探索數(shù)學(xué)模型在金融中的具體應(yīng)用

吳春雪

（貴州財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，貴陽 550025）

引言

數(shù)學(xué)是非常嚴(yán)謹(jǐn)具有很輕的邏輯性的一門學(xué)科，各個(gè)行業(yè)分析預(yù)測一些事物都離不開這一大有力工具，金融市場的分析研究也不例外。在金融領(lǐng)域中，所研究的對象之間的關(guān)系必然存在著一些數(shù)學(xué)上的聯(lián)系，可以先對所研究對象抽象成數(shù)學(xué)的形式，這樣數(shù)學(xué)模型就做好了。金融市場的交易者需要利用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析預(yù)測，這樣才能更好地掌握食物的發(fā)展方向或者是進(jìn)行利潤收益的一個(gè)具象化計(jì)算。

一、數(shù)學(xué)理論模型的發(fā)展及金融市場的發(fā)展概況

眾所周知，金融數(shù)學(xué)是一門邊緣性的學(xué)科，金融市場的運(yùn)作是極其復(fù)雜的，這就需要運(yùn)用很多金融數(shù)學(xué)理論知識，并且還要把一些數(shù)學(xué)研究方法運(yùn)用其中，這樣才能有效地解決金融市場中的諸多問題，比如定價(jià)問題、利潤問題等。數(shù)學(xué)模型具體運(yùn)用到金融領(lǐng)域最早是在1900年，當(dāng)時(shí)Louis Bachelier（路易·巴舍利耶）提出了一個(gè)投機(jī)理論，這個(gè)理論把概率論直接運(yùn)用于證券價(jià)格的分析，引起了不小的轟動(dòng)，路易·巴舍利耶被譽(yù)為現(xiàn)代量化金融的奠基者。在1959年Markowitz（馬科維茨）提出了期望方差模型，此模型是當(dāng)時(shí)現(xiàn)代金融理論研究時(shí)期中最有影響力的模型概念。這一模型概念一經(jīng)提出，很多的數(shù)學(xué)家和金融經(jīng)濟(jì)學(xué)家都開始了對期望方差模型在金融市場的應(yīng)用的這一領(lǐng)域的具體研究工作，在此過程中此模型概念逐步得到了完善，并且產(chǎn)生了許多新的證券組合選擇模型。1973年，Black與Scholes提出“基于無紅利支付股票的任何衍生證券的價(jià)格必須滿足一組微分方程”這一理論概念，這一理論被譽(yù)為金融市場研究中的革命性成果。國際經(jīng)濟(jì)不斷發(fā)展，金融市場體系在逐漸得到完善，數(shù)學(xué)模型在金融市場研究中的巨大作用不可小覷，數(shù)學(xué)模型在金融領(lǐng)域中的運(yùn)用已然成為研究金融市場的關(guān)鍵性的技術(shù)。

二、數(shù)學(xué)模型在金融中的具體應(yīng)用

（一）基礎(chǔ)模型

1.單利與復(fù)利。大家都知道，我們存款會(huì)在一定時(shí)間內(nèi)獲得一定的利息，貸款會(huì)繳納一部分利息。而利率是利息與本金的比值。當(dāng)存款的利率高時(shí)，會(huì)吸引存款者進(jìn)行存款。但在這種情況下，銀行就會(huì)出現(xiàn)負(fù)債過高的現(xiàn)象，此時(shí)，銀行會(huì)通過一些手段進(jìn)行獲利，比如提高貸款的利率。但是，這樣又會(huì)使想要貸款的企業(yè)望而卻步，所以銀行的利率過高會(huì)阻礙金融經(jīng)濟(jì)的發(fā)展。單利和復(fù)利是銀行計(jì)算利息的方式。利息的計(jì)算只與本金有關(guān)的叫作單利，如果設(shè)本金為m，年利率是s，n年后本金和利息的總計(jì)A就是m（1+ns），這就是所說的單利模型。復(fù)利模型與本金和利息都有關(guān)系，因?yàn)槔⒃谝欢〞r(shí)間內(nèi)還會(huì)產(chǎn)生利息。

2.現(xiàn)值理論。所謂現(xiàn)值理論，就是指資金現(xiàn)在的價(jià)值，最終價(jià)值和折現(xiàn)情況。如果m代表本金，銀行的存款利率是s，n年之后本金和利息的總計(jì)為最終價(jià)值，記為Q。通過復(fù)利公式 Q=m（1+s）n，我們可以知道本金 m 就等于終值與（1+s）n的比值。1/（1+r）n就是折現(xiàn)系數(shù)?，F(xiàn)在生活中，很多商家都會(huì)利用銀行按揭搞一些促銷活動(dòng)，這種活動(dòng)都是把客戶的信譽(yù)作為一個(gè)擔(dān)保，客戶可以選擇按揭的期限和方式。

（二）證券投資組合模型

1.期望方差模型。期望方差模型是用來減小投資風(fēng)險(xiǎn)的有效數(shù)學(xué)模型。投資者會(huì)拿出一筆錢用來投資不同的證券，這樣可以有效地使風(fēng)險(xiǎn)分散，這無形中就降低了投資的風(fēng)險(xiǎn)。若我們把預(yù)期收益率作為一個(gè)坐標(biāo)系的縱坐標(biāo)，把預(yù)期的風(fēng)險(xiǎn)值作為坐標(biāo)系的橫坐標(biāo)，那么每一個(gè)符合要求的證券的投資組合就固定的代表這個(gè)坐標(biāo)系上的一個(gè)點(diǎn)，所有的符合要求的證券投資組合就可以成為一個(gè)集合。

2.其他證券組合選擇模型。幾何期望收益模型、保險(xiǎn)首要模型、隨機(jī)優(yōu)勢模型、最優(yōu)后悔比率模型等也是金融領(lǐng)域很常見的數(shù)學(xué)模型，發(fā)揮了巨大的作用。

（三）資產(chǎn)定價(jià)模型

1.資本資產(chǎn)定價(jià)模型。資本資產(chǎn)定價(jià)模型簡稱為CAMP模型，此模型大多用于分析平衡態(tài)市場下的怎樣處理資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)和收益以及風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系的具體問題。如果市場處于平衡狀態(tài)，其中的大多數(shù)較為理性的資產(chǎn)持有者會(huì)選擇投資不同的證券。Sharpe和Lintner是曾經(jīng)榮獲了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的，他們提出了一條非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)募僭O(shè)，推導(dǎo)出了下面的資本資產(chǎn)定價(jià)模型：

2.套利定價(jià)模型。套利定價(jià)模型簡稱為ATP模型，其反映的金融領(lǐng)域的理論與CPAM模型不同。我們都知道，在金融市場中，如果兩個(gè)一模一樣的商品以不同的價(jià)格對外售賣，那么價(jià)格低的肯定先會(huì)先賣出去。這個(gè)ATP模型就是說，當(dāng)兩個(gè)一樣的商品以不同的價(jià)格售賣，那么肯定會(huì)出現(xiàn)套利機(jī)會(huì)。這個(gè)理論只是闡述了市場在平衡態(tài)時(shí)資產(chǎn)定價(jià)的結(jié)構(gòu)情況，具有一定的局限性，后來的很多研究者針對這一理論提出了很多完善的概念并且廣泛運(yùn)用。

結(jié)語

金融市場是個(gè)非常復(fù)雜的領(lǐng)域，里面存在著很多值得研究的問題。然而，世界在不斷進(jìn)步，金融市場體系在逐步地進(jìn)行完善，我國要想提高金融市場核心競爭力，掌握金融市場操作的關(guān)鍵技術(shù)，就必須加強(qiáng)研究數(shù)學(xué)模型在金融市場中的具體應(yīng)用，創(chuàng)新引領(lǐng)時(shí)代的金融行業(yè)發(fā)展，探索出更多新的數(shù)學(xué)模型運(yùn)用到金融領(lǐng)域之中，這樣能更好地保證金融市場的穩(wěn)定運(yùn)行，保障人民的財(cái)產(chǎn)安全。