基于股價(jià)預(yù)測(cè)的泛證券投資組合策略

彭子衿，徐維軍,2

(1. 華南理工大學(xué)工商管理學(xué)院，廣東 廣州 510641; 2. 廣州市金融服務(wù)創(chuàng)新與風(fēng)險(xiǎn)管理研究基地，廣東 廣州 510641)

1 引言

投資組合選擇問(wèn)題，是指投資者在不確定環(huán)境下對(duì)金融資產(chǎn)進(jìn)行合理配置與選擇的決策問(wèn)題。基于有效前沿理論[1]的傳統(tǒng)投資組合研究方法在過(guò)去的60多年里得到了廣泛的應(yīng)用和發(fā)展，近幾年仍不斷有成果涌現(xiàn)，如：Zhang Weiguo等[2-3]和Liu Yongjun等[4]提出了多階段模糊投資組合模型，并分別運(yùn)用遺傳算法、混合智能算法和差分進(jìn)化算法進(jìn)行求解；姚海祥和李仲飛[5]利用組合收益率密度函數(shù)的非參數(shù)核估計(jì)方法，建立了期望效用最大化投資組合模型，并運(yùn)用擬牛頓法進(jìn)行求解；張鵬等[6]考慮交易成本和借款約束，提出了具有最小交易量限制的多階段均值-半方差投資組合模型，并運(yùn)用前向動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法進(jìn)行求解；郭文英[7]運(yùn)用貝葉斯學(xué)習(xí)過(guò)程研究了投資者的最優(yōu)動(dòng)態(tài)投資策略。然而，傳統(tǒng)投資組合研究方法往往有兩個(gè)基本假設(shè)：一是假設(shè)證券收益率服從某個(gè)特定的分布；二是假設(shè)投資者已經(jīng)充分了解市場(chǎng)信息、能夠精確地估計(jì)證券收益率的統(tǒng)計(jì)特征。由于現(xiàn)實(shí)中的價(jià)格瞬息萬(wàn)變，難以用一個(gè)精確的概率分布來(lái)刻畫，而上述兩個(gè)假設(shè)的統(tǒng)計(jì)性過(guò)強(qiáng)，因此基于該假設(shè)的傳統(tǒng)投資組合策略在實(shí)際應(yīng)用中往往效果不佳。

針對(duì)傳統(tǒng)投資組合模型統(tǒng)計(jì)性假設(shè)過(guò)強(qiáng)的不足，本文在對(duì)證券價(jià)格不做任何統(tǒng)計(jì)假設(shè)的在線投資組合選擇框架下研究投資組合選擇問(wèn)題。在線投資組合的雛形由Kelly[8]首先提出，最終由Cover[9]形成完整的研究框架。通過(guò)引入競(jìng)爭(zhēng)分析理論，Cover[9]定義了泛證券投資組合性質(zhì)，提出了具有該性質(zhì)的UP (Universal Portfolio)策略和在線策略的競(jìng)爭(zhēng)分析框架，從而使投資者能夠從理論上評(píng)價(jià)在線策略的性能。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，具有泛證券投資組合性質(zhì)的在線策略能夠獲得趨近于離線基準(zhǔn)策略的累計(jì)收益，這在理論上保證了在線策略的有效性。Cover和Ordentlich[10]考慮部分市場(chǎng)內(nèi)部信息已知的情形，證明了含有邊信息的UP策略同樣具有泛證券投資組合性質(zhì)。Blum等[11]研究了考慮交易費(fèi)用的在線投資組合選擇問(wèn)題，并證明了即使存在交易費(fèi)用，UP策略仍然具有泛證券投資組合性質(zhì)。

評(píng)價(jià)在線策略的性能優(yōu)劣不僅需要考慮該策略是否具有泛證券投資組合性質(zhì)，還需要考慮該策略在更新資產(chǎn)權(quán)重時(shí)所需的計(jì)算時(shí)間，即策略對(duì)應(yīng)算法的時(shí)間復(fù)雜度。時(shí)間復(fù)雜度越小，說(shuō)明策略越能適應(yīng)更大范圍的應(yīng)用。Helmbold等[12]證明在進(jìn)行n個(gè)階段m支股票的組合投資時(shí)，UP策略的時(shí)間復(fù)雜度為O(nm)。這說(shuō)明，當(dāng)交易時(shí)間n變長(zhǎng)、證券數(shù)量m增大時(shí)，UP策略所需的計(jì)算時(shí)間將以指數(shù)形式增長(zhǎng)，這使得UP策略在實(shí)際應(yīng)用中效果不佳。為改進(jìn)這一不足，Helmbold[13]考慮在每個(gè)交易階段利用單期價(jià)格信息估計(jì)價(jià)格趨勢(shì)，從而提出了時(shí)間復(fù)雜度僅為O(nm)的EG(Exponential Gradient)策略，并證明了EG策略具有泛證券投資組合性質(zhì)。

然而僅利用單期價(jià)格信息估計(jì)價(jià)格趨勢(shì)的做法會(huì)導(dǎo)致很多有效的歷史信息被忽略。為了更有效地利用歷史信息，Li Bin等[14]利用簡(jiǎn)單的線性加權(quán)平均方法估計(jì)價(jià)格趨勢(shì)，結(jié)合機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域的被動(dòng)-主動(dòng)分類算法，提出了具有較小時(shí)間復(fù)雜度的OLMAR(On-Line Moving Average Reversion)策略。實(shí)證結(jié)果表明OLMAR策略具有非常優(yōu)異的收益表現(xiàn)，但遺憾地是該策略不具有泛證券投資組合性質(zhì)。為降低數(shù)據(jù)異常值對(duì)策略性能的影響，Huang Dingjiang等[15]利用具有魯棒性的L1-中位數(shù)估計(jì)改進(jìn)了OLMAR策略，提出了具有魯棒性的RMR (Robust Mean Reversion)策略。雖然RMR策略在實(shí)證中同樣表現(xiàn)優(yōu)異，但也不具有泛證券投資組合性質(zhì)。因此，這兩個(gè)策略的性能在一定程度上缺乏理論保證。

綜上所述，現(xiàn)有在線策略都有各自不足之處，或?qū)嶋H應(yīng)用效果不佳，或未有效利用歷史信息，抑或性能缺乏理論保證。針對(duì)上述不足，本文將在EG策略的基礎(chǔ)上，結(jié)合RMR策略的優(yōu)點(diǎn)，提出更有效的在線策略。具體地，為了有效地利用多期價(jià)格信息，首先結(jié)合Huang Dingjiang等[15]的研究工作，基于多期價(jià)格信息，利用L1-中位數(shù)估計(jì)得到預(yù)期價(jià)格趨勢(shì)，通過(guò)期望效用最大化，提出一種新的在線策略。然后，證明該策略具有泛證券投資組合性質(zhì)，同時(shí)時(shí)間復(fù)雜度較小。最后，通過(guò)國(guó)內(nèi)外證券市場(chǎng)歷史數(shù)據(jù)的實(shí)證檢驗(yàn)，證明該策略的性能優(yōu)于EG策略和UP策略。

2 相關(guān)概念及記號(hào)

(1)

(2)

因此，當(dāng)n個(gè)交易日結(jié)束時(shí)，得到資產(chǎn)權(quán)重序列，即序貫的策略bn={b1,b2,…,bn}。同時(shí)，該在線策略所獲得的n期累計(jì)收益為：

(3)

其中S0為初始投資資產(chǎn)，為方便計(jì)算，一般假設(shè)初始投資額為1，即S0=1。定義上述在線策略bn的平均指數(shù)增長(zhǎng)率為：

(4)

(5)

(6)

成立，即(6)式為泛證券投資組合性質(zhì)的數(shù)學(xué)表達(dá)。

3 泛證券投資組合策略EGLM及其性能分析

本文將基于多期價(jià)格數(shù)據(jù)，利用L1-中位數(shù)估計(jì)得到預(yù)期價(jià)格趨勢(shì)，并在此基礎(chǔ)上通過(guò)期望效用最大化，提出一種新的在線投資組合策略，EGLM (Exponential Gradient viaL1-Median)。

3.1 L1-中位數(shù)估計(jì)

對(duì)于長(zhǎng)度為w的價(jià)格數(shù)據(jù){pt-w+1,pt-w+2,,…,pt}而言，其L1-中位數(shù)為下列優(yōu)化問(wèn)題1的解。

優(yōu)化問(wèn)題1：

(7)

命題1 數(shù)值求解優(yōu)化問(wèn)題1的迭代過(guò)程如下：

(8)

其中，

3.2 EGLM策略

優(yōu)化問(wèn)題2：

(9)

其中，φ>0表示學(xué)習(xí)率，同時(shí)

(10)

定理1：優(yōu)化問(wèn)題2的解為：

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

最后，結(jié)合(14)式與(15)式可得(11)式。

[證畢]

(11)式即為EGLM策略的資產(chǎn)權(quán)重更新式，而利用EGLM策略進(jìn)行投資組合選擇的具體過(guò)程見(jiàn)下文表2。

表2 EGLM交易算法框架

3.3 算法時(shí)間復(fù)雜度分析

評(píng)價(jià)在線策略的性能需要分析策略所需的計(jì)算時(shí)間，即策略對(duì)應(yīng)算法的時(shí)間復(fù)雜度。時(shí)間復(fù)雜度越小，該策略越能適應(yīng)更廣泛的運(yùn)用。為了分析EGLM策略的時(shí)間復(fù)雜度，本文分別給出了利用命題1求解多期價(jià)格的L1-中位數(shù)的算法框架，以及利用EGLM策略進(jìn)行投資組合選擇的算法框架，具體如表1和2所示。

通過(guò)表1中第2行可知，算法1僅包含一個(gè)最大循環(huán)數(shù)為M的循環(huán)運(yùn)算，因此算法1的時(shí)間復(fù)雜度為O(M)。

表2中第8行表示調(diào)用算法1計(jì)算相對(duì)價(jià)格預(yù)測(cè)值，第9行表示EGLM策略更新資產(chǎn)權(quán)重向量的步驟，由于每次需要對(duì)m支股票都進(jìn)行計(jì)算，因此該步驟每一次循環(huán)的時(shí)間復(fù)雜度為O(m)。那么，每一次循環(huán)所需的計(jì)算量為O(m)+O(M)，即利用EGLM策略進(jìn)行投資組合選擇時(shí)每一期的時(shí)間復(fù)雜度。因此，在進(jìn)行n期m支股票的組合投資時(shí)，算法2的時(shí)間復(fù)雜度為O(mn)+O(Mn)。

表3 時(shí)間復(fù)雜度比較

表3給出了UP策略、EG策略和EGLM策略的時(shí)間復(fù)雜度，其中UP策略和EG策略的時(shí)間復(fù)雜度由Blum和Kalai[11]給出。從表3可看出，EGLM策略的線型時(shí)間復(fù)雜度明顯小于UP策略指數(shù)形式的時(shí)間復(fù)雜度。與EG策略相比，雖然EGLM策略的時(shí)間復(fù)雜度增加了O(Mn)，但由于O(Mn)僅與交易階段數(shù)n有關(guān)，而與證券數(shù)m無(wú)關(guān)，因此該部分不會(huì)因?yàn)樽C券數(shù)m增大而增大時(shí)間復(fù)雜度。因此，相較于UP策略和EG策略，EGLM策略依然能夠適用于更大規(guī)模的應(yīng)用。

3.4 策略競(jìng)爭(zhēng)性能分析

本文將通過(guò)以下定理2、3、4證明EGLM策略具有泛證券投資組合性質(zhì)，如上文所述，該性質(zhì)表示在線策略在理論上具有良好的競(jìng)爭(zhēng)性能。

(16)

(17)

(18)

(19)

又因?yàn)閷?duì)任意β∈[0,1]和x∈R，不等式ln(1-β(1-ex))≤βx+x2/8成立，因此：

(20)

又由于對(duì)任意x有1-ex≤-x成立，結(jié)合(18)式和(20)式，可得：

(21)

(22)

(23)

(24)

[證畢]

(25)

故當(dāng)T足夠大時(shí)，(25)式表明EGLM的收益能夠接近于事后最優(yōu)策略BCRP的收益。

(26)

(27)

將該策略記為EGLM*策略，下面通過(guò)定理3和4證明EGLM*策略的性質(zhì)。

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

綜合(30)、(31) 、(32)可得定理3結(jié)論(28)式。

[證畢]

根據(jù)定理3中(29)式，有：

(33)

故當(dāng)T足夠大時(shí)，(33)式表明EGLM*的收益能夠接近于事后最優(yōu)策略BCRP的收益。

由于(33)式的成立還需要事先已知投資總期數(shù)T，本文采用Helmbold等[12]的分階段處理方法，證明在T未知的情形下，EGLM*策略具有泛證券投資組合性質(zhì)。分階段處理的具體步驟如下：對(duì)于足夠大的T(滿足T≥2m2lnm)，將第一個(gè)含有2m2lnm期的連續(xù)階段記為階段0，階段i為含有2im2lnm期的連續(xù)階段。最后一個(gè)階段記為階段b，由于T為投資總期數(shù)，因此，有b=「log2(T/(2m2lnm))?成立。在每一個(gè)階段開(kāi)始時(shí)，將權(quán)重向量重新初始化，并按照EGLM*策略更新資產(chǎn)權(quán)重，稱這種策略為分階段的EGLM*策略。

定理4：分階段的EGLM*策略具有泛證券投資組合性質(zhì)。

令u為BCRP策略的權(quán)重向量，則下式成立：

(34)

根據(jù)泛證券投資組合性質(zhì)的定義(6)式可知，分階段的EGLM*策略具有泛證券投資組合性質(zhì)。

[證畢]

通過(guò)以上定理2、3、4，本文證明了EGLM策略及其變形，EGLM*策略和分階段的EGLM*策略，具有泛證券投資組合性質(zhì)，即收益能夠隨著交易時(shí)間增長(zhǎng)趨近于BCRP策略的收益，這表示本文提出的EGLM策略在理論上具有良好的競(jìng)爭(zhēng)性能。

4 實(shí)證分析

針對(duì)本文提出的EGLM策略，利用國(guó)內(nèi)外證券市場(chǎng)的歷史交易數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，與已有策略進(jìn)行對(duì)比，從而進(jìn)一步說(shuō)明EGLM策略的競(jìng)爭(zhēng)性能。本文采用的數(shù)據(jù)包括3個(gè)國(guó)外市場(chǎng)數(shù)據(jù)集[9,14,17]和3個(gè)國(guó)內(nèi)市場(chǎng)數(shù)據(jù)集[18]，具體信息如下表4所示。這6個(gè)數(shù)據(jù)集中的價(jià)格數(shù)據(jù)均通過(guò)復(fù)權(quán)剔除了分紅、送股以及配股等因素對(duì)價(jià)格的影響。

為方便與已有策略進(jìn)行對(duì)比，本文參考Helmbold等[13]和Huang Dingjiang等[15]，對(duì)EGLM策略的參數(shù)設(shè)置如下：學(xué)習(xí)率φ=0.05，最大迭代次數(shù)M=200，容忍度τ=0.01，以及歷史窗口長(zhǎng)度為w=5。在不考慮交易費(fèi)用的情形下，分別在上述6個(gè)數(shù)據(jù)集組成的資產(chǎn)組合中，本文對(duì)比了EGLM策略與兩個(gè)在線策略、三個(gè)基準(zhǔn)策略的期末累計(jì)收益，具體結(jié)果詳見(jiàn)表5。其中，在線策略均具有泛證券投資組合性質(zhì)，包括UP策略和EG策略；基準(zhǔn)策略包括BCRP策略，將全部資金投資于全局收益最高證券的Best-Stock策略，以及對(duì)全市場(chǎng)組合進(jìn)行平均買入持有的Market策略。

通過(guò)表5可知：首先，BCRP策略獲得了6個(gè)策略中最高的期末累計(jì)收益，這是因?yàn)锽CRP策略是所有基準(zhǔn)策略和泛證券投資組合策略的上限，它們獲得的累計(jì)收益至多無(wú)限趨近于BCRP策略；其次，Best-Stock策略的期末累計(jì)收益僅次于BCRP策略，這是因?yàn)锽est-Stock策略將全部資金僅投資于全局最優(yōu)的證券，而作為一種事后離線策略，其事后性導(dǎo)致其收益通常會(huì)很高；最后，相較于Market策略、UP策略以及EG策略，本文提出的EGLM策略在6個(gè)數(shù)據(jù)集都獲得了更高的期末累計(jì)收益，尤其在國(guó)內(nèi)數(shù)據(jù)集CH1、CH2、CH3上，EGLM策略的期末累計(jì)收益明顯高于這三個(gè)策略。這說(shuō)明，EGLM策略相較于UP策略和EG策略在收益性能方面表現(xiàn)更好。

表4 國(guó)內(nèi)外數(shù)據(jù)集信息表

表5 各策略的期末累計(jì)收益比較

除了上述期末累計(jì)收益，本文實(shí)證也關(guān)注各個(gè)策略的收益隨著交易天數(shù)變動(dòng)的表現(xiàn)。圖1給出了Market策略、UP策略、EG策略以及EGLM策略在6個(gè)數(shù)據(jù)集中的累計(jì)收益變動(dòng)。通過(guò)觀察圖1可知，除了在SP500數(shù)據(jù)集的前一小段時(shí)間Market策略的表現(xiàn)超過(guò)了其他三個(gè)策略，在其他5個(gè)數(shù)據(jù)集的整個(gè)交易期間，EGLM策略的表現(xiàn)都優(yōu)于三個(gè)對(duì)比策略。這樣的結(jié)果進(jìn)一步表明本文提出的EGLM策略相較于UP策略和EG策略有更好的競(jìng)爭(zhēng)性能。

圖1 各個(gè)策略的累計(jì)收益變動(dòng)

為了檢驗(yàn)上述EGLM策略的收益表現(xiàn)是否是由隨機(jī)因素造成，還是依靠策略本身的方法實(shí)現(xiàn)，本文通過(guò)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)來(lái)度量隨機(jī)因素造成收益表現(xiàn)的可能，這一做法在基金行業(yè)比較常見(jiàn)[19]。本文將EGLM策略的超額收益對(duì)基準(zhǔn)策略的超額收益做回歸分析，這里的基準(zhǔn)策略一般為Market策略(因?yàn)镸arket策略是對(duì)所有股票進(jìn)行平均的買入-持有處理，該策略的收益可以反映市場(chǎng)的平均收益情況)，而超額收益為策略的每日收益減去無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的每日收益。具體地，本文將EGLM策略的每日收益分為兩部分：與基準(zhǔn)相關(guān)部分和與基準(zhǔn)無(wú)關(guān)部分，即：

st-st(F)=α+β(st(B)-st(F))+ε(t)

其中，st表示EGLM策略的每日收益，st(B)表示Market策略的每日收益，st(F)表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的每日收益，本文參考Li Bin等[14]，統(tǒng)一采用年化收益率4%，對(duì)應(yīng)每日收益為1.000156。統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)結(jié)果如表6所示，其中MER表示平均超額收益(Mean Excess Return)。

表6 EGLM策略的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

通過(guò)表6可知，以0.05為判斷標(biāo)準(zhǔn)，在6個(gè)數(shù)據(jù)集上的p值都要小于0.05，因此EGLM策略并非因?yàn)殡S機(jī)因素才取得上述收益表現(xiàn)。此外，在這6數(shù)據(jù)集上，EGLM策略對(duì)于Market策略的勝率(Winning Ratio)都超過(guò)或接近50%，這進(jìn)一步說(shuō)明EGLM策略具有良好的競(jìng)爭(zhēng)性能。

除了采用累計(jì)收益這一常用指標(biāo)來(lái)比較不同策略的性能，本文還比較了策略的年化收益率、夏普比率、波動(dòng)率、最大回撤以及Calmar比率這5個(gè)指標(biāo)，以評(píng)價(jià)EGLM策略的性能，具體結(jié)果如表7所示。

表7 UP, EG和EGLM策略關(guān)于不同指標(biāo)的比較

通過(guò)表7可知，在全部6個(gè)數(shù)據(jù)集上，盡管EGLM策略收益的波動(dòng)率比UP策略和EG策略更高，但EGLM策略的年化收益率也更高，這與“收益越高、風(fēng)險(xiǎn)越大”的常識(shí)相符。與此同時(shí)，EGLM策略還有更高的夏普比率。此外，同樣在全部6個(gè)數(shù)據(jù)集上，EGLM策略有更低的最大回撤和更高的Calmar比率。這些結(jié)果表明，與UP策略和EG策略相比，EGLM能更好地在收益和風(fēng)險(xiǎn)中取得平衡，也再次說(shuō)明EGLM策略比UP策略和EG策略的性能更好。

5 結(jié)語(yǔ)

為了有效地利用歷史信息，提高在線策略的競(jìng)爭(zhēng)性能，本文基于多期價(jià)格數(shù)據(jù)，利用L1-中位數(shù)估計(jì)得到預(yù)期價(jià)格趨勢(shì)，通過(guò)期望效用最大化，提出了一種新的在線投資組合策略EGLM。本文證明了EGLM策略具有泛證券投資組合性質(zhì)，從而為策略的競(jìng)爭(zhēng)性能在理論上提供了保證。通過(guò)算法分析，比較了EGLM策略與同樣具有泛證券投資組合性質(zhì)的UP策略和EG策略，結(jié)果表明EGLM策略具有較小的時(shí)間復(fù)雜度。最后，利用國(guó)內(nèi)外6個(gè)證券市場(chǎng)的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行了實(shí)證檢驗(yàn)，結(jié)果表明EGLM策略的性能優(yōu)于UP策略和EG策略。