對偶數(shù)環(huán)導(dǎo)出范疇的Recollements

劉宏錦，陳清華

(1. 龍巖學(xué)院信息工程學(xué)院，福建龍巖364012;2. 福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建福州350117)

設(shè)R是環(huán)，R的對偶數(shù)環(huán)R[ε]是R的一元多項式環(huán)的商環(huán)R[x]/〈x2〉.對偶數(shù)環(huán)R[ε]上的模是微分R-模(M，ε)，其中M是R-模，ε是模M上平方為零的自同態(tài).如果(M，ε)，(M′，ε′)都是微分R-模，兩者之間的態(tài)射f:(M,ε)→(M′,ε′)是R-模態(tài)射f:M→M′，則滿足fε=ε′f.對于R[ε]上的模的研究最早出現(xiàn)在文獻(xiàn)[1]中.Ringel等[2]研究了路代數(shù)kQ上由完備微分模構(gòu)成的Frobenius范疇的穩(wěn)定范疇與kQ上導(dǎo)出范疇的根范疇之間的關(guān)系.Wei[3]和Xu等[4]考慮了微分模的Gorenstein同調(diào)理論.

導(dǎo)出范疇的recollements起源于Grothendieck關(guān)于代數(shù)幾何中層的相關(guān)函子的考察.1982年，Beilinson等[5]給出了三角范疇recollements公理化定義.最近，劉宏錦等[6]考慮了在導(dǎo)出范疇recollements下，廣義AR猜想的保持性問題.由已知的recollements構(gòu)造新的recollements是一個有趣的問題，如文獻(xiàn)[7-11]等.注意到這些結(jié)果都是利用Koenig定理將已有代數(shù)的導(dǎo)出范疇的recollements提升到新代數(shù)的導(dǎo)出范疇的recollements.本文中利用Koenig定理考慮環(huán)的導(dǎo)出范疇的recollements在對偶數(shù)環(huán)上的提升，證明了若環(huán)A的上有界導(dǎo)出范疇D-(A)允許有關(guān)于環(huán)A1和A2的上有界導(dǎo)出范疇D-(A1)和D-(A2)的recollement，則A的對偶數(shù)環(huán)A[ε]的上有界導(dǎo)出范疇D-(A[ε])允許有關(guān)于D-(A1[ε])和D-(A2[ε])的recollement.

1 預(yù)備知識

本文涉及到的環(huán)A都具有單位元，考慮的模都是右A-模.右A-模范疇記為A-Mod，本文中用A-Proj表示所有投射模構(gòu)成的范疇；A-proj表示所有有限生成投射模構(gòu)成的范疇；D-(A)，Db(A)分別表示A-Mod 上的上有界復(fù)形，有界復(fù)形的導(dǎo)出范疇；Kb(A-Proj)，Kb(A-proj)分別表示A-Proj，A-proj上的有界復(fù)形的同倫范疇.

是指三角范疇的6個正合函子：

i*=i!:′→;i*,i!:→′；

j*=j!:→″;j*,j!:D″→D;

滿足如下4個條件：

(i) (i*,i*),(i!,i!),(j!,j!)和(j*,j*)均是伴隨對；

(ii)i*,j!和j*均是滿嵌入函子；

(iii)j*i*=0;

i!i!X→X→j*j!X→i!i!X[1],

j!j!X→X→i*i*X→j!j!X[1].

定義2[12]設(shè)A是環(huán)，T·∈Kb(A-Proj).稱T·是偏傾斜復(fù)形，如果T·滿足以下條件：

(i) 對任意i≠0，有HomKb(A-Proj)(T·，T·[i])=0；

注Kb(A-proj)上的復(fù)形X·稱為完備復(fù)形，也稱為緊對象，根據(jù)文獻(xiàn)[12]，HomKb(A-proj)(X·，-)與任意直和可交換.因此，完備復(fù)形X·只要滿足定義2(i)，則X·是偏傾斜復(fù)形.

定理1[12-13]設(shè)A,A1和A2是環(huán)，則有上有界導(dǎo)出范疇的recollement

2 主要結(jié)果及應(yīng)用

本文中的主要結(jié)論是

定理2設(shè)A，A1和A2是環(huán).如果A的上有界導(dǎo)出范疇D-(A)允許有一個關(guān)于A1，A2的上有界導(dǎo)出范疇D-(A1)，D-(A2)的recollement，則A的對偶數(shù)環(huán)A[ε]的上有界導(dǎo)出范疇D-(A[ε])允許有如下的recollement

在證明定理2之前，需要如下引理.

引理1設(shè)X是A-模，則EndA[ε](X?AA[ε])中的態(tài)射均具有下三角

的形式，其中α,β∈EndA(X).

證明右A[ε]模X?AA[ε]同構(gòu)于A上的微分模

的形式，其中ai∈EndA(X),i=1,2,3,4,且滿足

故a2=0,a1=a4.

定理2的證明事實上，對偶數(shù)環(huán)A[ε]中的元素可表示為二元數(shù)組(a1,a2)，其中a1,a2∈A.作為加群A[ε]=A⊕A，其乘法定義如下

(a1,a2)·(b1,b2)=(a1b1,a2b1+b2a1).

因此，A的單位元也可視為A[ε]的單位元，作為A-A-雙模A[ε]≌A⊕A.

(i) 作為加群，有如下同構(gòu)

所以

(iii) 對任意n∈Z，有

0.

因為

作為R-R-雙模有同構(gòu)

推論1設(shè)A，A1和A2是環(huán).如果A的上有界導(dǎo)出范疇D-(A)允許有一個關(guān)于A1，A2的上有界導(dǎo)出范疇D-(A1)，D-(A2)的recollement.對任意正整數(shù)n,m1,m2,…,mn，令

則A(n)的上有界導(dǎo)出范疇D-(A(n))允許有如下的recollement

定義3設(shè)A,B均是環(huán).如果Db(A)和Db(B)作為三角范疇等價，則稱A與B導(dǎo)出等價.

證明根據(jù)Rickard定理(參見文獻(xiàn)[14]，定理6.4)，Db(A)和Db(B)作為三角范疇等價當(dāng)且僅當(dāng)D-(A)和D-(B)作為三角范疇等價.又因為存在平凡的recollement.

所以由推論1，存在平凡的recollement