基于灰色
——馬爾可夫模型的山西省人均GDP預測

張雅清

(太原學院,山西 太原 030012)

人均國內(nèi)生產(chǎn)總值即人均GDP是衡量一個國家或地區(qū)人民生活水平以及經(jīng)濟發(fā)展的重要指標之一。為了促進經(jīng)濟發(fā)展,把握未來的發(fā)展趨勢,研究人均GDP的發(fā)展規(guī)律是非常必要的。預測人均GDP的值對經(jīng)濟發(fā)展和經(jīng)濟策略的制定有著非常重要的作用。預測人均GDP的方法有時間序列模型、BP神經(jīng)網(wǎng)絡模型、遺傳算法、組合預測方法、趨勢季節(jié)回歸與ARMA模型和L0mb-Scargle周期圖法等等[1-6]。文中首先選取1995年—2014年山西省人均GDP數(shù)據(jù)[7]建立GM(1,1)模型進行模擬,并用馬爾可夫模型進行修正彌補了灰色GM(1,1)的不足,建立灰色—馬爾可夫鏈模型,為預測山西省未來幾年的人均GDP提供了理論依據(jù)。

1 灰色—馬爾可夫模型

1.1 灰色GM(1,1)模型

灰色預測模型是用離散數(shù)據(jù)列建立微分方程形式的動態(tài)模型。該模型主要是通過對樣本數(shù)據(jù)進行生成處理,從而生成有規(guī)律的新的數(shù)據(jù)。GM(1,1)就是一種常用的數(shù)列預測模型,是一階、單個變量的微分方程對生成序列進行擬合的預測模型[8,9]?；疑Ｐ陀捎谑艿揭恍┎灰?guī)則數(shù)據(jù)的影響,因此預測精度有待進一步的提高。

灰色GM(1,1)模型的基本步驟為

1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)做累加得到新的生成序列

設原始數(shù)據(jù)為X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),…x(0)(n))

累計生成序列為X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),x(1)(3),…x(1)(n))

3)求解預測方程

將數(shù)值還原可以得到

1.2 馬爾可夫模型

馬爾可夫模型是一種隨機模型,其最大的優(yōu)勢是具有馬氏性,即其將來所處的狀態(tài)與過去所處的狀態(tài)無關,只與現(xiàn)在的狀態(tài)有關[10]。由于該模型的特殊性及優(yōu)勢,使其可以廣泛應用到各個領域中來進行預測。

朱大可先生支持巴別塔的說法，他把華夏神系都稱為“巴別神系”——由一種神系變亂而形成的各地的神系。原因是人類都是出自非洲的同一母親，被威爾遜命名為“線粒體夏娃”(Mitochondrial Eve)⑥，因此世界語言也起源于非洲，因為神祇名字的頭一個音，音素相同率很高。如果人類的種族如所說是來自非洲的同一個祖先，而且在人類走出非洲之前就已經(jīng)有語言了，那么，起初天下只有一門語言，“耶和華將人拆散了分遣各地”應該描寫的是人類走出非洲時的狀態(tài)。但這其中有很多疑點：

若已知初始時刻狀態(tài)矩陣為λ0,且狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為P,則經(jīng)過n步轉(zhuǎn)移之后的狀態(tài)λn即可確定為:

λn=λoPn

1.3 灰色—馬爾可夫模型的步驟

一般灰色—馬爾可夫模型的步驟為

1)建立GM(1,1)模型并求得相對誤差值;

2)根據(jù)相對誤差值的范圍確定m個狀態(tài)E1,E2…Em,并確定各時刻所處狀態(tài);

3)計算一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P;

4)根據(jù)GM(1,1)模型得出的預測值確定初始分布,并利用λn=λoPn預測相對誤差值所處狀態(tài);

(5)計算相對誤差值的數(shù)學期望,從而得到最終預測值。

2 實證分析

根據(jù)山西省1995年—2014年的人均GDP數(shù)據(jù),利用MATLAB軟件進行GM(1,1)模擬計算,可得a=-0.1362u=3105.11。從而GM(1,1)模型的預測方程為:

表1 灰色GM(1,1)模型的預測結(jié)果

由表1的計算可知，模擬計算的相對誤差均值達到-4.27%,在大家的可接受范圍之內(nèi),因此可以利用此模型來模擬并預測山西省人均GDP。但是,由于人均GDP受到很多隨機因素的影響,可以采用隨機模型中的馬爾可夫鏈對模型進行改進,提高模型的預測精度。

在模擬模型中,當相對誤差小于零時,即模擬值高于實際值,處于高估的情況。根據(jù)以上情況分析和馬爾可夫的應用,將計算結(jié)果分為五個狀態(tài):

E1:極度高估狀態(tài),即相對誤差小于15%,在此約定為-25%<ε≤-15%,在19年中有4年處于該狀態(tài)。

E2:高估狀態(tài),即相對誤差介于-15%到-5%之間,即-15%<ε≤-5%,在19年中有3年處于該狀態(tài)。

E3:較為準確狀態(tài),即相對誤差介于-5%到5%之間,即-5%<ε≤5%,在19年中有8年處于該狀態(tài)。

E4:低估狀態(tài),即相對誤差介于5%到15%之間,即5%<ε≤15%,在19年中有4年處于該狀態(tài)。

E5:極度低估狀態(tài),即相對誤差大于15%,在19年中沒有出現(xiàn)該狀態(tài)。

由表1的分析,只考慮狀態(tài)E1、E2、E3、E4這四個狀態(tài),并且可確定一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

根據(jù)2013年山西省人均GDP模擬預測處于狀態(tài)E2,可知2013年相對誤差了的狀態(tài)矩陣為λ0=(0,1,0,0),故可確定2014—2016年的狀態(tài)矩陣分別為：

λ1=λ0P=(0.5,0,0.5,0))λ2=λ0P2=(0.375,0.25,0.1875,0.1875)

由2014年的相對誤差矩陣為(0.5,0,0.5,0),即2014年預測結(jié)果處于狀態(tài)E1和E3的概率各為0.5。利用數(shù)學期望公式計算可得相對誤差的均值為-10%,即高估了10%。同理可得2015年和2016年的相對誤差分別為-8.125%和-8.359%。由于利用GM(1,1)預測方程可得:2014年-2016年的人均GDP預測值分別為44563.33萬元、51065.61萬元和58516.65萬元,因此,利用馬爾可夫模型修正后的預測結(jié)果分別為40512.12萬元、47228.31萬元和54002.57萬元,通過比較2014年——2016年人均GDP的真實值可知,灰色——馬爾可夫模型預測的準確性和合理性都得到了較大提高。

灰色——馬爾可夫模型既具有灰色模型的特點,同時又用馬爾可夫模型修正了其缺點,預測了人均GDP值,預測的準確性和合理性得到了較大的改善。但是預測結(jié)果還有較大的誤差,預測值都高于實際值,這與近年來山西經(jīng)濟受困于煤炭市場的低迷有關,山西經(jīng)濟亟待轉(zhuǎn)型。