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    高中多元化的函數(shù)解題思路方法初探

    2018-10-11 02:18:58
    關(guān)鍵詞:結(jié)合法交點思路

    (湖南省南縣第一中學(xué)高二 湖南南縣 413200)

    引言

    函數(shù)是函數(shù)關(guān)系式的概括性表達。筆者翻閱了相關(guān)資料,了解到我國是進行函數(shù)研究較早的國家之一。筆者在高中階段的學(xué)習(xí)里不止一次地發(fā)現(xiàn),很多同學(xué)面對函數(shù)學(xué)習(xí)、解題存在困擾,無法透析核心知識,也抓不住解題的思路和方法。與老師溝通后,筆者總結(jié)了當(dāng)前高中函數(shù)解題的若干問題和思路方法,以期為后續(xù)高中生函數(shù)解題提供參考。

    一、當(dāng)前高中函數(shù)解題的問題

    1.題目較為抽象

    高中函數(shù)相關(guān)題目的典型特征是內(nèi)容十分抽象。由于函數(shù)題目重視考察原理,而這些原理在現(xiàn)實生活中往往鮮有涉及。如一次函數(shù),從定義上看,X、Y需要滿足很多約束條件才能稱為一次函數(shù)。但現(xiàn)實生活中,很多與數(shù)學(xué)函數(shù)相關(guān)的知識都不是絕對理想化的,即便簡單的拋物線曲線變化也受到風(fēng)力、空氣阻力的影響。面臨函數(shù)題目時,學(xué)生很難通過常規(guī)的聯(lián)想尋找到解題思路。抽象性是當(dāng)前高中函數(shù)解題的主要困擾[1],筆者在接觸函數(shù)類題目之初也曾面臨類似的困惑。

    2.解題思路不開闊

    高中學(xué)生的學(xué)習(xí)依然帶有中小學(xué)階段的若干特征,即強調(diào)對知識原理的理解,運用上重視程度不足。在函數(shù)學(xué)習(xí)的過程中筆者了解到,函數(shù)帶有多變性特點,這種特點的基礎(chǔ)來源于函數(shù)知識本身的復(fù)雜性。高中生在函數(shù)學(xué)習(xí)的過程中,如果只掌握一類知識,很可能受到結(jié)構(gòu)化解題思路的影響,一旦題目出現(xiàn)變化,難以有效理解,解答上也會受到影響。比如我們很多同學(xué)在學(xué)基本初等函數(shù)的時候,也許還比較容易理解,但是一旦以基本函數(shù)構(gòu)造復(fù)合函數(shù),難度一下拔高。邏輯能力稍弱且又沒有掌握正確方法的同學(xué),遇到相關(guān)復(fù)合函數(shù)的題型,經(jīng)常有無從下手之感[2]。

    3.題目知識點過多

    知識點過多也是當(dāng)前高中函數(shù)學(xué)習(xí)的主要挑戰(zhàn)之一。在學(xué)習(xí)和解題時筆者經(jīng)常發(fā)現(xiàn),函數(shù)往往以復(fù)合的形式存在。單調(diào)函數(shù)、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)多見于同一個題目中,知識內(nèi)容過于豐富。面臨這類題目,筆者以及同學(xué)們普遍感覺思路混亂,需要抽絲剝繭,層層遞推,進行反復(fù)思考后才能找到解題的突破點。此外,有部分函數(shù)知識以應(yīng)用類題目的形式出現(xiàn),融合了高中數(shù)學(xué)的其他板塊內(nèi)容,這也給解題帶來了難度。

    二、多元化的函數(shù)解題思路方法

    1.圖形結(jié)合法

    圖形結(jié)合法是筆者常用的一種函數(shù)解題方法。該方法的基本特色是以圖像表達題目已知條件的核心信息,將這些信息進行提煉后給予集中表達,可以幫助高中生更好的獲取解題思路。

    如:已知函數(shù)f(x)=logax+x-b,其中a>0且a≠1,試求2<a<3,3<b<4,x0為函數(shù)零點且 n<x0<n+1,n∈N* 時,n 的大小。

    該題目的信息給足了,可以根據(jù)已知條件建立一個坐標系,構(gòu)畫函數(shù)圖像,根據(jù)函數(shù)圖像獲取一個基本的解題方向。函數(shù)圖像如圖1所示。首先假設(shè)函數(shù)y=logax,z=-x+b,已經(jīng)條件中給明2<a<3,3<b<4,即是說,在y=logax且x的值為2時,y函數(shù)定義域內(nèi)必然至少有一個值是小于1的。在函數(shù)圖像中也可以發(fā)現(xiàn)這一部分,且其交叉點在(2,3)之間。據(jù)此可以得出結(jié)果,當(dāng)x0為函數(shù)零點,同時滿足 n<x0<n+1,n∈N* 時,n的值為2。

    圖1 函數(shù)的圖像

    2.了解題目主要考察內(nèi)容

    了解題目考察的主要內(nèi)容是進一步實現(xiàn)解題的關(guān)鍵。筆者在高中函數(shù)學(xué)習(xí)的過程中,謹記老師關(guān)于解題的教導(dǎo),即“了解出題人的意圖”。解題之前,先分析題目要考察的核心知識,以此作為解題的基本思路。

    如:已知函數(shù)y=2x2-mx-m2,求證對于任意實數(shù)m,該函數(shù)與x軸總有交點;另求證若該函數(shù)圖像與x軸有兩個公共點A,B,且點A的坐標為(1,0),求點B的坐標。

    這個題目考察的重點為二次函數(shù)及其定義域。解題時,可以直接抓住二次函數(shù)的特點。第一問,令y=0, △>=0,m總有解,因此該函數(shù)與x軸總有交點。第二問,已知A的坐標為(1,0),則x=1,滿足方程2x2-mx-m2=0,得:m=-2或1,分別代入2x2-mx-m2=0。當(dāng)m=-2時,得x=1和 -2,另一交點為B(-2,0);當(dāng)m=1時,解得:x=1和-1/2,另一交點為B(-1/2,0),完成解題。

    3.尋找創(chuàng)新思路

    思路的創(chuàng)新也是高中函數(shù)解題的重要方式之一。筆者認為,數(shù)學(xué)的抽象性注定了函數(shù)解題的復(fù)雜性。而嘗試解析不同問題,應(yīng)明確一個基本原則“萬變不離其宗”。對函數(shù)知識進行充分學(xué)習(xí),掌握其基本原理,再以原理為導(dǎo)向,進行復(fù)雜函數(shù)的探索,尋找更多的切入點和思路。

    如:已知函數(shù)y=x2-4x+1。設(shè)函數(shù)與x軸的交點為A(x1,0),B(x2,0),求x12+x22的值。

    該題目考察的核心問題是一次函數(shù)的定義域??梢酝ㄟ^一次函數(shù)相關(guān)知識直接設(shè)法解題,也可以通過其他思路尋找解題辦法,比如運用韋達定理。在韋達定理下,x1+x2=4, x1*x2=1,x12+x22的值可以用計算式(x1+x2)2-2x1*x2表達。在該計算式下,又可以獲取計算等式:x12+x22=(x1+x2)2-2x1*x2,計算得到x12+x22=16-2*1=14,完成題目的解答。

    此外,部分題目考察的知識點較多,還可以采用分步解析法,將知識拆分成若干部分,分別思考解題方法,再進行總結(jié),避免雜糅的知識點影響解題思路。

    結(jié)語

    在高中學(xué)習(xí)、解題過程中,筆者以及筆者的同學(xué)們都曾受到函數(shù)解題的困擾。通過分析高中多元化的函數(shù)解題思路方法,學(xué)習(xí)了解相關(guān)知識,對函數(shù)解題的問題進行總結(jié),可以發(fā)現(xiàn)三個主要問題,即題目較為抽象、學(xué)生解題思路不開闊、題目知識點過多。多元化視角下,可以采用圖形結(jié)合法、了解題目主要考察內(nèi)容、尋找創(chuàng)新思路、進行分步解析等,提升函數(shù)解題的效率和學(xué)習(xí)的總體水平。

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