多線性分?jǐn)?shù)次積分算子在廣義Morrey空間上的精確估計(jì)

胡 喜, 周 疆

(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 新疆 烏魯木齊 830046)

1 引言及預(yù)備知識(shí)

其中

其中

1938年,Morrey[1]在研究二階橢圓型偏微分方程解的局部性質(zhì)時(shí)引入了Morrey空間.對(duì)Morrey空間的研究在經(jīng)典調(diào)和分析和偏微分方程中扮演著重要角色(見文獻(xiàn)[2-4]等).隨后,許多學(xué)者探討了Morrey型空間,并得到一些重要的結(jié)果,例如,Adams[5]研究分?jǐn)?shù)次積分算子在Morrey空間上的性質(zhì),得到了Hardy-Littlewood-Sobolev定理.文獻(xiàn)[6-7]分別研究了極大算子、分?jǐn)?shù)次極大算子、分?jǐn)?shù)次積分算子及其交換子在Morrey型空間上的有界性.

多線性算子理論也受到許多學(xué)者的關(guān)注.最初由Coifman等[8]在20世紀(jì)70年代研究多線性Caldern-Zygmund理論.2002年,Grafakos等[9]系統(tǒng)地研究了多線性Caldern-Zygmund理論.最近,有學(xué)者對(duì)多線性分?jǐn)?shù)次積分算子理論進(jìn)行了研究[10-12].

定義1.2[5]Adams型多線性分?jǐn)?shù)次積分算子Iα,m定義為

Iα,m(f1,…,fm)(x)=

其中,x∈Rn,0<α

則存在常數(shù)C>0,使得

Lida等[14]給出如下精確估計(jì):設(shè)0<α

其中,Q是包含于Rn的方體,Q表示Rn中所有方體構(gòu)成的集族.稱上式右邊為多Morrey范數(shù),并給出具體例子說明多Morrey范數(shù)嚴(yán)格小于Morrey范數(shù)的乘積.

基于文獻(xiàn)[13-14]的已有結(jié)果,進(jìn)一步探討多線性分?jǐn)?shù)次積分算子在廣義Morrey空間上的精確估計(jì),得到了本文的主要結(jié)果.文獻(xiàn)[14]運(yùn)用二進(jìn)方體的思想,處理起來相當(dāng)繁瑣,而文獻(xiàn)[13]的證明方法對(duì)于本文定理已經(jīng)失效,我們將運(yùn)用新的方法予以證明.

定義1.3[15]設(shè)Ψ=Ψ(r)是(0,∞)上的正的增長(zhǎng)函數(shù).對(duì)任意的r>0,滿足倍測(cè)度條件:Ψ(2r)≤DΨ(r),其中D≥1是與r無關(guān)的常數(shù).對(duì)于1≤q<∞,廣義Morrey空間Lq,Ψ(Rn)定義為

其中

對(duì)于1≤q<∞,弱廣義Morrey空間WLq,Ψ(Rn)定義為

其中

其中

弱廣義Morrey空間WLq,Φ(Rn)定義為

其中

值得注意的是:Φ與Ψ有相同的性質(zhì),即Φ=Φ(r)是(0,∞)上的正的增長(zhǎng)函數(shù).對(duì)任意的r>0,滿足倍測(cè)度條件:Φ(2r)≤DΦ(r),其中D≥1是與r無關(guān)的常數(shù).

(1)

其中f1,f2,…,fm是定義在Rn上的可測(cè)函數(shù).

其中

注1以上廣義多范數(shù)Morrey空間的定義是文獻(xiàn)[14]中定義4.1多Morrey范數(shù)意義下的推廣.

進(jìn)一步對(duì)Rn2Q分環(huán),即

最后分別對(duì)以上4部分估計(jì).然而在直接把Rn×Rn分為Ω0和Ω∞,從而有

f1f2=(f1f2)χΩ0+(f1f2)χΩ∞,

Ω0:={(y1,y2)∈Rn×Rn:|x0-y1|+

|x0-y1|<4r},

Ω∞:={(y1,y2)∈Rn×Rn:|x0-y1|+

|x0-y1|≥4r},

Ωk:={(y1,y2)∈Rn×Rn:2kr≤|x0-y1|+

|x0-y1|<2k+1r}.

在證明本文定理之前,給出一些必要的記號(hào)和說明:aB(a>0)表示與B同中心,邊長(zhǎng)伸縮a倍的球體;C表示與主要指標(biāo)無關(guān)的常數(shù),每次出現(xiàn)時(shí)其值可能并不相同;對(duì)于Rn中的可測(cè)子集E,用χE表示E的特征函數(shù).不失一般性,僅對(duì)多線性分?jǐn)?shù)次積分算子Iα,m在m=2的情形下進(jìn)行證明.

2 主要定理及其證明

當(dāng)q1=q2=1時(shí),有如下的弱性精確估計(jì).

定理2.1的證明利用Minkowski不等式

首先估計(jì)I.利用多線性分?jǐn)?shù)次積分算子的有界性

再由Φ的倍測(cè)度條件,可得

下面估計(jì)II.此時(shí),|x0-y1|+|x0-y2|≥4r.因?yàn)閤∈B(x0,r),即有2|x-x0|<2r.又由三角不等式,則有:

|x0-y2|),

再由Φ的倍測(cè)度性,可得

綜合I和II估計(jì),可知

對(duì)上式左邊關(guān)于x0∈Rn,r>0取上確界即可證得結(jié)論.

定理2.2的證明

首先估計(jì)I.利用多線性分?jǐn)?shù)次積分算子的弱有界性

再由Φ的倍測(cè)度性,可得

下面估計(jì)II.利用切比雪夫不等式

再由Φ的倍測(cè)度性,可得

綜合I和II估計(jì),可知

對(duì)上式左邊x0∈Rn,r>0取上確界即可證得結(jié)論.