Banach空間中GC(0,e)類廣義發(fā)展算子的一致指數(shù)不穩(wěn)定性*

岳田，宋曉秋

(1. 湖北汽車工業(yè)學(xué)院理學(xué)院，湖北 十堰 442002；2. 中國礦業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 徐州 221116)

除了指數(shù)穩(wěn)定性以外，近年來關(guān)于發(fā)展方程的指數(shù)不穩(wěn)定性方面也獲得了極大的關(guān)注[8-12]。 如文獻(xiàn)[8]利用容許性方法、文獻(xiàn)[9-10]利用賦范函數(shù)空間的方法探討了線性斜積半流的指數(shù)不穩(wěn)定性的存在條件。文獻(xiàn)[11-12]分別給出了Banach空間中線性斜演化半流的一致指數(shù)不穩(wěn)定性和非一致指數(shù)不穩(wěn)定性的若干刻畫。

作為傳統(tǒng)發(fā)展算子的推廣，葛照強(qiáng)與馮德興在文獻(xiàn)[13]中定義了一種新的廣義發(fā)展算子，即在Banach空間X上具有性質(zhì)(ii)(見定義1)，文中對(duì)其存在性、唯一性進(jìn)行了相關(guān)探討。在文獻(xiàn)[14]中，作者討論了廣義發(fā)展算子一致指數(shù)穩(wěn)定性的充要條件，所得結(jié)果在研究時(shí)變廣義分布參數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性方面將有重要的價(jià)值。值得注意的是，文獻(xiàn)[14]中結(jié)果可以判定系統(tǒng)Ex′(t)=A(t)x(t)的穩(wěn)定性，這樣彌補(bǔ)了利用單參數(shù)半群或發(fā)展算子不能判定此系統(tǒng)穩(wěn)定性的缺陷。本文的主要目的是研究GC(0,e)類廣義發(fā)展算子的一致指數(shù)不穩(wěn)定性。

1 預(yù)備知識(shí)

(i)f(t)>0,?t>0；

F2表示所有滿足如下性質(zhì)的非減連續(xù)函數(shù)f:R+→R+構(gòu)成的集合：

(i)f(t)>0,?t>0；

定義1[14]設(shè)E∈B(X)。Φ(t,s):Δ→B(X)稱為由E引導(dǎo)的GC(0,e)類廣義發(fā)展算子，或簡稱GC(0,e)類廣義發(fā)展算子，如果它滿足如下四條性質(zhì)：

(i) Φ(s,s)=Φ0,s∈[0,∞)，其中Φ0∈B(X)；

(ii) Φ(t,r)EΦ(r,s)=Φ(t,s),?(t,r),(r,s)∈Δ；

(iii)Φ(·,s)在[s,∞)上強(qiáng)連續(xù)且Φ(t,·)在[0,t]上強(qiáng)連續(xù)；

定義2GC(0,e)類廣義發(fā)展算子Φ(t,s)稱為一致指數(shù)不穩(wěn)定的如果存在常數(shù)K>0和v>0使得對(duì)所有t≥s≥0和x∈X，有

(1)

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)Φ(t,s)是GC(0,e)類廣義發(fā)展算子，則Φ(t,s)一致指數(shù)不穩(wěn)定的充要條件是存在兩個(gè)常數(shù)h>0和q>1使得對(duì)每個(gè)x∈X和s≥0存在τx,s∈(0,h]滿足

(2)

記s0=t0=0。由數(shù)學(xué)歸納法可以找到一個(gè)序列(tn)n∈N,(tn∈(0,h],n∈N+)使得

(3)

設(shè)t≥0，則存在n∈N使得sn≤t

進(jìn)而

(4)

充分性。依據(jù)函數(shù)φ的性質(zhì)可知存在常數(shù)δ>0使得φ(δ)<1，易知對(duì)任一(t,s)∈Δ存在n∈N和l∈[0,δ)使t-s=nδ+l。進(jìn)而由已知條件可得

(5)

定理3 設(shè)Φ(t,s)是單射GC(0,e)類廣義發(fā)展算子，則Φ(t,s)一致指數(shù)不穩(wěn)定的充要條件是存在函數(shù)f∈F1及常數(shù)C>0使得對(duì)于任一x∈X{0}及s≥0，有

(6)

證明必要性。如果Φ(t,s)是一致指數(shù)不穩(wěn)定的，則由定義存在K>0,v>0使得對(duì)于任一x∈X{0}及s≥0，有

充分性。利用反證法。如果Φ(t,s)不是一致指數(shù)不穩(wěn)定的，根據(jù)定理1可得，對(duì)所有h>0及q>1存在s0≥0和x0∈X使得對(duì)所有τ∈(0,h]，有

(7)

特別地，對(duì)h=Cf(2)及q=2成立。由式(7)有

這與式(6)矛盾。因此，Φ(t,s)是一致指數(shù)不穩(wěn)定的。

定理4 設(shè)Φ(t,s)是單射GC(0,e)類廣義發(fā)展算子，則Φ(t,s)一致指數(shù)不穩(wěn)定的充要條件是存在函數(shù)f∈F2及常數(shù)C>0使得對(duì)于任一x∈X{0}及s≥0，式(6)成立。

證明必要性。令f(t)=t即可。

這與式(6)矛盾。因此，Φ(t,s)是一致指數(shù)不穩(wěn)定的。

注2 定理3與定理4針對(duì)GC(0,e)類廣義發(fā)展算子，將指數(shù)穩(wěn)定性理論中若干經(jīng)典結(jié)論[3-4,14]推廣到了一致指數(shù)不穩(wěn)定性情形。

推論2 設(shè)Φ(t,s)是單射GC(0,e)類廣義發(fā)展算子，則Φ(t,s)一致指數(shù)不穩(wěn)定的充要條件是存在常數(shù)p>0及C>0使得對(duì)于任一x∈X{0}及s≥0，有

(8)

證明在定理3中令f(t)=tp即可。

注3 推論2針對(duì)GC(0,e)類廣義發(fā)展算子，將指數(shù)穩(wěn)定性理論中Datko[1]型結(jié)論推廣到了一致指數(shù)不穩(wěn)定性情形。

下面推論將給出定理3與定理4的離散情形。

推論3 設(shè)Φ(t,s)是單射GC(0,e)類廣義發(fā)展算子，則Φ(t,s)一致指數(shù)不穩(wěn)定的充要條件是存在函數(shù)f∈F1∪F2及常數(shù)C′>0使得對(duì)于任一x∈X{0}及s≥0，有

(9)

證明令f(t)=t可得必要性。

充分性。 設(shè)

若f∈F1，由式(9)，對(duì)于任一x∈X{0}及s≥0，有

如果f∈F2，對(duì)于任一x∈X{0}及s≥0，有

利用定理3和定理4可知Φ(t,s)是一致指數(shù)不穩(wěn)定的。

推論4 設(shè)Φ(t,s)是單射GC(0,e)類廣義發(fā)展算子，則Φ(t,s)一致指數(shù)不穩(wěn)定的充要條件是存在常數(shù)C′>0使得對(duì)于任一x∈X{0}及s≥0，有

(10)

證明在推論3中令f(t)=t即可。

定理5 設(shè)Φ(t,s)是單射GC(0,e)類廣義發(fā)展算子，則Φ(t,s)一致指數(shù)不穩(wěn)定的充要條件是存在常數(shù)C>0和α>0使得對(duì)于任一x∈X{0}及(t,s)∈Δ，有

(11)

證明必要性。如果Φ(t,s)是一致指數(shù)不穩(wěn)定的，則由定義2存在K>0,v>0使得對(duì)于任一x∈X{0}及(t,s)∈Δ，有

充分性。如果Φ(t,s)不是一致指數(shù)不穩(wěn)定的，設(shè)h>0滿足eαh>1+2αhC，其中C和α由式(11)給出，由定理1，對(duì)q=2存在s0≥0及x0∈X{0}使得對(duì)所有的τ∈(0,h]，式(7)成立。從而對(duì)t=s0+h，有

這與式(11)矛盾。因此，Φ(t,s)是一致指數(shù)不穩(wěn)定的。