展的。作為獨(dú)立存在的個(gè)體，每位學(xué)生都有不同的發(fā)展需求和不同的智慧特征，其頭腦中所形成的數(shù)學(xué)表象必定是有差別的。

一方面，數(shù)學(xué)表象的形成依賴于學(xué)生“現(xiàn)實(shí)生活”所接觸的“最佳原型”。最佳原型的表現(xiàn)形式是多種多樣的，例如借助教育技術(shù)領(lǐng)域的多媒體畫面展現(xiàn)生動(dòng)的數(shù)學(xué)原型[7]；另一方面，數(shù)學(xué)表象的形成還可以借助學(xué)生頭腦中已有的數(shù)學(xué)概念及結(jié)構(gòu)關(guān)系完成再造表象，如“珠算式腦算法”利用珠算形象在腦中浮現(xiàn)進(jìn)行腦算的方法。珠算式腦算法也是數(shù)學(xué)表象思維方法在現(xiàn)實(shí)中運(yùn)用的范例，而算盤就是“腦算法”的最佳原型。依據(jù)學(xué)情，強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)概念及結(jié)構(gòu)關(guān)系的現(xiàn)實(shí)生活最佳原型的探尋，是形成數(shù)學(xué)表象和直觀想象素養(yǎng)的先決條件。

學(xué)生基于已有的數(shù)學(xué)表象，對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)表象或者問題的特征判別，就是數(shù)學(xué)直感。數(shù)學(xué)直感屬于形象思維，與數(shù)學(xué)抽象思維不同，數(shù)學(xué)形象思維的判斷活動(dòng)不必以數(shù)學(xué)概念為中介，甚至不必以數(shù)學(xué)語言為中介，只需要將頭腦中的一般數(shù)學(xué)表象與具有對(duì)應(yīng)特征的事物的感性映象進(jìn)行比較，并快速直接地做出判別；有時(shí)甚至直接跳過想象階段，是顯性意識(shí)的加工行為。

(2)數(shù)學(xué)想象

想象就是對(duì)過去經(jīng)驗(yàn)和已有記憶表象的加工改造，利用原有的表象構(gòu)成新意象或觀念的心理過程[8][9]，想象是人腦對(duì)已有表象進(jìn)行加工改組，形成新形象的心理活動(dòng)[10]，是思維的一種特殊形式，接近通常所說的“形象思維”。[11]綜上所述，數(shù)學(xué)想象的共同特征包括：數(shù)學(xué)想象是基于已有的數(shù)學(xué)表象的心理過程；數(shù)學(xué)想象是經(jīng)過加工改造形成新的數(shù)學(xué)表象的過程。因此，數(shù)學(xué)想象就是在學(xué)生的頭腦中對(duì)已有的數(shù)學(xué)表象經(jīng)過整合與重構(gòu)，產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)表象的思維過程。

數(shù)學(xué)想象，以數(shù)學(xué)表象為基本材料，以數(shù)學(xué)直感為基本手段，以形成新的數(shù)學(xué)表象為加工結(jié)果。數(shù)學(xué)想象是數(shù)學(xué)表象與數(shù)學(xué)直感在頭腦中的有機(jī)融合，是對(duì)數(shù)學(xué)表象的特征推理。這種特征推理是似真推理(或合情推理)的基本成分，它與邏輯推理不同。邏輯推理是一種按照邏輯規(guī)律的嚴(yán)格推理，基于大家公認(rèn)的一些事實(shí)和命題，按照邏輯規(guī)則推演出一個(gè)新命題的思維過程。[12]而數(shù)學(xué)想象是一種不嚴(yán)格的推理，或者說是一種形式相似的推理，其結(jié)果不一定都是正確的，因此數(shù)學(xué)想象的結(jié)論需要進(jìn)一步驗(yàn)證。數(shù)學(xué)想象的結(jié)果是形成了新的數(shù)學(xué)表象，因此數(shù)學(xué)想象意味著新發(fā)現(xiàn)，是形成學(xué)生創(chuàng)造性思維的重要環(huán)節(jié)。

對(duì)應(yīng)上文中的數(shù)學(xué)表象分類，數(shù)學(xué)想象也可分為圖形想象和圖式想象。圖形想象就是以空間形象直感為基礎(chǔ)，對(duì)數(shù)學(xué)圖形表象進(jìn)行加工與改造，反映為事物數(shù)量關(guān)系的幾何表征。圖式想象是以學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)直感為基礎(chǔ)，通過對(duì)數(shù)學(xué)圖表與模式表象的加工與改造，完成對(duì)數(shù)學(xué)圖表與模式進(jìn)行的形象特征推理的過程。圖式想象的關(guān)鍵在于抓住數(shù)學(xué)對(duì)象的結(jié)構(gòu)框架進(jìn)行形象特征推理。數(shù)學(xué)直感是這種推理的基本成分，具體包括圖式的識(shí)別、補(bǔ)形、相似和轉(zhuǎn)換，甚至也包括事物數(shù)量關(guān)系的解析表現(xiàn)。圖式想象涉及的范圍很廣，它通常與邏輯推理共生并存，同時(shí)又是邏輯推理的先導(dǎo)。中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的“數(shù)形結(jié)合法”，其本質(zhì)為圖形想象與圖式想象相結(jié)合，體現(xiàn)了直觀想象的核心內(nèi)涵。隨著教學(xué)媒體的發(fā)展，多媒體教學(xué)軟件可以動(dòng)態(tài)演示數(shù)學(xué)想象的過程，生動(dòng)創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)想象的情境，為學(xué)生創(chuàng)造更多的參與觀察和歸納的機(jī)會(huì)，最終輔助學(xué)生形成數(shù)學(xué)猜想，獲得頓悟。[13]

三、直觀想象素養(yǎng)的結(jié)構(gòu)模型

在分析直觀想象素養(yǎng)形成過程的基礎(chǔ)上，構(gòu)建出基本結(jié)構(gòu)模型：現(xiàn)實(shí)生活原型→數(shù)學(xué)表象→數(shù)學(xué)想象→新的數(shù)學(xué)表象(如圖1所示)，包含四個(gè)層次，形成了三次直觀，且層層遞進(jìn)。第一層次為現(xiàn)實(shí)生活原型，這是直觀想象的起點(diǎn)，蘊(yùn)含徐利治先生提出的“返璞歸真”的思想，他認(rèn)為了解一種理論的最好方法是找出研究那種理論的具體原型[14]，即尋找最佳案例，然后以例帶類，處于單一具象特稱判斷階段。第二層次是基于現(xiàn)實(shí)生活原型的數(shù)學(xué)表象，屬于原型直觀階段，此時(shí)尚未脫離現(xiàn)實(shí)生活原型，處于多元具象特稱判斷階段。第三層次是基于原型直觀形成的數(shù)學(xué)表象，借助數(shù)學(xué)直感、再造想象，然后展開數(shù)學(xué)想象，屬于表象直觀階段，處于構(gòu)想具象特稱判斷階段。第四層次是保留想象最本質(zhì)的特征，并形成新的數(shù)學(xué)表象，這是直觀想象的最高級(jí)形式，處于抽象全稱判斷階段。

圖1 數(shù)學(xué)直觀想象的層次分析圖

在中小學(xué)中，數(shù)學(xué)歸納推理就是數(shù)學(xué)直觀想象的典型范例，即單一具象特稱判斷(個(gè)別地看)、多元具象特稱判斷(重復(fù)地看)、構(gòu)想具象特稱判斷(想象地看)、具象全稱判斷(抽象地看)、抽象全稱判斷(一般地看)。[15]數(shù)學(xué)直觀想象是歸納推理與邏輯推理的緊密結(jié)合，是從形象思維到邏輯思維的跨越，是頓悟的過程。從單一具象特稱判斷到多元具象特稱判斷，從多元具象特稱判斷到構(gòu)想具象判斷，從構(gòu)想具象特稱判斷到具象全稱判斷，構(gòu)成了第一次直觀，即原型直觀階段?；谠椭庇^形成的具象全稱判斷，借助數(shù)學(xué)直感進(jìn)一步一般化，進(jìn)入抽象全稱判斷階段，形成了第二次數(shù)學(xué)直觀，即表象直觀階段。在此基礎(chǔ)上，借助想象，最終形成新的數(shù)學(xué)表象，這是第三次數(shù)學(xué)直觀，即想象直觀階段。

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)中，對(duì)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)，有利于學(xué)生養(yǎng)成正確運(yùn)用圖形、圖表和模型來思考現(xiàn)實(shí)問題的習(xí)慣，有利于提升數(shù)形結(jié)合的能力，更有利于形成借助圖形、圖表和模型完成分析、推理和論證的綜合能力。借助直觀想象素養(yǎng)，學(xué)生可以掌握發(fā)現(xiàn)問題、分析與解決問題的能力，即實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)[16]，有助于深刻體會(huì)數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程，強(qiáng)化數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力，形成邏輯思維能力，提升空間想象能力，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的學(xué)科核心素養(yǎng)。

本文通過梳理直觀想象發(fā)展脈絡(luò)，基于《課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》關(guān)于直觀想象的表述，將直觀想象的內(nèi)涵進(jìn)一步延拓到整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，構(gòu)建出直觀想象的結(jié)構(gòu)模型，為數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的測(cè)評(píng)提供了重要的參考。[17]教師應(yīng)基于現(xiàn)實(shí)生活原型，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)直觀和數(shù)學(xué)想象思考問題的意識(shí)，提升了數(shù)形結(jié)合的能力，使學(xué)生更加深刻地感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，逐步形成數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)、數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力、數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維與數(shù)學(xué)創(chuàng)新精神。