考慮摩擦條件下臨近既有建筑物的有限土體土壓力上限解

胡衛(wèi)東，曹文貴，曾律弦，劉曉紅

(1.湖南理工學(xué)院土木建筑工程學(xué)院，湖南 岳陽(yáng) 414006；2.湖南大學(xué)巖土工程研究所，湖南 長(zhǎng)沙 410082)

土壓力計(jì)算是巖土工程擋土墻和支護(hù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的一個(gè)重要內(nèi)容，通常假定墻后填土為半無(wú)限連續(xù)土體，采用經(jīng)典朗肯、庫(kù)倫土壓力理論公式或修正經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行計(jì)算[1]。然而，隨著城市地下空間被廣泛利用，地下建(構(gòu))筑物越來(lái)越密集，擋土墻和支護(hù)結(jié)構(gòu)前后大量出現(xiàn)有限寬度土體，特別是臨近既有地下室的基坑支護(hù)結(jié)構(gòu)、城市地鐵及市政管網(wǎng)工程建設(shè)中的臨時(shí)支擋結(jié)構(gòu)等[2～3]。有限寬度土體邊界條件不滿(mǎn)足半無(wú)限體的基本假定條件，其破壞機(jī)理和破壞模式已產(chǎn)生較大變化，按傳統(tǒng)方法計(jì)算結(jié)果與實(shí)際值存在較大差異，因此，簡(jiǎn)單套用經(jīng)典土壓力理論計(jì)算有限寬度土體土壓力顯然是不合適的，研究有限寬度土體土壓力計(jì)算模型具有重要的理論研究和工程應(yīng)用價(jià)值，這也是本文研究的出發(fā)點(diǎn)。

已有學(xué)者開(kāi)展剛性擋土墻有限寬度土體主動(dòng)土壓力與被動(dòng)土壓力的理論研究，取得了比較豐碩的研究成果，其中最常采用的方法是極限平衡方法。Handy[4]通過(guò)對(duì)擋土墻側(cè)的土體單元進(jìn)行應(yīng)力分析，獲得兩豎直粗糙擋土墻后有限寬度填土土壓力的分布計(jì)算公式；Frydman等[5]、Take等[6]結(jié)合模型試驗(yàn)研究了鄰近基巖面且填土為砂礫土的剛性擋土墻在靜止和主動(dòng)土壓力狀態(tài)下的側(cè)向土壓力；Greco[7]提出重力式擋土墻后有限寬度填土破壞過(guò)程的三種破壞模式，推導(dǎo)出主動(dòng)土壓力的分析計(jì)算模型；馬平等[8]假定滑裂面為平面，利用極限平衡方法，考慮土的黏聚力影響，建立了土壓力計(jì)算模型和滑裂面破壞角的數(shù)學(xué)表達(dá)式；楊明輝等[9～10]提出了直線破裂面模式和曲線破裂面模式，并建立了相應(yīng)有限土體主動(dòng)土壓力的求解方法；王閆超等[11]假定平面滑裂面模式，采用薄層單元法推導(dǎo)了剛性擋土墻無(wú)黏性有限土體主動(dòng)土壓力的解析解；應(yīng)宏偉等[12～14]研究了鄰近地下室外墻和狹窄基坑平動(dòng)模式下剛性擋土墻主動(dòng)土壓力和被動(dòng)土壓力分布模型；岳樹(shù)橋等[15]利用筒倉(cāng)原理，通過(guò)靜力平衡條件求解微分方程得到了相鄰基坑有限寬度土體的主動(dòng)土壓力計(jì)算公式；靜力平衡方法概念明確，計(jì)算簡(jiǎn)便，但經(jīng)常需要假定滑動(dòng)面和應(yīng)力分布狀態(tài)。

近年來(lái)，部分學(xué)者利用數(shù)值模擬開(kāi)展剛性擋土墻有限土壓力的研究，徐超等[16]采用FLAC軟件建立有限填土加筋土擋墻的二維數(shù)值模型，討論了加筋間距、加筋長(zhǎng)度以及墻面與豎直平面的夾角對(duì)擋墻穩(wěn)定性和破壞模式的影響；朱偉等[17]、應(yīng)宏偉等[12～13]利用有限元軟件研究了平動(dòng)模式下?lián)鯄笸馏w變形規(guī)律和土壓力分布模式；Yang[18]針對(duì)有限寬度土體離心模型試驗(yàn)結(jié)果開(kāi)展了有限元分析模擬；Chi-cheng Fan[19]針對(duì)有限寬度填土后方為基巖面的情況，利用有限元數(shù)值模擬剛性擋土墻主動(dòng)土壓力分布。數(shù)值分析方法研究在很大程度上豐富和驗(yàn)證了理論研究成果，但在土體本構(gòu)模型與力學(xué)參數(shù)選擇上仍存在不確定性。

極限分析法分析擋土墻與支護(hù)結(jié)構(gòu)土壓力不需要準(zhǔn)確確定破壞機(jī)構(gòu)中各剛性塊體內(nèi)部的應(yīng)力分布，在巖土工程中已得到廣泛應(yīng)用，然而，具體到剛性擋土墻有限土體土壓力理論研究卻相對(duì)較少。高印立[20]基于塑性極限分析理論，推導(dǎo)出平面滑裂面模式下有限土體主動(dòng)土壓力和被動(dòng)土壓力的計(jì)算公式；謝小榮等[21]針對(duì)公路工程中經(jīng)常出現(xiàn)的路堤與切坡工程擋土墻，通過(guò)極限分析虛功原理建立了邊坡中有限寬度土體主動(dòng)土壓力計(jì)算公式；廖俊展等[22]通過(guò)極限分析上限理論，研究基坑工程中有限土體主動(dòng)土壓力，并探討了其與朗肯土壓力計(jì)算值的差異。擋土墻墻背作用摩擦力時(shí)側(cè)向土壓力的確定，一直是土力學(xué)的一個(gè)傳統(tǒng)穩(wěn)定問(wèn)題，以上學(xué)者采用極限分析方法研究均假設(shè)臨近建(構(gòu))筑物的剛性擋土墻背豎直光滑，沒(méi)有充分考慮到擋土墻與土之間及建(構(gòu))筑物與土之間的摩擦作用，存在很大不足，這也是本文須重點(diǎn)解決的問(wèn)題。

綜上所述，現(xiàn)有關(guān)于剛性擋土墻有限土壓力研究仍存在不同程度的問(wèn)題和局限性，有必要進(jìn)行進(jìn)一步研究，為此，本文將從剛性擋土墻和支護(hù)結(jié)構(gòu)有限土體的工程特征入手，考慮擋土墻與土之間及建(構(gòu))筑物與土之間的摩擦力、擋土墻背傾角及填土頂面豎向荷載等影響，基于擋土墻的平動(dòng)模式，利用極限分析上限定理，并在土壓力上限求解中引入摩擦能耗計(jì)算，探討有限土壓力分析新方法，以期完善有限土壓力理論。

1 基本假定

根據(jù)剛性擋土墻和支護(hù)結(jié)構(gòu)有限寬度土體的工程特征，為便于采用極限分析上限法計(jì)算，先作如下基本假定[8～14]：

(1)擋土墻后填土材料為理想剛塑性體，由于填土頂面超載作用而不考慮坡頂?shù)膹埨芽p；

(2)擋土墻土壓力問(wèn)題可視為平面應(yīng)變問(wèn)題，達(dá)到主動(dòng)和被動(dòng)極限狀態(tài)時(shí)形成直線滑裂面；

(3)滑動(dòng)區(qū)域內(nèi)土體在達(dá)到塑性極限平衡狀態(tài)時(shí)服從Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則和相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則；

(4)考慮擋土墻墻背面為粗糙面，擋土墻與填土之間及建(構(gòu))筑物與土之間的外摩擦角為δ。

2 有限土體主動(dòng)土壓力計(jì)算

2.1 計(jì)算模型

如圖1所示，設(shè)擋土墻高H，墻背傾角為θ；填土為有限寬度，其寬度為b，其上作用均布超載q；填土表面水平，填土材料為均質(zhì)土體，內(nèi)摩擦角為φ，黏聚力為c；在土體重力作用下滑塊ABED沿ED滑裂面相對(duì)于墻體向下和向外滑動(dòng)，ED面與水平面夾角為β；按照相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，滑動(dòng)速度Va與ED面成φ角[23]。

圖1 粗糙傾斜墻背的主動(dòng)土壓力Fig.1 Reinforcement distribution modes of active earth pressure

在上述幾何計(jì)算模型基礎(chǔ)上，根據(jù)速度相容的閉合三角形幾何關(guān)系，可得到如圖2(a)所示破壞機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)速度關(guān)系，再由矢量分析原理及速度相容性要求可以推導(dǎo)出各速度間斷面上速度[24]。

圖2 主動(dòng)土壓力的極限分析速度場(chǎng)Fig.2 Velocity field of active earth pressure

(1)

(2)

式中：V1——擋土墻水平方向的運(yùn)動(dòng)速度；

V2——墻背面AD速度間斷面上的間斷速度。

2.2 內(nèi)能耗散

(3)

Pan=Pacosδ

(4)

式中：Pan——主動(dòng)土壓力合力對(duì)墻背AD面的垂直分量；

Pa——墻背AD面上反力，即主動(dòng)土壓力合力，與AD面的法線成δ角，并作用在法線下方。

(5)

(6)

L=H-(b-Hctgθ)tanβ

(7)

式中：Pj——主動(dòng)土壓力；

Ka——朗肯主動(dòng)土壓力系數(shù)；

L——BE面高度。

(8)

2.3 外力功率

此研究問(wèn)題的外力包括自重力、超載和主動(dòng)土壓力，各外力功率具體計(jì)算方法如下：

(1)q外力功率Wq：

Wq=qbVasin(β-φ)

(9)

(2)主動(dòng)土壓力Pa所做功率WPa：

(10)

(3)土體滑塊ABED自重力W所做功率WⅠ：

WⅠ=γSABEDVasin(β-φ)

(11)

(12)

式中：SABED——滑塊ABED的面積。

使內(nèi)部能量耗散率與外功率相等，得到：

(13)

(14)

f1=qb+γSABED-Pjtanδ

(15)

(16)

f3=sinδsin(β-φ)+sin(θ-δ)sin(β+θ-φ)

(17)

3 有限土體被動(dòng)土壓力計(jì)算

3.1 計(jì)算模型

如圖3所示，在擋土墻被動(dòng)土壓力作用下滑塊ABED沿ED滑裂面相對(duì)于墻體向上向內(nèi)滑動(dòng)，ED面與水平面夾角為β；同理，滑動(dòng)速度Vp與ED面成φ角。

圖3 粗糙傾斜墻背的被動(dòng)土壓力Fig.3 Reinforcement distribution modes of passive earth pressure

圖4 被動(dòng)土壓力的極限分析速度場(chǎng)Fig.4 Velocity field of passive earth pressure

同樣，根據(jù)速度相容的閉合三角形幾何關(guān)系(圖4)，可以求出各速度間斷面上速度：

(18)

(19)

式中：V3——擋土墻水平方向的運(yùn)動(dòng)速度；

V4——墻背AD面上的間斷速度。

3.2 內(nèi)能耗散

(20)

Ppn=Ppcosδ

(21)

式中：Ppn——被動(dòng)土壓力合力對(duì)墻背面的垂直分量。

Pp——被動(dòng)土壓力合力，與AD面的法線成δ角，并作用在法線的上方。

(22)

(23)

式中：Pk——主動(dòng)土壓力；

K0——靜止土壓力系數(shù)。

(24)

3.3 外力功率

(1)q外力做負(fù)功，其功率Wq：

Wq=-qbVpsin(β+φ)

(25)

(2)被動(dòng)土壓力Pp所做功率WPp：

(26)

(3)土體滑塊ABED自重力做負(fù)功，其功率WⅠ：

WⅠ=-γSABEDVpsin(β+φ)

(27)

使內(nèi)部能量耗散率與外功率相等，得到：

(28)

(29)

f4=qb+γSABED+Pjtanδ

(30)

f5=sin(θ+δ)sin(β+θ+φ)-sinδsin(β+φ)

(31)

4 破裂面與土壓力公式求解

5 算例分析

5.1 算例一(主動(dòng)土壓力)

為驗(yàn)證本文方法的合理性，采用文獻(xiàn)[3]算例進(jìn)行主動(dòng)土壓力計(jì)算，并與朗肯主動(dòng)土壓力進(jìn)行比較。該工程在距兩層地下室外墻b=2 m遠(yuǎn)的地方開(kāi)挖基坑，深度為H=10 m，土層為均質(zhì)黏土層，土層重度γ=19 kN/m3，內(nèi)摩擦角φ=15°，黏聚力c=10 kPa，墻土間外摩擦角為tanδ=0.25，填土面水平，上面作用超載q=20 kPa。

文獻(xiàn)[3]采用極限平衡方法，基于平動(dòng)模式，考慮了擋土墻與土體間粘結(jié)力進(jìn)行計(jì)算，由圖5可知，本文計(jì)算結(jié)果與其計(jì)算結(jié)果較接近，且變化規(guī)律基本相同；隨著深度增大，本文方法及文獻(xiàn)[3]方法計(jì)算有限土體主動(dòng)土壓力合力值較無(wú)限土體朗肯土壓力合力值差值增大，這也說(shuō)明無(wú)限土壓力計(jì)算理論已經(jīng)不適合有限寬度土體；圖6為本文方法計(jì)算不同寬度土體的Pa-H關(guān)系曲線圖，反映出有限土體寬度一定時(shí)隨著計(jì)算深度增加，主動(dòng)土壓力合力增大。

圖5 b=2 m時(shí)的Pa-H關(guān)系曲線Fig.5 Relationship between Pa and H with b=2 m

圖6 不同寬度土體的Pa-H關(guān)系曲線Fig.6 Relationship betwwen Pa and H with different widths

結(jié)合本工程實(shí)例進(jìn)行參數(shù)分析，重點(diǎn)考察有限土體寬度b及擋土墻傾角θ及墻土間外摩擦角δ等參數(shù)對(duì)破裂角β的影響。由圖7可知，隨著有限寬度b增大，極限破裂角β非線性減?。挥蓤D8可知，隨著擋土墻傾角θ增大，極限破裂角β非線性減?。煌瑫r(shí)也可看出墻土間外摩擦角δ在0～φ之間變化對(duì)破裂角影響較小。有限土體主動(dòng)土壓力計(jì)算模型中的破裂角不再是經(jīng)典理論的45°+φ/2，而是一個(gè)不確定值，其值隨著土的力學(xué)參數(shù)、計(jì)算深度、有限土體寬度及擋土墻傾角等變量變化而變化。由圖9可知，隨著計(jì)算寬度b增大，主動(dòng)土壓力合力Pa增大，且逐漸趨于穩(wěn)定值；由圖10可知，隨著擋土墻傾角θ增大，主動(dòng)土壓力合力Pa減??；同時(shí)也可看出，墻土間外摩擦角對(duì)土壓力合力值影響較大。

圖7 β與b的關(guān)系曲線Fig.7 Relationship between β and b

圖8 β與θ的關(guān)系曲線Fig.8 Relationship between β and θ

圖9 Pa與b的關(guān)系曲線Fig.9 Relationship between Pa and b

圖10 Pa與θ的關(guān)系曲線Fig.10 Relationship between Pa and θ

5.2 算例二(被動(dòng)土壓力)

設(shè)有限土體寬度b=2 m，深度為H=8 m，無(wú)黏性砂土層，重度γ=20 kN/m3，內(nèi)摩擦角φ=30°，墻土間外摩擦角為δ=2φ/3，擋土墻背豎直，填土面水平，靜止土壓力系數(shù)K0=0.3。采用本文方法計(jì)算有限土體被動(dòng)土壓力合力并與經(jīng)典朗肯、庫(kù)倫土壓力理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，如圖11所示。由圖11可知，有限寬度土體被動(dòng)土壓力合力隨著深度增大遠(yuǎn)小于庫(kù)倫被動(dòng)土壓力；相比朗肯理論計(jì)算結(jié)果，本文方法在計(jì)算深度較小時(shí)的被動(dòng)土壓力值大于朗肯被動(dòng)土壓力值。圖12為本文方法計(jì)算不同寬度土體的Pp-H關(guān)系曲線圖，從圖12中亦可看出，隨著計(jì)算深度增大時(shí)，有限土體寬度越大則被動(dòng)土壓力越大。

圖11 不同方法計(jì)算的Pp-H關(guān)系曲線Fig.11 Relationship between Pp and H with different methods

圖12 不同寬度土體的Pp-H關(guān)系曲線Fig.12 Relationship between Pp and H with different widths

6 結(jié)論

(1)本文從臨近建(構(gòu))筑物有限寬度土體的工程特性出發(fā)，考慮擋土墻與土之間及建(構(gòu))筑物與土之間的摩擦作用，擋土墻背傾角及填土頂面豎向荷載等的影響，引入上限定理，計(jì)算粗糙擋土墻及建(構(gòu))筑物與土界面間的摩擦能耗，從而建立了有限寬度土體主動(dòng)土壓力和被動(dòng)土壓力分析模型。

(2)主動(dòng)極限狀態(tài)下破裂角是一個(gè)不確定角，其隨著計(jì)算深度增大而非線性增大，隨有限土體寬度和擋土墻背傾角增大而非線性減??；主動(dòng)土壓力合力小于朗肯主動(dòng)土壓力，隨墻土間外摩擦角、擋土墻背傾角及有限土體寬度增大而增大；被動(dòng)土壓力合力隨著計(jì)算深度不斷增大而遠(yuǎn)小于庫(kù)倫被動(dòng)土壓力合力值。

(3)墻土間外摩擦角對(duì)破裂角影響較小，而對(duì)土壓力合力影響較大。