求解非齊次線性方程組中克拉默法則的運(yùn)用

呂曉蝶

摘 要：非齊次線性方程組是線性代數(shù)中一個(gè)最基本的概念，它是高等代數(shù)的基礎(chǔ)。而非齊次線性方程組的求解又是線性代數(shù)的基本內(nèi)容和理論基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)研究的中心問題之一。本文介紹了非齊次線性方程組中克拉默法則的運(yùn)用，并通過例題解析如何利用克拉默法則求解非齊次線性方程組。

關(guān)鍵詞：非齊次線性方程組；矩陣；克拉默法則

對(duì)于方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等的線性方程組，我們稱它的系數(shù)矩陣的行列式是該線性方程組的系數(shù)行列式。方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等且系數(shù)行列式不為零的線性方程組一定有解，且只有一個(gè)解，此解可用該方程組的常數(shù)項(xiàng)和系數(shù)組成的行列式表示出來，這就是下面定理的克拉默法則[1]

定理1 可設(shè)矩陣A=（aij）n×n，且|A|≠0，則線性方程組

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2……………………am1x1+am2x2+…+amnxn=bm

有唯一解：x1=■，x2=■，…，xn=■，

其中dj（j=1，2，…n）是把|A|中第j列換成方程組的常數(shù)項(xiàng)其余列不變的n階行列式，即

a11 … a1，j-1 b1 a1，j+1 … a1na21 … a2，j-2 b2 a2，j+2 … a2n┇ ┇ ┇ ┇ ┇an1 … an，j-1 bn an，j+1 … ann

例1[2]解方程組

x1+x2+x3+x4=1x1+2x2+3x3+4x4=5x1+4x2+9x3+16x4=25x1+8x2+27x3+64x4=125

解：因?yàn)檫@個(gè)線性方程組的系數(shù)行列式是

1 1 1 12 2 3 41 4 9 61 8 27 64

是一個(gè)4階范德蒙行列式，所以

|A|=（2-1）（3-1）（4-1）（3-2）（4-2）（4-3）=12≠0，

從而可以應(yīng)用克拉默法則求解該非齊次線性方程組，又由

d1=1 1 1 15 2 3 425 4 9 16125 8 27 64=-12

同理可得，d2=48，d3=-72，d4=48。即方程組的唯一解為

x1=-1，x2=4，x3=-6，x4=4

例2 討論當(dāng)？姿為何值時(shí)，下面的非齊次線性方程組有唯一解，并求出該唯一解。

？姿x1+x2+x3=1x1+？姿x2+x3=？姿1x1+x2+？姿x3=？姿2

解：因?yàn)镈=？姿 1 11 ？姿 11 1 ？姿=（？姿-2）2（？姿+2）

所以當(dāng)D≠0，即？姿≠1且？姿≠-2時(shí)，方程組有唯一解。

又D1=1 1 1？姿 ？姿 1？姿2 1 ？姿=-（？姿-1）2（？姿+1）

D2=？姿 1 11 ？姿 11 ？姿2 ？姿=（？姿-1）2，

D1=？姿 1 11 ？姿 ？姿1 1 ？姿2=（？姿-1）2（？姿+1）2，

因此該方程的解為

x1=■=-■，x1=■=■，x1=■=■

注意：應(yīng)用克拉默法則求解非齊次線性方程組必須具有方程的個(gè)數(shù)和變量的個(gè)數(shù)一樣多與系數(shù)行列式不為這兩個(gè)條件。

參考文獻(xiàn)：

[1]涂道新，張光裕.線性代數(shù).高等教育出版社，2008.

[2]何亞麗.線性代數(shù)?？茖W(xué)出版社，2011.