基于二維傅里葉變換的潛艇高空磁特征分析*

周家新，陳建勇，單志超

（1.海軍航空大學(xué)，山東 煙臺 264001；2.海軍海洋測繪研究所，天津 300061）

0 引言

潛艇因其突出的隱蔽性、機動性和續(xù)航能力備受矚目[1]，其打擊能力更不容小覷[2]，成為現(xiàn)代戰(zhàn)爭中最具威懾力的武器裝備之一[3]。潛艇磁場是造成潛艇暴露并破壞其隱身性能的重要物理特征[4]。潛艇磁場是指潛艇受地磁場磁化而產(chǎn)生的附加磁場。地球是個巨大的磁場，潛艇包含大量的鐵磁性物質(zhì)，這些鐵磁性物質(zhì)地磁場中極易被磁化[5]。

無論是靜止?jié)撏н€是運動潛艇，其周圍海水都存在磁場。靜止?fàn)顟B(tài)下潛艇上鐵磁性材料形成固定磁場和靜態(tài)感應(yīng)磁場；運動狀態(tài)下，潛艇及其運動在海水中產(chǎn)生電流從而誘發(fā)磁場按照物理成因的不同，可分為如下3種：1）起源于電化學(xué)的潛艇磁場[6]；2）起源于電磁感應(yīng)的潛艇磁場主要由3種因素引起：磁性艇體運動、金屬艇體運動和潛艇尾流擾動[4]；3）起源于電磁輻射與泄露的潛艇磁場[7]。

潛艇的固定磁場只與潛艇被磁化的歷史有關(guān)，即潛艇建造和長期航行過程中被磁化的歷史。在較短時段內(nèi)固定磁場可視為不變的。潛艇的固定磁性是在建造時期形成的，是潛艇的剩磁。即使地磁場變?yōu)榱悖@部分磁性仍存在，在一定時期內(nèi)可視作固定不變。潛艇在靜止或航行狀態(tài)下，由于受地磁場感應(yīng)磁化而形成的磁場叫靜態(tài)感應(yīng)磁場，其大小和方向隨當(dāng)?shù)氐卮艌龅臄?shù)值而成比例地變化。同一類型的潛艇，其感應(yīng)磁性的規(guī)律大致相同。

潛艇磁場的存在，同地磁場等疊加，改變了潛艇周圍原有的磁場分布。定義潛艇磁場引起的地磁場變化為磁異常，由鐵磁性潛艇引起的磁異常信號強度在500 m高空仍可達到數(shù)nT，而中緯度地區(qū)地磁場的磁感應(yīng)強度在500 m高空可達到45 000 nT[2]，潛艇引起的磁異常信號強度遠小于背景磁場。但是相比其他探潛方式，磁場信號能夠穿透空氣、海水、土層等介質(zhì)，實現(xiàn)跨介質(zhì)穩(wěn)定傳播，并且能夠不受海況影響，具有突出優(yōu)勢?；诩s瑟夫效應(yīng)的超導(dǎo)量子干涉儀（SQUID）其工作靈敏度可達 1 fT[8]，能夠?qū)崿F(xiàn)弱磁信號的精確測量，有利于航空磁異常遠程探測。

為研究潛艇高空磁異常特征，通過曲面積分建立潛艇磁場預(yù)測模型，獲取潛艇高空磁場分布，對潛艇磁特征進行空間域分析。并對潛艇高空磁場進行二維傅里葉變換，分析潛艇的頻率域磁特征。本文所述的潛艇磁場僅限于靜止?fàn)顟B(tài)下由鐵磁性材料構(gòu)成的潛艇固定磁場和靜態(tài)感應(yīng)磁場，這部分磁場也稱為靜態(tài)磁場。

1 潛艇磁場建模

通過空間任意場點的磁場與包圍磁源的任意閉曲面上的磁場的積分關(guān)系，根據(jù)潛艇外封閉曲面上的磁場強度矢量的曲面積分計算曲面外空間任意點磁場矢量。在半空間區(qū)域基于格林函數(shù)，通過矢量磁位分布求拉普拉斯的邊值問題。根據(jù)麥克斯韋方程組可以得到潛艇靜磁場描述如下[9-10]：

其中，H為潛艇磁場的磁場強度，J為場域內(nèi)自由電流密度向量或鐵磁物體的等效電流密度向量，B為磁感應(yīng)強度，μ0=4π×10-7H/m為真空磁導(dǎo)率。

圖1所示為潛艇磁場向上延拓場域的示意圖。

場源為磁性目標(biāo)潛艇，ΓS為磁場數(shù)據(jù)觀測面，Q為觀測面以上的計算點，Ω為無源封閉區(qū)域，P為位于觀測面ΓS上的流動積分點，?！逓闊o窮遠邊界曲面，r為計算點Q與流動點P之間的距離。場域為有限空間，觀測面為有限平面。場域內(nèi)介質(zhì)均勻且各向同性，則該區(qū)域內(nèi)磁場的特性可以用矢量磁位A描述[11-14]。因為矢量磁位A滿足條件

可以得到

矢量磁位A的散度為

對式（5）兩邊取旋度，根據(jù)式（3）、式（6）和矢量恒等式，可以得到泊松方程

對矢量磁位A應(yīng)用矢量格林定理，可以得到場域內(nèi)Q點的磁感應(yīng)強度為：

式（9）即為潛艇磁場延拓公式。

對式（9）進行離散化，可以得到實際潛艇磁場預(yù)測公式

其中，|x′|=0，1，2，…，N1-1，|y′|=0，1，2，…，N2-1，z′=z0=300；Mi為第i個平面的剖分單元數(shù)，i=1，2，…，6；ni是第i個平面的單位法向量；B′ij為單元 ij的測量磁感應(yīng)強度數(shù)據(jù)，j=1，2，…，Mi；Sij是測量單元ij的面積。

2 潛艇磁場預(yù)測模型實驗驗證

通過實驗分析潛艇磁場預(yù)測模型的精度，驗證使用預(yù)測模型分析潛艇磁特征的有效性。實驗中，選取長半軸為2.85 m，短半軸為0.25 m的鐵磁性旋轉(zhuǎn)橢球體代替潛艇。選擇規(guī)則長方體為測量區(qū)域，該區(qū)域的邊界面為長7.50 m，寬與高均為1.50 m的長方體表面。將上下兩表面和左右兩側(cè)面各分成25×5個面積元，將前后兩側(cè)面?zhèn)€分成5×5個面積元。整個邊界面共分成550個面積元。面積元的劃分及測量點的分布如圖2所示。鐵磁性橢球體放置于長方體的中心。實際測量過程中，使用長和寬均為1.50 m的矩形測量框架，每條邊上按圖2所示布放5個三軸數(shù)字式磁通門傳感器，共計20個。測量時，矩形測量框架沿長方體長邊移動至測量點處，記錄測量數(shù)據(jù)。兩正方形側(cè)面使用長為1.50 m的正方形測量面進行測量。矩形測量框架上邊1號至4號傳感器的X、Y、Z分量測量數(shù)據(jù)列于表1中。

表1 實際測量磁場數(shù)據(jù)

實驗中，在橢球體中心上方5 m的高度面上取25×5個考核點，在考核點出測量磁場的3個分量。根據(jù)長方體邊界面上的實際測量磁場數(shù)據(jù)，由式（10）可以計算得到考核點上的磁場三分量預(yù)測值。將預(yù)測值于實際測量值進行比較，相對均方差不大于0.05，結(jié)果表明該預(yù)測模型的精度能夠滿足潛艇磁場特征分析的要求。

3 潛艇空間磁場的二維傅里葉變換

二維傅里葉變換常用于圖像處理、噪聲抑制，基于這些應(yīng)用，將潛艇的在一定高度下的平面磁場分布等效為二維函數(shù)，磁感應(yīng)強度值為XOY平面在點（X，Y）處的函數(shù)值，進行二維變換處理。對潛艇的高空磁場取二維傅里葉變換，可以得到

其中，BQ（x′，y′，z0）為高度 z0=300 m 時平面 XOY 的磁感應(yīng)強度分布。

傅里葉變換將潛艇磁感應(yīng)強度分布從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，即潛艇的磁感應(yīng)強度空間分布函數(shù)變換為磁感應(yīng)強度的頻率分布函數(shù)。其物理含義表征潛艇磁感應(yīng)強度在空間變化的劇烈程度，是磁感應(yīng)強度在平面空間的梯度。大面積的地磁背景在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域，而當(dāng)探測區(qū)域出現(xiàn)鐵磁性潛艇時，該區(qū)域的灰度值將出現(xiàn)劇烈變化。相比于空間域中，地磁信號強度遠大于潛艇磁異常信號而言，將磁場分布進行二維傅里葉變換后得到的磁異常頻率分布函數(shù)能夠在頻率域內(nèi)對目標(biāo)信號進行分析。

對式（11）進行離散二維傅里葉變換[15]，得到

其中，|u|=0，1，2，…，N1-1，|v|=0，1，2，…，N2-1。

建立如圖3所示的坐標(biāo)系。其中X軸平行于水平面，以指向地磁北向為正，稱為縱軸；Y軸平行于水平面，以指向地磁東向為正，稱為橫軸；Z軸垂直于水平面，以向下為正，稱為垂軸。Bx、By、Bz分別是潛艇空間磁場BQ在X軸、Y軸、Z軸的投影，分別稱為縱向分量、橫向分量、垂向分量，即潛艇磁場的三分量。

表2 潛艇空間磁場

根據(jù)實驗中測量得到的潛艇包絡(luò)面上的三分量磁感應(yīng)強度數(shù)據(jù)，由式（10）的實際潛艇磁場預(yù)測公式進行計算，可以得到高度為300 m的XOY平面潛艇磁場分布，基于實測橢球體模擬的潛艇空間磁場部分?jǐn)?shù)據(jù)列于表2中。

3.1 潛艇磁場的縱向分量

由圖4（a）可知，潛艇磁場縱向分量的區(qū)域性強，分布特征明顯，在空間中存在3個峰，其中2個為正峰值。磁場縱向分量負(fù)峰值出現(xiàn)在艇模中心正上方，該處的異常值最大。磁場縱向分量關(guān)于X軸和Y軸對稱。當(dāng)磁場縱向分量隨X軸變化（Y=0時），它具有正負(fù)交替的3個峰值，兩個正峰值出現(xiàn)在潛艇縱向的兩側(cè)附近，負(fù)峰值出現(xiàn)在潛艇的正上方；當(dāng)磁場縱向分量隨Y軸變化（X=0時），它具有一個負(fù)峰值。通常在在潛艇縱向的兩側(cè)或其附近出現(xiàn)兩個正峰值，而在潛艇正上方（X，Y，Z）=（0，0，300）點處出現(xiàn)負(fù)峰值，負(fù)峰值的絕對值大于正峰值。負(fù)峰值的絕對值隨著探測點與潛艇的距離的增大而減小。圖4（b）的頻譜圖表征潛艇磁場信號能量的分布，表征潛艇磁感應(yīng)強度在空間變化的劇烈程度，頻譜圖中的幅度越大，代表信號越強，即該處的異常值越大。頻譜圖中的最大幅值的尖銳程度，表征磁異常值同背景磁場的差異程度。潛艇磁場同地磁場疊加后的總場值與周圍地磁場的差異越大，頻譜圖越尖銳。

3.2 潛艇磁場的橫向分量

由圖5（a）可知，空域中潛艇磁場橫向分量的幅值在三分量中最小，但橫向分量的信號波形特征最為明顯，具有4個峰值，其中2個為正峰值，分別出現(xiàn)在潛艇縱向的左前側(cè)、右后側(cè)；兩個負(fù)峰值出現(xiàn)在潛艇的縱向的左后側(cè)、右前側(cè)。右側(cè)的正峰值與負(fù)峰值均大于左側(cè)。隨著探測點與潛艇的距離的增大，正負(fù)峰值的絕對值均減小。由圖5（b）可知，頻域中橫向分量的頻譜圖相比其他分量和總場，最尖銳，幅值最大。橫向分量的頻譜圖具有一定的區(qū)域特性，二維傅里葉變換能夠從頻率維度提供更多信息，用以輔助磁探儀進行檢測和識別。

3.3 潛艇磁場的垂向分量

由圖6（a）可知，傅里葉變換前，潛艇磁場垂向分量的幅值在三分量中最大，具有2個峰值，其中1個為正峰值。正峰值出現(xiàn)在潛艇縱向前側(cè)，負(fù)峰值出現(xiàn)在潛艇的縱向后側(cè)。潛艇磁場垂向分量在高度為300 m的XOY平面上關(guān)于X軸對稱。隨著探測點與潛艇的距離的增大，正負(fù)峰值的絕對值均減小。傅里葉變換后，從圖6（b）可以看出，垂向分量的頻譜圖以原點為圓心，對稱分布。布置于反潛巡邏機平臺上的航空磁異常探測儀通常受到高頻磁噪聲干擾，而目標(biāo)信號頻率較低，使用二維傅里葉變換能夠?qū)撏Т鸥袘?yīng)強度在高頻和低頻上區(qū)分開，從而達到抑制高頻噪聲效果。

4 結(jié)論

本文在實驗中使用鐵磁性橢球體代替潛艇，對潛艇在地磁場中磁化產(chǎn)生的固定磁場和靜態(tài)感應(yīng)磁場的磁特征進行研究，通過矢量磁位和曲面積分推導(dǎo)出潛艇磁場預(yù)測模型?；阼F磁性橢球體推導(dǎo)出的潛艇磁場預(yù)測模型能夠反映出潛艇空間磁場的分布規(guī)律和變化趨勢，反映潛艇空間磁場的對稱性、單調(diào)性、凹凸性以及極值點數(shù)，但在局部細節(jié)方面刻畫不足，橢球體模型預(yù)測的極值較潛艇實際磁場要小。由于二維傅里葉變換后保留下的是潛艇空間磁場的低頻部分，而潛艇空間磁場信號主要集中在低頻部分，故本文的潛艇磁場模型能夠滿足分析需求。根據(jù)實驗測量得到的艇模數(shù)據(jù)，通過磁場預(yù)測模型延拓得到潛艇磁場的空間分布。對潛艇空間磁場進行二維傅里葉變換，分析潛艇三分量磁場的特征，結(jié)果表明：潛艇高空平面磁場的三分量區(qū)域性強，特征明顯?？沼蛑校瑵撏Т艌隹v向分量具有3個峰值，橫向分量具有4個峰值，其幅值在三分量中最小，垂向分量具有2個峰值，其幅值在三分量中最大。三分量中，潛艇磁場縱向分量在平面上的平均信號強度最大，橫向分量最小。潛艇高空磁場信號強度主要集中在低頻部分。頻域中，潛艇磁場的垂向分量頻譜幅值最大，橫向分量最小。潛艇磁場各分量的磁感應(yīng)強度量級在300 m高度上均能達到nT量級，區(qū)域性明顯，具有一定的分布特征，能夠為航空磁探潛中潛艇的探測和識別提供支持。