Moser-Trudinger不等式及其極值函數(shù)的存在性

李嘉禹，楊云雁，朱曉寶

(1.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230026；2.中國(guó)科學(xué)院 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院，北京 100080; 3.中國(guó)人民大學(xué) 數(shù)學(xué)系，北京 100872)

Moser-Trudinger不等式作為臨界情形的Sobolev嵌入定理，是由著名數(shù)學(xué)家Trudinger[1]在1967年首先得到的.設(shè)Ω是n中的光滑有界區(qū)域，是在范數(shù)

(1)

稱不等式

?0<α≤αn

(2)

為Moser-Trudinger不等式.

Carleson等[3]發(fā)現(xiàn)了一個(gè)令人驚訝的事實(shí)：在Ω是單位球的時(shí)候，存在函數(shù)能達(dá)到(2)式中的上確界，即它的極值函數(shù)存在，而這個(gè)事實(shí)對(duì)次臨界的Sobolev不等式是不對(duì)的.隨后，F(xiàn)lucher[4]和Lin[5]分別證明了對(duì)2維和n維的一般區(qū)域，(2)式的極值函數(shù)也存在.

論文旨在介紹Moser-Trudinger不等式及其極值函數(shù)存在性的相關(guān)進(jìn)展.第一部分，介紹緊黎曼曲面上的Moser-Trudinger不等式及其應(yīng)用；第二部分，介紹一般維黎曼流形上的Moser-Trudinger不等式；第三部分，介紹一類改進(jìn)的Moser-Trudinger不等式；最后，介紹帶奇異位勢(shì)的Moser-Trudinger不等式.

1 緊黎曼曲面上的Moser-Trudinger不等式及其應(yīng)用

由不等式(1)和緊黎曼曲面上的單位分解，可得定理1.

定理1[1]設(shè)(Σ,ds2)是緊黎曼曲面，則存在c>0，使得不等式

成立.

由Cauchy不等式，有定理2.

其中：CΣ是只與(Σ,ds2)有關(guān)的正的常數(shù).

1.1 預(yù)定高斯曲率問(wèn)題

(3)

對(duì)(3)式兩邊在Σ上積分，可得

(4)

因而，可將對(duì)方程(3)的求解分為χ(Σ)<0,χ(Σ)=0和χ(Σ)>0這3種情形.下面介紹變分方法和Moser-Trudinger不等式在這3種情形中的應(yīng)用.Berger[6]通過(guò)尋找泛函

(5)

(6)

由定理2知，泛函J(u)是弱下半連續(xù)的.為了清楚泛函J(u)是否滿足強(qiáng)制性條件，Moser計(jì)算了定理1中的最佳常數(shù)，證明了定理5.

定理5[2-8]在標(biāo)準(zhǔn)球面(S2,g0)上，成立

和

作為定理5的直接推論，有定理6.

其中：CS2是只與(S2,g0)有關(guān)的正的常數(shù).

由定理6(i)，泛函J(u)有下界.由定理6(ii)知，泛函J(u)在空間

{u∈W1,2(S2,g0):u(x)=u(-x)a.e.x∈S2}

中滿足強(qiáng)制性條件.由經(jīng)典的變分理論，有定理7.

定理7[8]設(shè)K是S2上的光滑函數(shù)，滿足K(x)=K(-x),?x∈S2且存在x0∈S2，使得K(x0)>0，則方程(3)有光滑解.

更多的關(guān)于Nirenberg問(wèn)題的研究可參見(jiàn)文獻(xiàn)[9-12].

1.2 Kazdan-Warner問(wèn)題

設(shè)(Σ,ds2)是一個(gè)緊黎曼曲面，為方便起見(jiàn)，約定它的面積是1.設(shè)h(x)是(Σ,ds2)上的光滑函數(shù).Kazdan等[7]問(wèn)：對(duì)h加什么條件，可使得方程

Δu=8π-8πheu

(7)

有解.這個(gè)問(wèn)題被稱為Kazdan-Warner問(wèn)題，它可以看成是Nirenberg問(wèn)題的推廣.當(dāng)(Σ,ds2)不是球面或?qū)嵧队捌矫鏁r(shí)，它上面不再有常正曲率的背景度量，因而此時(shí)的方程(7)不是預(yù)定高斯曲率問(wèn)題，但它會(huì)出現(xiàn)在Chern-Simons Higgs理論中[13-14].

(8)

的臨界點(diǎn).

Ding等首先證明了(8)式中定義的泛函J(u)有下界，這也將S2上的Moser-Trudinger不等式——定理6(i)推廣到了一般的緊黎曼曲面上.

其中：CΣ是只與(Σ,ds2)有關(guān)的正的常數(shù).

為了證明泛函J(u)有下界，文中考慮了J(u)的擾動(dòng)泛函

其中：ε>0.

由變分的直接理論，泛函Jε(u)在某個(gè)uε處達(dá)到它的極小值.現(xiàn)在有兩種可能：

(i)uε在W1,2(Σ)中有界；

(ii)uε在W1,2(Σ)中無(wú)界.

對(duì)于第一種情形，容易驗(yàn)證存在某個(gè)u0∈W1,2(Σ)，使得泛函J(u)在u0處達(dá)到極小.當(dāng)然，此時(shí)u0就是方程(7)的解.

文中主要分析了第二種情形，稱為uε爆破.經(jīng)過(guò)細(xì)致分析，最終計(jì)算出在uε爆破的條件下，有

(9)

其中：A(p)是格林函數(shù)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).接下來(lái)，在一個(gè)幾何條件下構(gòu)造了一列φε，滿足J(φε)

定理9[15]設(shè)K是(Σ,g)的高斯曲率，如果

Δlogh(x)>-(8π-2K(x)),?x∈Σ,

則泛函J(u)可以達(dá)到極小，方程(7)可解.

上述方法是在經(jīng)典的變分理論(滿足弱下半連續(xù)和強(qiáng)制性條件的泛函，可以在自反的巴拿赫空間中達(dá)到它的下確界)的強(qiáng)制性條件不滿足，泛函極小化序列爆破的情形下，使用擾動(dòng)泛函分析出泛函的下確界；然后再構(gòu)造爆破序列，使得爆破序列上的泛函值小于之前得到的下確界，進(jìn)而說(shuō)明爆破不會(huì)發(fā)生，泛函達(dá)到極小，對(duì)應(yīng)的方程可解.該方法被多次應(yīng)用于求解物理與幾何中帶臨界指標(biāo)的方程中.參見(jiàn)文獻(xiàn)[16-24].

定理10[25]設(shè)K是(Σ,ds2)的高斯曲率，h是Σ上的光滑函數(shù)，滿足：h≥0,h?0，如果

Δlogh(x)>-(8π-2K(x)),?x∈Σ{h(x)=0},

則泛函J(u)可以達(dá)到極小，方程(7)可解.

2 一般維黎曼流形上的Moser-Trudinger不等式

2.1 緊黎曼流形上的Moser-Trudinger不等式

緊黎曼流形上的Moser-Trudinger不等式是Aubin[26]首先提出， 并由Cherrier[27-28]證明了次臨界的情形，最終Fontana[29]計(jì)算出了它的最佳常數(shù).

定理11[26-29]設(shè)(M,g)是n維緊黎曼流形.對(duì)任意的0<α≤αn，成立不等式

(10)

其中：αn是最佳常數(shù)，即當(dāng)α>αn時(shí)，不等式(10)不再成立.

Li在文獻(xiàn)[30-31]中使用變分的方法和爆破分析研究了不等式(10)的極值函數(shù)，得到定理12.

2.2 完備非緊黎曼流形上的Moser-Trudinger不等式

定理13[32-35]對(duì)任意的0<α≤αn，有

(11)

其中：αn是最佳常數(shù).

關(guān)于Moser-Trudinger不等式(11)的極值函數(shù)，有定理14.

定理14[36-37](i) 當(dāng)n=2時(shí)，存在某個(gè)α0>0，使得當(dāng)α∈(α0,α2]時(shí),Moser-Trudinger不等式(11)的極值函數(shù)存在;當(dāng)α>0很小時(shí),Moser-Trudinger不等式(11)的極值函數(shù)不存在.

(ii) 當(dāng)n≥3時(shí)，Moser-Trudinger不等式(11)的極值函數(shù)存在.

定理15[38]對(duì)任意的0<α≤αn，有

(12)

其中：αn是最佳常數(shù).

在一般的n維完備非緊的黎曼流形(M,g)上，記

定理16[39]如果(M,g)的Ricci曲率有下界，單射半徑有一致的正下界.那么對(duì)任意的0<α<αn，存在某個(gè)τ>0，使得不等式

(13)

成立，其中：αn是最佳常數(shù).

當(dāng)α=αn時(shí)，Moser-Trudinger不等式(13)是否成立，目前并不知道.該不等式的極值函數(shù)問(wèn)題目前也不清楚.

3 一類改進(jìn)的Moser-Trudinger不等式

設(shè)D是2中的有界區(qū)域，記有定理17.

定理17[40](i) 對(duì)任意的0≤α<λ1(D)，有

(ii) 對(duì)任意的α>λ1(D)，有

Yang[41]使用變分方法和爆破分析，將定理17分別推廣到了高維和緊黎曼曲面的情形，有定理18.

定理18[41]設(shè)Ω是n中的光滑有界區(qū)域，n≥3.記

有

(i) 對(duì)任意的0≤α<λ1(Ω)，有

(14)

(ii) 對(duì)任意的α>λ1(Ω)，有

(iii) Moser-Trudinger不等式(14)的極值函數(shù)存在.

定理19[42]設(shè)(Σ,ds2)是一個(gè)緊黎曼曲面.記

有

(i) 對(duì)任意的0≤α<λ1(Σ)，有

(15)

(ii) 對(duì)任意的α>λ1(Σ)，有

(iii) 當(dāng)α>0很小時(shí)，Moser-Trudinger不等式(15)的極值函數(shù)存在.

設(shè)B是2中的單位圓盤，H是在范數(shù)

下的完備化.使用變分的方法和爆破分析，Wang等[43]證明了定理20.

定理20[43]不等式

的極值函數(shù)存在.

定理21[44]對(duì)任意的0≤α<λ1(B)，不等式

的極值函數(shù)存在.

Tintarev[45]考慮了一類更廣的Moser-Trudinger不等式，證明了定理22.

定理22[45]不等式

(16)

成立，其中：V(x)>0是一類函數(shù)，它包含了定理20和21中的函數(shù)作為特例(具體見(jiàn)原文).

當(dāng)V(x)≡α,0≤α<λ1(D)時(shí)，有定理23.

定理23[46]對(duì)任意的0≤α<λ1(D)，不等式

(17)

的極值函數(shù)存在.

定理24[46]當(dāng)0≤α<λl+1(D)時(shí)，不等式

的極值函數(shù)存在.

在緊黎曼曲面上，也有類似結(jié)果，有興趣的讀者可參見(jiàn)原文.

4 帶奇異位勢(shì)的Moser-Trudinger不等式

假設(shè)0∈Ω，Adimurthi等[47-48]將Moser-Trudinger不等式(2)和(11)分別推廣到定理25、26帶奇異位勢(shì)的情形.

定理25[47]設(shè)0<β<1，對(duì)任意的0<α≤αn(1-β)，有

(18)

定理26[48]設(shè)0<β<1, 對(duì)任意的0<α≤αn(1-β)，有

(19)

定理27[49]當(dāng)n=2時(shí)，Moser-Trudinger不等式(18)的極值函數(shù)存在.

定理28[50]Moser-Trudinger不等式(19)的極值函數(shù)存在.

至于n≥3時(shí)，Moser-Trudinger不等式(18)的極值函數(shù)是否存在目前尚不清楚.最近，作者用變分的方法和爆破分析得到了一類改進(jìn)的帶奇異位勢(shì)的Moser-Trudinger不等式.

定理29[51]對(duì)任意的0<β<1和任意的0≤α<λ1(D)，不等式

的極值函數(shù)存在.

定理30[51]對(duì)任意的0<β<1和任意的0≤α<λl+1(D)，不等式

的極值函數(shù)存在.