高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用微積分證明不等式的探討

霍奴梅

(呂梁學(xué)院汾陽師范分校，山西 汾陽 032200)

0 引言

高等數(shù)學(xué)不等式解題存在一定困難已經(jīng)成為共性問題，不等式為高等數(shù)學(xué)中的重要部分，在其中占據(jù)重要作用。在對(duì)不等式進(jìn)行證明的過程中，模式存在不固定性，會(huì)由于題目的差異，產(chǎn)生不同的解題方法，具有較高靈活性，微積分證明不等式對(duì)高等數(shù)學(xué)的發(fā)展具有重要意義，應(yīng)當(dāng)對(duì)此進(jìn)行深入研究，為高等數(shù)學(xué)發(fā)展做出貢獻(xiàn)。

1 函數(shù)最小值、最大值、極值證明不等式方法

利用函數(shù)解不等式，這種方法屬于解不等式的常規(guī)方法，在解題過程中一般都會(huì)選擇此種方式，這種方式可以利用最大值、最小值和極值根據(jù)已知條件直接求值，需要找到其中的切入點(diǎn)，將函數(shù)值進(jìn)行對(duì)比即可。

1.1 最小值、最大值解題方式

1)對(duì)閉區(qū)間[a，b]的連續(xù)函數(shù)最大值、最小值求解：需將其中可疑點(diǎn)解出，再將兩個(gè)端點(diǎn)a、b以及可疑點(diǎn)部分函數(shù)值進(jìn)行對(duì)比，數(shù)值大的為最大值，相反則為最小值。

2)對(duì)開區(qū)間[a，b]可導(dǎo)函數(shù)最大值、最小值求解：設(shè)定f(x)在(a，b)中可導(dǎo)，并且極端為唯一值，所存在的極值點(diǎn)便是最大值點(diǎn)或者最小值點(diǎn)。

1.2 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性解不等式

可導(dǎo)函數(shù)證明不等式的方法是利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系求解的，這種解題方法以及解題過程如下：

例如f(x)，g(x)可導(dǎo)，證明f(x)>g(x)。

證明：首先利用減法，假如x>a，可以轉(zhuǎn)換證明f(x)-g(x)>0。在此結(jié)構(gòu)中輔助函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)，假如F′(x)>0，F(xiàn)(a)=0，那么F(x)單調(diào)函數(shù)則呈現(xiàn)遞增趨勢，因此，F(xiàn)(x)>F(a)=0，F(xiàn)(x)=f(x)-g(x)>0。那么f(x)>g(x)，假如F′(x)不可作為判斷大于0的數(shù)值，F(xiàn)′(a)=0，則計(jì)算F″(x)，假如F″(x)>0，那么F′(x)則呈現(xiàn)單調(diào)遞增趨勢，那么F′(x)>F″(a)=0，F(xiàn)(x)為單調(diào)遞增趨勢，從而得出F(x)>F(a)=0，因此f(x)>g(x)。

φ′(x)=f″(x)g(x)+f′(x)g′(x)g″(x)-f(x)g″(x)-f(x)g′(x)，

φ′(x)=f″(x)g(x)-f(x)g″(x)。

1)假如φ′(x)>0，F(xiàn)(a)=1，φ(a)=0，那么φ(x)則呈現(xiàn)單調(diào)遞增趨勢，F(xiàn)′(x)>0，那么F(x)呈現(xiàn)單調(diào)遞增。在此過程中F(x)>F(a)=1，從而得出f(x)>g(x)。

2)φ′(x)<0，F(xiàn)(b)=1，φ(a)=0，那么φ(x)呈現(xiàn)單調(diào)遞減趨勢，F(xiàn)′(x)<0，便會(huì)存在F(x)單調(diào)遞減趨勢，并且此過程中F(x)>F(b)=1，那么f(x)>g(x)。

在本次解題過程中，F(xiàn)′(x)無法判斷出是否大于0，但是兩端點(diǎn)數(shù)值為0，因此求F″(x)，F(xiàn)″(x)依舊不能判斷是否大于0，但是F″(0)=0，繼續(xù)求F?(x)，F(xiàn)?(x)>0，并且所采取極值點(diǎn)為0，在一步步推理后可以計(jì)算出F″(x)，F(xiàn)′(x)，F(xiàn)(x)呈單調(diào)遞增趨勢，便能夠呈現(xiàn)單調(diào)遞增趨勢，可得出最終結(jié)論，此次解題過程可利用定積分方法求解。

在此解題過程中可以發(fā)現(xiàn)，利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解，不等式兩邊函數(shù)可導(dǎo)，并且結(jié)構(gòu)輔助函數(shù)F(x)需要在閉區(qū)間中連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，并且在閉區(qū)間某端點(diǎn)f(x)數(shù)值為0，根據(jù)開區(qū)間中F′(x)符號(hào)判定F(x)在閉區(qū)間的單調(diào)性。首先可利用減法，若減法不能成立，并能夠滿足除法條件，便能夠利用除法解題。

2 導(dǎo)數(shù)定義證明不等式的方式

導(dǎo)數(shù)解不等式的方法能夠利用條件進(jìn)行假設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化然后進(jìn)行解析，屬于解不等式中的簡單技巧。

例3 假設(shè)函數(shù)f(x)=a1sinx+a2sin2x+…+ansinx，其中a1，a2，…，an為實(shí)數(shù)，n在其中代表正整數(shù)，已知條件為實(shí)數(shù)x，并存在|f(x)|≤|sinx|，證明：|a1+2a2+…+nan|≤1。

解析：在此問題中存在條件與結(jié)論不為同一類型的函數(shù)的問題，需對(duì)其中條件關(guān)系作出詳細(xì)分析，通過分析能夠發(fā)現(xiàn)：a1+2a2+…+nan=f′(0)。因此可以將問題轉(zhuǎn)化為解析|f′(0)|≤1。

證明：f′(x)=a1cosx+2a2cos2x+…+nancosnx，得出f′(0)=a1+2a2…+nan。

因?yàn)椋簗f(x)|≤|sinx|

可以得出a1+2a2+…+nan≤1。

經(jīng)過本次計(jì)算可以說明利用導(dǎo)數(shù)定義解決不等式問題的應(yīng)用范圍并不大，解題過程較為復(fù)雜，必須仔細(xì)探討問題與條件的關(guān)系，才能得出結(jié)論。

3 應(yīng)用拉格朗日中值定理解析不等式

3.1 拉格朗日中值定理

3.2 拉格朗日中值定理解析理念

拉格朗日中值定理存在形式為等式，那么采取哪種方式利用定理證明不等式，在拉格朗日中值計(jì)算過程中ξ∈(a，b)，可根據(jù)ξ在(a，b)取值范圍評(píng)估f′(ξ)取值范圍，構(gòu)建不等式。

3.3 利用拉格朗日中值定理解析不等式步驟

1)驗(yàn)證函數(shù)在區(qū)間中能夠滿足拉格朗日中定理的條件，并設(shè)定自變量取值區(qū)間為[a，b]。

3)若ξ取值范圍為f′(ξ)的范圍，可以驗(yàn)證不等式。

說明：拉格朗日中值定理可將函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)相銜接，本次計(jì)算過程中并未給出ξ具體位置，并且對(duì)于不等式來講，可以不必做到精確。因此可以利用此種方法證明定理，主要在于選擇f(x)以及區(qū)間[a，b]。

4 應(yīng)用柯西中值定理解析不等式

在柯西定理中，加入f(x)，g(x)條件滿足：1)在區(qū)間[a，b]連續(xù)；2)在區(qū)間[a，b]可導(dǎo)；3)f′(x)與g′(x)不在同一時(shí)段為0；4)g(a)≠g(b)。

說明：柯西中值定理為探討兩個(gè)函數(shù)變量關(guān)系的中值關(guān)系定理，若函數(shù)為自變量時(shí)，便符合拉格朗日中值定理，因此可以利用拉格朗日中值定理解決的不等式也可以利用柯西中值定理處理，若相反則不能證明。

5 應(yīng)用泰勒公式解析不等式

5.1 泰勒定理

1)函數(shù)在f(x)閉區(qū)間[a，b]中存在n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。

2)f(x)在開區(qū)間[a，b]中存在f(x)的n+1階導(dǎo)數(shù)，并且對(duì)x∈(a，b)存在一點(diǎn)ξ∈(a，b)。

5.2 泰勒公式證明不等式方法

1)據(jù)相關(guān)已知條件，確定證明目標(biāo)，甄選合適的點(diǎn)將函數(shù)體現(xiàn)在泰勒公式中。

2)據(jù)已知條件，向較為有利證明目標(biāo)不等式的方向做出合理計(jì)算，最終能夠與已知條件結(jié)合，并將不等式結(jié)果證明。

說明：將泰勒公式應(yīng)用于解不等式中，應(yīng)當(dāng)根據(jù)題中假設(shè)條件選擇計(jì)算函數(shù)，并在鄰域?qū)⒑瘮?shù)展開，將階次及余項(xiàng)展開。

6 利用定積分原理解析不等式

說明：不等式中含有定積分，并且能夠被積函數(shù)f(x)≤g(x)時(shí)，可以利用定積分性質(zhì)將不等式解析。

7 結(jié)語

通過分析以上多種微積分方式解析不等式，可以發(fā)現(xiàn)存在一定條件時(shí)，不等式能夠被順利解題，并且不會(huì)存在較多困難。但是在實(shí)際解題過程中還應(yīng)當(dāng)做到具體問題具體分析，不等式證明不只是適用一種方式，可以通過多種證明方法將結(jié)果解析。