三等份線段的尺規(guī)作圖

（河南省南召縣第二職業(yè)高級(jí)中學(xué) 河南南召 474671）

研究成果報(bào)告：

1.在尺規(guī)作圖中，有三個(gè)尺規(guī)不能的問(wèn)題——三等份線段、三等份圓弧、三等份角。在學(xué)習(xí)的初期，對(duì)此結(jié)論深信不疑。但在隨后的教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論存在疑問(wèn)。在學(xué)習(xí)了平行線分線段成比例和對(duì)應(yīng)線段成比例兩直線平行后，發(fā)現(xiàn)可以從尋找線段的三分之一長(zhǎng)來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，這種方法是三等份線段尺規(guī)作圖的一般作法。

2.在學(xué)習(xí)了三角形的重心的性質(zhì)后，發(fā)現(xiàn)三等份線段尺規(guī)作圖的簡(jiǎn)潔作法，這種方法是三等份線段尺規(guī)作圖的特殊作法。

3.三等份線段尺規(guī)作圖的一般作法可以推廣到任意等份線段的尺規(guī)作圖。

4.此項(xiàng)研究的意義在于對(duì)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)的質(zhì)疑，推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展。

研究成果內(nèi)容：

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)尺規(guī)作圖平分線段、平分已知角、直線的垂線進(jìn)行了詳細(xì)的解析，并提出尺規(guī)作圖不能三等份線段的觀點(diǎn)，多年來(lái)一直對(duì)此表示懷疑。在對(duì)平行線分線段成比例和對(duì)應(yīng)線段成比例兩直線平行研究后，思考能否采用尋找線段的三分之一的方法解決等份問(wèn)題。

研究一：已知線段AB，求作線段AB的三等份點(diǎn)，﹙輔助線與線段成銳角﹚圖示1

①以線段AB 的端點(diǎn)A為頂點(diǎn)作射線AC；②在射線AC上依次截取AA1=A1A2=A2N;③以N為圓心，AN為半徑作圓交線段AB所在的直線于M點(diǎn)；④在線段MN上分別截取MC1=C1C2=C2N=AA1;⑤連結(jié)A2C2、NB，兩線段所在的直線交于P點(diǎn)；⑥以A2P的長(zhǎng)為半徑，分別以A、B為圓心作圓，交線段AB于D、E兩點(diǎn)；⑦點(diǎn)D、E就是線段AB的三等份點(diǎn)。

圖示1

圖示2

圖示3

研究二：已知線段AB，求作線段AB的三等份點(diǎn)，﹙輔助線與線段成直角﹚圖示2

① 作線段AB的垂線AC;② 在射線AC上依次截取AA1=A1A2=A2N;③過(guò)A1、A2依次作射線AC的垂線A1M、A2P;④連結(jié)NB，分別交直線A1M、A2P于C1、C2點(diǎn)；⑤以A2C2為半徑，分別以A、B為圓心作圓，交線段AB于D、E兩點(diǎn)；⑥點(diǎn)D、E就是線段AB的三等份點(diǎn)。

研究三：已知線段AB，求作線段AB的三等份點(diǎn)﹙輔助線與線段成鈍角﹚圖示3

①以線段AB 的端點(diǎn)A 為端點(diǎn)作射線AN；②作射線AN 上依次截取AA1=A1A2=A2N;③以N 為圓心AN 的長(zhǎng)為半徑作圓交線段AB的反向延長(zhǎng)線于M 點(diǎn)；④分別以M、N為圓心AA1的長(zhǎng)為半徑作圓交線段MN于C1、C2點(diǎn)，連結(jié)A2C2、NB，設(shè)兩直線交于P點(diǎn)；⑤分別以A、B 為圓心A2P的長(zhǎng)為半徑作圓交線段AB于D、E兩點(diǎn)；⑥點(diǎn)D、E就是線段AB 的三等份點(diǎn)。

通過(guò)上述的研究表明，只要所作的射線和已知直線不在同一條直線上，都可以對(duì)線段進(jìn)行三等份，這種方法可推廣求已知線段的任意等份點(diǎn)。

研究四：已知線段AB，求作線段AB的三等份點(diǎn)，圖示4

①過(guò)A點(diǎn)任意作一條直線l，（和直線AB不重合）；②在直線l上截取AP=AQ;③連結(jié)BQ、BP;④作線段BP 的中點(diǎn)M;⑤連結(jié)QM交線段AB于點(diǎn)D；⑥以B為圓心，AD的長(zhǎng)為半徑作圓交線段AB于點(diǎn)E；⑦D、E就是線段AB的三等份點(diǎn)。

圖示4

這種作法是利用三角形的重心的特殊性質(zhì)對(duì)已知線段進(jìn)行三等份點(diǎn)。