雙排行星齒輪系統(tǒng)的齒輪優(yōu)化修形?

張容川，周云山，胡嘵嵐，程建飛，傅 兵，張飛鐵

(湖南大學(xué)，汽車(chē)車(chē)身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410082)

前言

不可再生資源的不斷消耗和全球溫室效應(yīng)日益突出等環(huán)保問(wèn)題正向我國(guó)汽車(chē)工業(yè)提出了更加嚴(yán)格的要求，而金屬帶式無(wú)級(jí)變速器以其經(jīng)濟(jì)性、舒適性、操作可靠性和傳動(dòng)平穩(wěn)性與高效率等優(yōu)點(diǎn)正逐漸受到整車(chē)廠商的青睞。CVT因自身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和設(shè)計(jì)要求等，也會(huì)存在齒輪機(jī)構(gòu)，特別是本文的研究對(duì)象某款金屬帶式CVT以行星齒輪機(jī)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)前進(jìn)擋和倒擋的切換。

由于存在齒側(cè)間隙，行星齒輪系中每一對(duì)齒輪副都可能存在3種嚙合狀態(tài)：正常嚙合、齒背嚙合和空嚙合。因此行星齒輪系為一強(qiáng)非線性系統(tǒng)，齒側(cè)間隙會(huì)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能產(chǎn)生嚴(yán)重影響，引起齒輪的強(qiáng)烈振動(dòng)并產(chǎn)生噪聲。目前，齒輪的齒廓修形技術(shù)能有效改善齒輪的動(dòng)態(tài)性能，削弱齒輪嘯叫噪聲。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于行星齒輪系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)分析和齒輪修形均有不同程度的研究。Kaharaman教授建立了行星齒輪系的純扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型[1-2]；Velex教授研究了考慮齒形誤差和嚙合誤差的齒輪動(dòng)態(tài)響應(yīng)[3]；孫濤考慮了齒輪嚙合間隙和時(shí)變嚙合剛度建立了2K-H型行星齒輪系統(tǒng)的彎扭耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型[10]；唐增寶在齒輪動(dòng)態(tài)分析模型的基礎(chǔ)上建立了齒輪動(dòng)態(tài)性能的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，優(yōu)化了齒輪的齒廓修形量和修形長(zhǎng)度[11]；以上研究只是針對(duì)行星齒輪系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性或?qū)螌?duì)齒輪嚙合進(jìn)行齒輪修形優(yōu)化。

本文中研究對(duì)象為雙排行星輪系統(tǒng)，因?yàn)橹豢紤]了扭振，所以較單排行星輪系多3個(gè)自由度，內(nèi)部激勵(lì)更加復(fù)雜。本文中主要針對(duì)該行星齒輪系進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，并將其動(dòng)態(tài)性能作為優(yōu)化指標(biāo)，確定行星輪的齒廓修形參數(shù)，以降低變速器的齒輪嘯叫噪聲。

1 噪聲源的識(shí)別

本文中CVT依靠行星齒輪系進(jìn)行前進(jìn)擋與倒擋的切換，利用金屬帶實(shí)現(xiàn)動(dòng)力的傳輸和速比的變化。動(dòng)力從輸入軸經(jīng)過(guò)行星齒輪系，通過(guò)金屬帶由主動(dòng)帶輪軸傳輸至被動(dòng)帶輪軸，再經(jīng)過(guò)中間軸傳遞至差速器輸出。其內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 CVT內(nèi)部結(jié)構(gòu)

倒擋時(shí)，行星齒輪系內(nèi)齒圈固定，動(dòng)力從輸入軸經(jīng)由太陽(yáng)輪傳遞至行星輪，由行星架輸出。根據(jù)文獻(xiàn)[11]關(guān)于行星齒輪系的計(jì)算可知，行星輪內(nèi)外嚙合頻率相等且與輸入軸轉(zhuǎn)速關(guān)系為

式中：ω為行星輪內(nèi)外嚙合頻率；ωs為輸入軸轉(zhuǎn)速；zs為太陽(yáng)輪齒數(shù)；zr為齒圈齒數(shù)。由式(1)可推算出行星輪階次為

式中：Op為行星輪階次；Os為太陽(yáng)輪階次；Oshaft為輸入軸階次。

該CVT內(nèi)各齒輪參數(shù)如表1所示。

表1 CVT各齒輪參數(shù)

將表1中各參數(shù)帶入公式可計(jì)算得出該CVT中各軸及軸上齒輪的階次，如表2所示。

表2 各齒輪及輪軸階次

對(duì)CVT倒擋進(jìn)行噪聲測(cè)試實(shí)驗(yàn)，在駕駛員右耳處安裝聲級(jí)計(jì)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。

由圖2可見(jiàn)，在54階處噪聲明顯突出，而且在其后還有1條階次曲線，該階次為109階，為54階次的2倍頻。根據(jù)上述階次分析可知，此階次與該CVT中行星齒輪系統(tǒng)內(nèi)行星輪的嚙合階次相吻合，因此可判斷該CVT倒擋噪聲源為其內(nèi)部的行星齒輪嚙合。

2 雙排行星輪系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)建模

2.1 行星輪的純扭轉(zhuǎn)模型

圖2 駕駛員右耳處噪聲

Kahraman研究發(fā)現(xiàn)，在構(gòu)建的支撐剛度與嚙合剛度之比大于10時(shí)，純扭轉(zhuǎn)模型與彎扭耦合振動(dòng)模型在動(dòng)力學(xué)響應(yīng)上可以等價(jià)[2]，因此可以不考慮各部件的軸向振動(dòng)。另外，由階次分析可知，該CVT倒擋時(shí)主要噪聲源來(lái)自行星輪的嚙合，所以本文中研究的重點(diǎn)在于行星輪的扭振運(yùn)動(dòng)，在本小節(jié)將只對(duì)該行星輪系建立純扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型。

行星輪系的扭振模型如圖3所示。圖中，S為太陽(yáng)輪，PIi為內(nèi)排第i個(gè)行星輪，Poi為第i個(gè)外排行星輪，R為齒圈，C為行星輪架。各齒輪均為圓柱斜齒輪。

圖3 雙排行星輪系統(tǒng)純扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型

2.2 時(shí)變嚙合剛度

由文獻(xiàn)[12]可知，盡管斜齒輪嚙合剛度隨時(shí)間的變化比直齒輪更加平穩(wěn)，但仍然具有周期性，在某均值附近做微小波動(dòng)。同時(shí)由文獻(xiàn)[16]可知，將此波動(dòng)近似為矩形波動(dòng)，則該行星輪系內(nèi)、外行星輪分別與太陽(yáng)輪和齒圈嚙合的內(nèi)、外嚙合剛度及其之間相互嚙合的嚙合剛度變化規(guī)律均可表示為矩形波，如圖4所示。

將其分別展開(kāi)為以嚙合頻率ω為基頻的傅里葉級(jí)數(shù)，取1次諧波：

圖4 雙排行星輪系嚙合剛度變化規(guī)律

式中：kmsi為第i路外嚙合剛度；kmri為第 i路內(nèi)嚙合剛度；kmpi為第i路行星輪間嚙合剛度。

2.3 綜合嚙合誤差

行星齒輪系內(nèi)齒輪副的綜合誤差來(lái)源有齒輪副的齒形誤差、齒輪副的基節(jié)誤差和齒廓的修形量。齒形誤差為

式中：A為齒形誤差幅值；ω為嚙合頻率；β為齒輪誤差相位角。

本文中采用齒廓修形，對(duì)太陽(yáng)輪進(jìn)行齒頂修緣，如圖5所示。

圖5 齒頂修形示意圖

以嚙合線上修形起始點(diǎn)為原點(diǎn)，則對(duì)于嚙合線上任意點(diǎn)xk，對(duì)應(yīng)在齒廓方向上為距離x，則對(duì)應(yīng)的修形量為

式中：ek0為齒頂最大修形量；l為齒廓方向的修形長(zhǎng)度，其對(duì)應(yīng)在嚙合線方向的度量為lk；n為修形曲線的指數(shù)。結(jié)合式(10)和式(11)可列出該行星輪系各對(duì)齒輪副的綜合嚙合誤差：

2.4 動(dòng)態(tài)嚙合力

在行星齒輪系傳動(dòng)過(guò)程中，各對(duì)齒輪副存在3種嚙合狀態(tài)：正常嚙合、空嚙合和齒背嚙合[13]，因此，引入具有齒側(cè)間隙時(shí)齒輪副嚙合力對(duì)應(yīng)的非線性函數(shù)，如圖6所示，其表達(dá)式為

式中：x為嚙合點(diǎn)相對(duì)位移；b為齒側(cè)間隙。

對(duì)于行星輪系內(nèi)各對(duì)齒輪副，其嚙合點(diǎn)相對(duì)位移分別為 xrpi，xspi和 xppi：

圖6 齒側(cè)間隙非線性函數(shù)

式中：xc為行星架 rcθc在嚙合線上的投影，即 xc＝rcθccosα；xs，xpo和 xpi分別為太陽(yáng)輪、外行星輪和內(nèi)行星輪在嚙合線上的線位移。由此，可得到該行星輪系第i路各齒輪副上的動(dòng)態(tài)嚙合力為

各齒輪副第i路嚙合阻尼力為

式中：cspi，crpi和 cppi分別為外嚙合、內(nèi)嚙合和雙排行星輪間嚙合阻尼系數(shù)；ζs，ζr和 ζp分別為外內(nèi)嚙合以及行星輪之間相互嚙合的相對(duì)阻尼比；ms為太陽(yáng)輪質(zhì)量；mpIi為內(nèi)排行星輪質(zhì)量；mpoi為外排行星輪質(zhì)量；mr為齒圈質(zhì)量。

2.5 振動(dòng)微分方程

將輸入轉(zhuǎn)矩作用下各個(gè)齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)方向規(guī)定為正方向，得到該行星輪系的非線性動(dòng)力學(xué)方程如下：

式中：i＝1.2，…，N；Js為太陽(yáng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；JpIi為內(nèi)排行星輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Jpoi為外排行星輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Jc為行星架轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；rcIi為內(nèi)排行星輪中心到太陽(yáng)輪中心距離；rcoi為外排行星輪中心到太陽(yáng)輪中心距離；rbp為行星輪基圓半徑；rs為太陽(yáng)輪基圓半徑。

由于考慮了齒側(cè)間隙，式(28)～式(31)所列方程為強(qiáng)非線性方程，無(wú)法利用疊加原理進(jìn)行求解。對(duì)于齒輪間隙的非線性方程，由文獻(xiàn)[13]可知，數(shù)值解法是可行的方法。將行星輪系內(nèi)各齒輪參數(shù)帶入方程，運(yùn)用4階龍格庫(kù)塔法對(duì)方程進(jìn)行求解，得到太陽(yáng)輪嚙合線上位移響應(yīng)，如圖7所示。

圖7 太陽(yáng)輪在嚙合線上位移響應(yīng)

需要注意的是，圖中橫縱坐標(biāo)均為無(wú)量綱化后的時(shí)間軸和位移軸，其值并不是實(shí)際的時(shí)間和位移量，但可以反映該行星輪系的扭振規(guī)律。

3 基于遺傳算法的齒輪修形量?jī)?yōu)化

3.1 優(yōu)化目標(biāo)和設(shè)計(jì)變量

本文中研究目的在于降低行星齒輪系的齒輪振動(dòng)和噪聲，根據(jù)文獻(xiàn)[14]可知，齒輪扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的加速度均方根值與齒輪噪聲成線性關(guān)系，再聯(lián)系2.5節(jié)所述，將其作為優(yōu)化目標(biāo)。

本文中主要采取齒廓修形來(lái)進(jìn)行降噪，因此將齒頂修形量ek和修形長(zhǎng)度l作為設(shè)計(jì)變量。

3.2 遺傳算法與問(wèn)題分析

遺傳算法是一種人工智能算法，它是在計(jì)算機(jī)上模擬生物進(jìn)化過(guò)程的一種搜索尋優(yōu)算法。其基本思路是：將函數(shù)的搜索空間作為一個(gè)映射的遺傳空間，將此空間內(nèi)的可行解看作由向量染色體組成的集合，對(duì)集合內(nèi)每個(gè)個(gè)體通過(guò)構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)進(jìn)行篩選，再通過(guò)交叉、變異等操作生成新的個(gè)體，再繼續(xù)通過(guò)適應(yīng)度函數(shù)優(yōu)勝劣汰，如此不斷循環(huán)直到滿足終止條件。

與傳統(tǒng)優(yōu)化算法相比，遺傳算法具有以下優(yōu)點(diǎn)：對(duì)目標(biāo)函數(shù)僅要求有定義，而不需要導(dǎo)數(shù)等信息；遺傳算法為全局搜索，降低了收斂于局部最優(yōu)解的可能性；具有隱含并行處理性等。

由3.1節(jié)所述和2.5節(jié)中振動(dòng)微分方程可知，目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計(jì)變量間為隱式關(guān)系，且2.5節(jié)中扭振方程因考慮了齒側(cè)間隙，為強(qiáng)非線性方程，幾乎不可能得到精確的解析解，大多數(shù)研究者都采用數(shù)值法進(jìn)行求解。傳統(tǒng)的優(yōu)化算法需要精確的目標(biāo)函數(shù)，因此不適合本文中所研究的問(wèn)題，而遺傳算法對(duì)目標(biāo)函數(shù)的要求不高，只須構(gòu)造相應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)，計(jì)算每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度即可，因此本文中將采用遺傳算法對(duì)齒輪的修形量進(jìn)行優(yōu)化。

3.3 構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)

齒輪扭振加速度的均方根值與齒輪噪聲成線性關(guān)系，且大于零，符合同時(shí)適應(yīng)度函數(shù)必須大于零的要求，因此直接將太陽(yáng)輪與內(nèi)行星輪嚙合線上相對(duì)位移作為適應(yīng)度函數(shù)：

3.4 約束條件

約束條件為

式中：Emin和Emax分別為齒頂最小、最大修形量；Lmin和Lmax分別為最小、最大修形長(zhǎng)度。

3.5 優(yōu)化結(jié)果

利用MATLAB里的遺傳算法工具箱對(duì)齒輪修形參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，其參數(shù)設(shè)置如圖8所示。

圖8 MATLAB遺傳工具箱設(shè)置

經(jīng)過(guò)63次迭代后，得到最佳的齒廓修形參數(shù)齒頂最大修形量ek0＝0.007mm，齒廓方向的修形長(zhǎng)度l＝0.3794mm。將優(yōu)化后的修形參數(shù)代入式(28)～式(31)，同樣地，仍然利用4階龍格庫(kù)塔法進(jìn)行數(shù)值求解，可得太陽(yáng)輪與內(nèi)行星輪嚙合線上振動(dòng)加速度隨時(shí)間的變化曲線，如圖9所示，可看出修形后其扭振強(qiáng)度削弱了。

圖9 修形前后太陽(yáng)輪振動(dòng)加速度

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證齒廓修形的正確性，按照3.5節(jié)優(yōu)化結(jié)果的修形參數(shù)對(duì)齒輪進(jìn)行修形，并安裝在CVT中，對(duì)該CVT進(jìn)行實(shí)車(chē)實(shí)驗(yàn)，測(cè)量搭載該CVT后駕駛室內(nèi)的噪聲值，如圖10所示。

圖10 測(cè)試實(shí)驗(yàn)

在該CVT的懸置安裝位置上的被動(dòng)點(diǎn)和主動(dòng)點(diǎn)分別裝一個(gè)加速度傳感器測(cè)量其振動(dòng)，如圖11所示。

將實(shí)驗(yàn)所得的原始時(shí)間信號(hào)在Test.Lab里進(jìn)行FFT變換，并追蹤輸入軸轉(zhuǎn)速得到噪聲值的瀑布圖，如圖12所示。

由圖可見(jiàn)，54階階次噪聲幅值降低。為對(duì)比修形前后效果，取54階的切片圖得到該階次曲線，與修形前該階次進(jìn)行對(duì)比，如圖13所示。

圖11 加速度傳感器安裝位置

圖12 修形后噪聲瀑布圖

圖13 修形前后噪聲OA值和54階次切片

從圖13中可以看出，在54階次的階次噪聲比修形前有一定的削弱，且總聲壓級(jí)也減小了1dB左右，說(shuō)明對(duì)齒輪修形量的優(yōu)化起了作用。

5 結(jié)論

(1)通過(guò)實(shí)驗(yàn)與階次計(jì)算推斷出該CVT倒擋的嘯叫噪聲來(lái)自其內(nèi)部雙排行星輪機(jī)構(gòu)內(nèi)齒輪嚙合。

(2)考慮齒側(cè)間隙，對(duì)該雙排行星輪系建立了純扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的非線性數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用龍格庫(kù)塔法進(jìn)行數(shù)值求解。

(3)運(yùn)用遺傳算法對(duì)齒輪的齒廓修形參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，并將按該參數(shù)進(jìn)行齒輪修形的CVT進(jìn)行實(shí)車(chē)測(cè)試，發(fā)現(xiàn)該CVT的倒擋階次噪聲降低了約3～4dB(A)。

本文中所建立的模型為純扭轉(zhuǎn)模型，忽略了該行星輪系的橫向振動(dòng)，同時(shí)，本文中假設(shè)時(shí)變嚙合剛度為周期矩形波，在實(shí)際情況中斜齒輪嚙合的時(shí)變嚙合剛度會(huì)更加復(fù)雜，對(duì)斜齒輪的時(shí)變嚙合剛度進(jìn)行更加精細(xì)的建模和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證將是今后的研究方向。