關(guān)于一道不定積分習(xí)題的多種解法分析

李媛媛

(江蘇省南京林業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系 210037)

大學(xué)數(shù)學(xué)教育階段，高等數(shù)學(xué)是一門重要的基礎(chǔ)課.課程一般分為三個部分：微積分學(xué)、解析幾何和常微分方程.對于理工科學(xué)生來說，學(xué)好高等數(shù)學(xué)，理解透高等數(shù)學(xué)，才能在之后的專業(yè)學(xué)習(xí)中事半功倍.

不定積分是高等數(shù)學(xué)的一個教學(xué)重點和教學(xué)難點.不定積分的計算，方法靈活，技巧性強，解法多種多樣.不定積分的計算中，我們主要使用的是第一類換元法，第二類換元法和分部積分法.學(xué)生在學(xué)習(xí)中往往感覺不定積分的計算很難掌握.教師在教學(xué)時，對某些例題采用多個解法來講解，有利于學(xué)生的思維開拓，也使其能更好地理解解題的思路.同時我們對學(xué)生在做題時常常忽略的問題將著重分析，達到靈活使用多種積分方法的目的.

一、問題及解法

1.解法一 第二類換元法中的根式換元法的應(yīng)用

分析在含有根式的被積函數(shù)情況下，我們往往考慮第二類換元法中的根式代換法.我們知道換元法是不定積分計算時一個重要的工具.在使用換元法時，被積函數(shù)的定義域往往被忽略考慮.我們在求不定積分的時候，應(yīng)該求得是被積函數(shù)在定義域上的不定積分，不能只考慮定義域的部分區(qū)間上的不定積分.在解法一中，我們發(fā)現(xiàn)被積函數(shù)的定義域需要被分割為兩個區(qū)間去考慮.在不同的區(qū)間中，自變量x的表達式是不一樣的.學(xué)生在考慮這個問題往往會只考慮解法中的一種情況，而忽略另一種.

2.解法二：第二類換元法的根式換元法與第一類換元法的綜合運用

令：2x-x2=t.

分析我們看到解法一與解法二都是同一個類型的根式換元法.學(xué)生在做不定積分的計算題時，時常會問這個問題：不定積分的計算太難了！使用換元法時，到底應(yīng)該拿哪一部分的表達式來換元呢？我的回答是，多嘗試！把你覺得可能的換元情況自己拿起筆算一算，看看能不能再繼續(xù)算下去，能不能在換元后得到的被積函數(shù)是原函數(shù)容易計算的形式了.多動筆，多練習(xí)，才是學(xué)好不定積分的計算的必經(jīng)之路.

3.解法三：第二類換元法的三角換元法的應(yīng)用

4.解法四：第二類換元法的根式換元法與分部積分法的綜合應(yīng)用

分析(1)在不定積分計算中，我們往往會對被積函數(shù)變形，以起到簡化被積函數(shù)的目的.在函數(shù)的變形時，我們要使用的是恒等變換.恒等變形時需要大家注意前后函數(shù)的一致性，特別是在定義域上需要保持一致，必要時需要分情況考慮.

(2)不定積分計算的一個重要方法：分部積分法.其原理是函數(shù)四則運算求導(dǎo)法的逆運用.分部積分法的適用的被積函數(shù)有部分具體的情況.例如：冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)的乘積、冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積、冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的乘積、指數(shù)函數(shù)和正(余)弦函數(shù)的乘積、冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積等.我們在使用分部積分的方法時，要注意是否會出現(xiàn)循環(huán)形式.如果有循環(huán)公式出現(xiàn)，則可以使用解方程的方法將不定積分求出.解法四中便是使用了分部積分后，出現(xiàn)了循環(huán)形式，再求解不定積分.

5.解法五：第二類換元法的根式換元法和三角換元法的綜合應(yīng)用

二、總結(jié)

本文給出了一道不定積分的多種解法.這些解法中結(jié)合了多種積分的方法.第一類換元法(湊微分法)、第二類換元法(根式換元法，三角換元法等)與分部積分法都融入解法中，充分體現(xiàn)了積分法的綜合應(yīng)用，拓寬了解題思路，對靈活掌握不定積分的計算方法有一定的啟發(fā)作用.

我們在講解不定積分的計算時，往往會采用一題多解的形式，來啟發(fā)學(xué)生.但是要指出的是，我們的教學(xué)目標還是學(xué)生自己能解決不定積分的計算問題.我們講授多種解題思路并不是要求學(xué)生每一種解法都會做，而是希望學(xué)生在拓寬思路的同時，能夠選擇自己“順手的”，也就是熟練的方法來處理不定積分的計算.我們并不是要求大家尋求“新奇特”的解法，而是希望大家對常規(guī)的經(jīng)典的不定積分計算，至少要能熟練掌握一到兩種的常規(guī)做法.對于學(xué)生來說，掌握不定積分的計算最根本的還是充足的練習(xí)量.在練習(xí)中，體會多種解法的應(yīng)用，從而才能靈活掌握多種積分的方法.

同時，我們也指出在計算不定積分的過程中，大家容易忽略的一些問題所帶來的錯誤.一般容易出現(xiàn)的錯誤都在于換元法和函數(shù)變形時，對被積函數(shù)的定義域沒有充分考慮，從而造成了被積函數(shù)的定義域的改變.所以在計算不定積分時，要注意在變量替換和函數(shù)變形時，要保證前后被積函數(shù)的定義域是前后對應(yīng)的，不能擴大或是縮小了被積函數(shù)的定義域.