排列組合在古典概型中的應(yīng)用

江蘇省淮安市楚州中學(xué) 王 蓓

排列組合與古典概型是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，是各類測試及高考的必考內(nèi)容，難度或大或小，占有較高分值。部分學(xué)生對基礎(chǔ)知識掌握不牢固，或?qū)︻}目創(chuàng)設(shè)的情景理解不深入，面對題目要么束手無策，要么計算錯誤，白白失分，因此，在教學(xué)實踐中，教師應(yīng)立足具體題目加強訓(xùn)練，幫助學(xué)生掌握解答排列組合與古典概型相關(guān)題目技巧。

一、在選擇題中的應(yīng)用

選擇題是古典概型常見題目類型，通常融入排列組合知識，對學(xué)生分析問題的能力要求較高，尤其部分題目會創(chuàng)設(shè)一種新的情景，學(xué)生感覺較為陌生，不知道如何分析與計算，錯選其他選項，因此，教學(xué)實踐中，教師應(yīng)多講解一些具有代表性的、新穎的題目，引導(dǎo)學(xué)生進行分析解答，逐漸提升學(xué)生應(yīng)用排列組合知識解答古典概型題目的能力。

例1 如某個n位十進制數(shù)a1a2a3…an，各位上的數(shù)字符合“小大小大……小大”的規(guī)律，即a1＜a2＞a3＜a4＞a5＜a6……，則該數(shù)為“波浪數(shù)”，從1，2，3，4，5組成的不重復(fù)的五位數(shù)adcde中，任意選取一個數(shù)，則這個數(shù)為波浪數(shù)的概率是（ ）

分析：該題目提出的“波浪數(shù)”學(xué)生比 較陌生，要想正確解答該題目，學(xué)生應(yīng)認真分析“波浪數(shù)”的定義，充分理解波浪數(shù)。分析波浪數(shù)的形式可知，b、d兩個數(shù)較大，如設(shè)b=5，則d≥3，如d=4，則a、c、e為1、2、3的任意排列均符合題意，即 。如d=3，則c、e為任意排列，此時a=4，共有 種。同理，如設(shè)b=4，根據(jù)波浪數(shù)的對稱性可知，會產(chǎn)生+個波浪數(shù)，因此，任意選取一個數(shù)為波浪數(shù)的概率正確答案為A。

點評：在講解該題目時，部分學(xué)生對題干理解不深入，不知道如何解答。部分學(xué)生考慮不全面，而錯選了C，因此，應(yīng)用排列組合解答古典概型相關(guān)題目時，應(yīng)明確分類標準，考慮所有可能出現(xiàn)的情況。

二、在填空題中的應(yīng)用

應(yīng)用排列組合解答古典概型題目時，如為選擇題可能在不會計算時猜對結(jié)果，那么填空題則不會那么幸運，只能靠認真計算得出正確結(jié)果，相對來說難度進一步提升，因此，教師應(yīng)通過分析一些典型試題，使學(xué)生掌握解答填空題的思路與技巧。

例2 已知數(shù)列{an}滿足關(guān)系式an=an-1+n-1（n≥2，n∈N）。一顆正方體骰子質(zhì)地均勻，六個面分別標注為1，2，3，4，5，6。連續(xù)投三次，得到點數(shù)記作a，b，c，則滿足{a，b，c}={a1，a2，a3}（1≤ai≤6）的概率是______。

分析：該題目難度較大，融合了數(shù)列、排列組合、概率知識，綜合性較強，不少學(xué)生運用所學(xué)知識的能力較差，完全不知如何下手。事實上，只要冷靜分析題干條件不難得出結(jié)果，即假設(shè)a1=t，則根據(jù)數(shù)列表達式，可知a2=1+t，a3=3+t，根據(jù)ai的取值范圍可知1≤t≤3，因此，a1，a2，a3有三種選擇方法：3，4，6、2，3，5、1，2，4，因此滿足題意的概率

點評：該題目難度較大，教學(xué)實踐中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從給出的數(shù)列入手尋找突破口，抽絲剝繭，明確可能出現(xiàn)的情景，利用排列組合知識進行分類解答，不遺漏任何一種情景。

三、在解答題中的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)中當古典概型試題以解答題的形式出現(xiàn)時，難度較大，一般由多個小問構(gòu)成，對學(xué)生的綜合素質(zhì)要求較高，即能夠從給出的情景中抽象出數(shù)學(xué)模型，而后利用所學(xué)的排列組合知識進行求解。教學(xué)實踐中，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生一起分析試題，找到解題的突破口。

例3 一個袋子裝有大小相同的紅球、白球、黑球，從中任取出一球為黑球的概率為任意取出兩個球，至少一個球為白球的概率為（1）如袋中共有10個球，那么白球的個數(shù)為？（2）證明：任意取出兩個球，至少得到1個白球的概率不大于指出袋中哪種球的個數(shù)最少。

分析：第（1）問較為簡單，可設(shè)白球的個數(shù)為x，則根據(jù)題意可知，至少得到一個白球的概率為可得x=5，即袋中有5個白球。第（2）問難度較大，解答時假設(shè)袋中共有n個球，黑球y個，根據(jù)題意可知因此，2y＜n，2y≤n-1，因此，從袋中任取兩球，至少有1個黑球的概率綜上可知，白球個數(shù)多于黑球，白球個數(shù)超過n，紅球個數(shù)不足因此，紅球個數(shù)最少。

點評：成功解答該題目的關(guān)鍵在于認真審題，明確創(chuàng)設(shè)的不同情景，分析各個量之間的關(guān)系，尤其在解答第（2）問時應(yīng)鼓勵學(xué)生敢于假設(shè)，充分利用已知條件，利用排列組合知識巧妙進行縮放、分析，最終得出結(jié)果。

排列組合與古典概型知識聯(lián)系密切，測試中常將兩者結(jié)合起來出題，難度較大，學(xué)生得分較低，因此，教學(xué)實踐中教師應(yīng)認真分析排列組合與古典概型相關(guān)題目類型，并針對不同題型列舉典型例題，包括選擇題、填空題、綜合題，與學(xué)生一起分析、解答，使學(xué)生感受應(yīng)用排列組合知識解答古典概型題目的過程，加深學(xué)生的理解與認識，掌握古典概型相關(guān)題目的解題技巧與方法。