一種連續(xù)可導(dǎo)的近似滑?？刂萍捌浞抡嫜芯?

邢曉波，胡劍波，王應(yīng)洋，李 俊

（空軍工程大學(xué)裝備管理與安全工程學(xué)院，西安 710051）

0 引言

由于滑模面可以按需要設(shè)計(jì)，而且系統(tǒng)的滑模運(yùn)動(dòng)與控制對(duì)象的參數(shù)變化和系統(tǒng)的外干擾無關(guān)，因此，滑模變結(jié)構(gòu)控制方法的魯棒性比一般常規(guī)的方法強(qiáng)[1]。但是，一般的變結(jié)構(gòu)控制律大多是不連續(xù)的，從而不可導(dǎo)。由于采用了繼電控制項(xiàng)，從而導(dǎo)致了控制信號(hào)的不連續(xù)，而且容易形成控制信號(hào)的顫振，它的直接后果是耗費(fèi)大量能量，使得控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)目標(biāo)難以實(shí)現(xiàn)，并且影響控制系統(tǒng)的使用壽命。以時(shí)間-能量的綜合優(yōu)化控制為例，本身是希望得到能量盡量少地實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制，但由于控制規(guī)律中存在符號(hào)函數(shù)，并且不可能完全理想地停留在開關(guān)線上，導(dǎo)致控制信號(hào)在開關(guān)線附近頻繁地切換，從而繼續(xù)耗費(fèi)能量，造成浪費(fèi)。為此，如何有效地近似符號(hào)函數(shù)是解決含有控制信號(hào)抖動(dòng)問題的關(guān)鍵所在，對(duì)于提高控制系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)效能具有現(xiàn)實(shí)意義。在實(shí)際應(yīng)用中，常常采用連續(xù)的控制信號(hào)來近似替代[2-4]。但是，連續(xù)的控制信號(hào)不一定可導(dǎo)，而在一些控制問題中，要求設(shè)計(jì)出的控制規(guī)律不僅連續(xù)，并且最好是可導(dǎo)的。當(dāng)控制信號(hào)需由另外的控制器方程來產(chǎn)生時(shí)，這一情形常常出現(xiàn)。如飛機(jī)運(yùn)動(dòng)方程中的控制量是舵偏角，它必須由舵機(jī)控制方程（伺服系統(tǒng)）來產(chǎn)生，當(dāng)期望的舵偏角不可導(dǎo)時(shí)，無法得到相應(yīng)的舵機(jī)控制信號(hào)[5-6]。因此，研究連續(xù)且可導(dǎo)的近似滑?？刂坡?，使之在實(shí)際應(yīng)用中更具有意義。

為此，本文重點(diǎn)研究這一問題，提出了一種連續(xù)且可導(dǎo)的近似函數(shù)，設(shè)計(jì)出一種近似滑?？刂坡?，整個(gè)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性通過函數(shù)給予證明，最后進(jìn)行數(shù)字仿真研究，控制信號(hào)平滑、連續(xù)，說明了本文方法的有效性。

1 問題描述及準(zhǔn)備

1.1 問題描述

考慮下列二階非線性系統(tǒng)：

假設(shè)1所有狀態(tài)變量均可得到用于反饋；

假設(shè) 2 g（x）＞0；

為書寫方便，下文采用f、g和d分別表示f（x）、g（x）和 d（x，t）。

1.2 符號(hào)函數(shù)近似算法

其中，稱參數(shù)s0為邊界層厚度。

其中，δ0是很小的正常數(shù)。

對(duì)于θ（s），盡管能夠在s=0附近快速地改變（當(dāng) δ0較小時(shí)），當(dāng)且永遠(yuǎn)達(dá)不到 sgn（s）。

綜合上述函數(shù)在實(shí)現(xiàn)近似函數(shù)時(shí)存在的不足，設(shè)想能否這樣來構(gòu)造符號(hào)函數(shù)：先進(jìn)行θ（s），并乘以一個(gè)大于1的實(shí)數(shù)，再利用sat（s），以便實(shí)現(xiàn)在遠(yuǎn)離s=0時(shí)完全等效于符號(hào)函數(shù)，且在s=0附近盡量滿足快速變換要求。

將sat（s）和θ（s）結(jié)合在一起，構(gòu)造出如圖1所示的符號(hào)函數(shù)近似函數(shù)。

寫出其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

其中，ρ＞1，δ＞0是影響這個(gè)函數(shù)輸入輸出響應(yīng)的參數(shù)。

容易得出：

即隨著s的降低而增大，符合近似要求，并隨著ρ的增大、δ的減小而增大。圖2給出了這個(gè)函數(shù)的輸入輸出響應(yīng)曲線。

可見，隨著ρ的增大或者δ的降低，其對(duì)于近似函數(shù)的近似程度也隨著改進(jìn)。

2 控制器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析

2.1 一般的滑模變結(jié)構(gòu)控制

對(duì)于非線性系統(tǒng)式（1），定義跟蹤誤差為：

定義滑模面為：

其中，c＞0。

則有：

當(dāng)選擇下列控制律時(shí)，

取Lyapunov函數(shù)為：

則：

取η≥D，則：

2.2 連續(xù)可導(dǎo)近似滑?？刂?/h3>

由于采用了符號(hào)函數(shù)，上述控制律式（9）為不連續(xù)控制律，為使其成為連續(xù)且可導(dǎo)函數(shù)，須將符號(hào)函數(shù)用一個(gè)連續(xù)且可導(dǎo)的函數(shù)來近似。引入如式（4）所示的函數(shù)δ（s），并用它來代替符號(hào)函數(shù)，該函數(shù)的表達(dá)式可以重寫為：

這樣，可以得到控制律式（9）的一種連續(xù)可導(dǎo)近似滑?？刂坡桑?/p>

2.3 穩(wěn)定性分析

下面給出上述近似滑?？刂坡勺饔糜诜蔷€性系統(tǒng)式（1）的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析。

取Lyapunov函數(shù)為：

則：

故：

取 η≥D，則：

3 仿真研究

倒立擺動(dòng)力學(xué)方程為：

其中，

其中，u為加在小車上的控制力，mc=1 kg和m=0.1kg分別為小車和擺的質(zhì)量；l=0.5 m為擺桿旋轉(zhuǎn)點(diǎn)到桿中心點(diǎn)的長(zhǎng)度；x1為小車的位置；x2為擺桿的轉(zhuǎn)動(dòng)角度；g為重力加速度。

取參考輸入指令信號(hào)為xd=0.1 sint，倒立擺的初始狀態(tài)為，取 η=11.5，c=12。

1）在控制律式（9）中采用符號(hào)函數(shù) sgn（s），仿真結(jié)果如圖3～圖4所示。

2）在控制律式（9）中采用符號(hào)函數(shù)sat（s），邊界層厚度s0=0.05，仿真結(jié)果如圖5～圖6所示。

3）在控制律式（9）中采用繼電特性連續(xù)函數(shù)θ（s），δ0=0.05，仿真結(jié)果如圖 7～ 圖 8 所示。

4）在近似滑?？刂坡墒剑?4）采用本文設(shè)計(jì)的函數(shù) δ（s），ρ=2，δ=0.05，仿真結(jié)果如圖 9 ～ 圖 10 所示。

從圖3和圖4中可以看出，采用符號(hào)函數(shù)sgn（s）時(shí)，角速度跟蹤出現(xiàn)超調(diào)，跟蹤效果較差，并且控制輸入出現(xiàn)高頻抖振。從圖5和圖6中可以看出，采用飽和函數(shù)sat（s）時(shí)，角度和角速度跟蹤效果較好，但是控制輸入中出現(xiàn)跳動(dòng)。從圖7和圖8中可以看出，采用繼電特性連續(xù)函數(shù)θ（s）時(shí)，控制輸入較為平滑，但是角速度跟蹤效果不太理想，出現(xiàn)超調(diào)。從圖9和圖10中可以看出，采用本文所設(shè)計(jì)的近似函數(shù)δ（s）時(shí)，跟蹤效果較好，控制輸入較為平滑。

綜合以上仿真分析結(jié)果表明，本文所設(shè)計(jì)的近似函數(shù)可以有效地抑制控制信號(hào)的抖振現(xiàn)象，且狀態(tài)跟蹤效果顯著，說明本文設(shè)計(jì)的近似函數(shù)以及近似滑?？刂品椒ň哂休^強(qiáng)的魯棒性。

4 結(jié)論

本文針對(duì)一般的滑模變結(jié)構(gòu)控制方法的不連續(xù)和不可導(dǎo)，以二階非線性系統(tǒng)為研究對(duì)象，結(jié)合飽和函數(shù)以及繼電特性連續(xù)化函數(shù)的特性，提出了一種近似符號(hào)函數(shù)，設(shè)計(jì)出近似滑?？刂坡?，有效地抑制了抖振現(xiàn)象，通過Lyapunov函數(shù)證明了整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。仿真結(jié)果比較可以看出本文所設(shè)計(jì)的近似滑?？刂坡上墩?，跟蹤效果顯著，魯棒性強(qiáng)，進(jìn)而說明本文所設(shè)計(jì)的方法的優(yōu)越性。