一類脈沖微分方程的周期正解的存在性

景冰清

(山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院,山西 太原 030031)

過去脈沖微分方程已引起很多研究者的興趣,因為它能夠充分考慮到瞬時突發(fā)現(xiàn)象對系統(tǒng)狀態(tài)的影響,比較準(zhǔn)確地反映事物的變化規(guī)律,為現(xiàn)實世界的各種活動提供了一種自然的描述。一方面,它依靠影響這種行為活動的主要因素,另一方面,它受瞬時干擾的影響可以忽略。脈沖微分方程已被人們廣泛的應(yīng)用于科學(xué)技術(shù)的各個領(lǐng)域,比如物理學(xué)、人口動力學(xué)、生態(tài)學(xué)、生物學(xué)系統(tǒng)、最優(yōu)控制、環(huán)境綜合治理等。

在研究單種群細(xì)胞的控制時,文[1]首先給出模型

(1)

(2)

受文[5]的啟示,本文研究模型

(3)

給出如下假設(shè)條件:

(H2)p(t)、Q(t)、λ(t)∈([0,+∞),(0,+∞))局部可積;

(H3) {bk}為實數(shù)列,且bk>-1,k∈N;

考慮方程(3)滿足初始條件(4)的解:

y(t)=φ(t),t∈[-aω,0],φ∈C([-aω,0),[0,+∞));φ(0)>0.

(4)

定義1 函數(shù)y(t)∈C([-aω,+∞),[0,+∞))稱為方程(3)在[-aω,+∞)上的解, 如果y(t)滿足:

(i)y(t)在[0,t1]及(tk,tk+1]上絕對連續(xù),k=1,2,…;

(iii)y(t)在[0,+∞){tk}幾乎處處滿足方程(3)中的第一式, 在每個t=tk,k=1,2,…,滿足方程(3)的脈沖條件。

先考慮無脈沖時滯微分方程

(5)

具初始條件

z(t)=φ(t),t∈[-aω,0].

(6)

引理1[6]假設(shè)(H1)-(H4)成立,則有

當(dāng)t=tk時,

(2) 由y(t)在(tk,tk+1]上連續(xù)得

則z(t)在[-aω,+∞)上連續(xù)。與(1)類似可得z(t)是方程(5)的解。

接下來將證明方程(3) 存在ω-周期正解y*(t)。

不考慮時滯的影響, 則方程(3)變?yōu)?/p>

(7)

方程(5)變?yōu)?/p>

(8)

定理1 假設(shè)(H1)-(H4)成立,且 (H5)Qm>pM,(H6)n≥1,則方程(7)存在一個ω-周期正解y*(t)。

證明 要證定理1, 只需證明方程(8)有唯一的ω-周期正解z*(t)。令

可知函數(shù)f(z)在[0,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù), 由零點(diǎn)定理知方程f(z)=0有唯一的正根, 設(shè)唯一正根為z0。 當(dāng)z∈[0,z0)時,f(z)>0;當(dāng)z∈(z0,+∞)時,f(z)<0。定義函數(shù):

則在[0,+∞)上,函數(shù)f1(z),f2(z)分別有零點(diǎn)z1>0,z2>0,使得f1(z1)=0,f2(z2)=0,此時根據(jù)不等式

定理2 假設(shè)(H1)-(H6)的條件下, 方程(3)存在ω-周期正解y*(t)。

注:當(dāng)n=1時, 定理2即為文獻(xiàn)[5]中的定理7,說明定理2推廣了文獻(xiàn)中的相關(guān)結(jié)論。