奇妙的數(shù)王國

石無魚

我們一輩子都少不了要跟數(shù)打交道。我們對數(shù)的認(rèn)識也隨著知識的增長不斷擴大，從自然數(shù)到整數(shù)、有理數(shù)，再到實數(shù)、復(fù)數(shù)。

雖然數(shù)有無窮無盡個，但并不是所有的數(shù)的重要性和知名度都是等量齊觀的。比如，相較其他一些數(shù)而言，圓周率π就比較特殊，對于我們也更重要些。

那么，在數(shù)的王國里，除了π還有哪些也比較特殊呢？特殊在哪里？為了讓你“嘗一臠而知一鑊之味”，我們將從中揀出幾個，作簡單介紹。

零：一個不是數(shù)的數(shù)

零當(dāng)然是數(shù)，但要是較真起來，也可以說它不是數(shù)。為什么這么說呢？你不妨試想：數(shù)最早發(fā)明出來是用于數(shù)東西的；數(shù)為零，意味著沒東西；既然連東西都沒有，你還數(shù)什么呢？

有證據(jù)表明，人類在五千年前就學(xué)會計數(shù)了，但零的歷史卻要到公元前1800年的巴比倫人手里才開始。對于巴比倫人，零還不是一個獨立的數(shù)，它僅是一個占位符。比如說101和11，要是中間沒個0占位，就區(qū)別不開來。對巴比倫人，零的作用僅止于此。當(dāng)時，他們用兩個斜對角的箭頭來表示零；我們后來熟悉的卵圓形符號“0”要到公元800年左右才出現(xiàn)。

零作為一個獨立的數(shù)，要歸功于古印度數(shù)學(xué)家，是他們第一個意識到，獨立于計數(shù)的具體對象，數(shù)可以作為抽象物而存在。撰寫星相學(xué)文獻《婆羅門笈多》的古印度天文學(xué)家，在書上畫了一條數(shù)字線，上面就包含了正數(shù)、負(fù)數(shù)和零。

零是一個獨立的數(shù)的想法，在西方很晚才被接受。被接受的部分原因是，零是通向負(fù)數(shù)的必經(jīng)“門戶”，而負(fù)數(shù)在記賬的時候（比如記欠賬或虧損）是無論如何繞不開的。到了19世紀(jì)末，當(dāng)西方數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)感興趣的時候，零作為數(shù)的地位就更鞏固了。在意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾建立的算術(shù)體系中，他的第一個公理是：零必須是一個數(shù)。因為零是劃分正負(fù)數(shù)的“界線”，要是零不是一個數(shù)，你如何能跨越這個界線，對一個正數(shù)和一個負(fù)數(shù)執(zhí)行運算呢？

零作為數(shù)的地位確定下來后，在定義“數(shù)是什么”這個問題上，它還扮演了更大的角色。數(shù)是什么？這個問題真好比“你不問的時候，我知道，你一問，我就糊涂了”。但數(shù)學(xué)是講求精確和嚴(yán)格的。目前，對這個問題最滿意的回答來自集合論。集合的概念首先是由康托在1874年提出來的。一個集合就好比一個抽象的數(shù)學(xué)“容器”，里面可以“裝”各種“元素”。比如說，一個包含有7個元素的集合，里面的元素既可以是《白雪公主》里的7個小矮人，也可以是一星期的7天。但數(shù)學(xué)家問的問題總是怪怪的，他們不問里面裝了什么東西，他們現(xiàn)在問：數(shù)7是什么意思？如何嚴(yán)格地定義數(shù)？

結(jié)果，他們還真找到了一個妙招。至于這個錦囊妙計是什么，我們把它留在拓展閱讀里。

歐拉數(shù)：為什么利息不會無止境地增加？

你在銀行里存1元錢，如果年利率是100%，那么一年后你將得到2元。這很簡單吧。但是，假如銀行不是在年底一次性結(jié)算利息的，而是逐月或逐日，甚至逐秒計息的呢？你會不會以為，由此一來你一年內(nèi)得到的利息將大到無窮無盡，讓你一輩子花不完？天下當(dāng)然沒這么美的事！這里涉及到數(shù)學(xué)上另一個最重要的數(shù)——自然對數(shù)的底數(shù)e。

假設(shè)銀行每年付兩次息，這樣，半年的利息降到了50%。這會使你的1元錢在6個月后變成1.5元；后半年，你的本金就不再是1元，而是1.5元了，到年底你將掙得后半年的利息0.75元；最后結(jié)算，你的1元錢一年之后變成了2.25元。如果你有興趣按逐月復(fù)利遞投的方式計息，你最終會得到2.61元。要是逐日復(fù)利遞投呢，將得到2.71元。如果按逐小時、逐分、逐秒計息，收益雖然會不停增加，但增加的幅度越變越小，最后將停留在2.71828……左右。

這個數(shù)實際上是一個無理數(shù)，就像π一樣，小數(shù)點后面跟著無窮多個數(shù)字，而且不可循環(huán)。該數(shù)以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉的名字命名，稱為歐拉數(shù)，簡稱e。

歐拉數(shù)并不僅僅在計算復(fù)利時才出現(xiàn)。例如，與虛數(shù)i一起用，你可以得到一個有史以來最著名的方程——歐拉等式：eiπ + 1 = 0。這個等式中，塞進了五個最重要的數(shù)0、1、e、π、i，數(shù)學(xué)家對它的美至今贊嘆不已。

歐拉數(shù)的實際應(yīng)用也非常廣。例如，實驗人員經(jīng)常要用X射線衍射來揭示分子結(jié)構(gòu)（歷史上DNA的雙螺旋結(jié)構(gòu)就是通過這種辦法發(fā)現(xiàn)的），對衍射圖案的分析需要用到一項稱作“傅里葉分析”的數(shù)學(xué)技術(shù)，而傅里葉分析又離不開歐拉數(shù)。

此外，還有一點是非常特殊的：對函數(shù)ex進行積分或微分，你得到的依然是它本身ex。這在函數(shù)里是絕無僅有的。

黃金分割數(shù)：

它真的是最美的數(shù)嗎？

你可能已經(jīng)聽說過斐波那契數(shù)列，即數(shù)列中下一個數(shù)是前兩個數(shù)之和的數(shù)列：1， 1， 2，3， 5， 8，13……。這里有一點有意思的東西：每個數(shù)和它前面一個數(shù)的比值，將越來越趨近一個特定的值，它最初的幾位是1.618。

這個數(shù)叫黃金分割數(shù)。你還可以通過其他辦法得到它。比如畫一條正五邊形的對角線，對角線與邊長的比值，也是黃金分割數(shù)。

你要是到網(wǎng)上搜索一下，會發(fā)現(xiàn)圍繞這個數(shù)有很多似是而非的說法，比如有人聲稱古希臘的建筑就展現(xiàn)了這樣的比例；還有人說，人的臉部比例要是符合黃金分割，會更好看。

是不是真這樣呢？古希臘的建筑師或許已經(jīng)發(fā)現(xiàn)黃金分割，并在建筑時有意識地加以利用，但后人要確鑿地證明這一點并不容易。你或許會說，去測量一下古希臘建筑的遺跡不就知道了嗎？但是，一座建筑的部位有那么多，你打算測量哪個呢——你要是絞盡腦汁找這個比例，你總是能找到的，但這說明不了問題。

臉部線條趨近黃金分割比例是否一定比偏離黃金分割比例更美？這也不好妄下結(jié)論。因為美是無法嚴(yán)格定義的，而且怎樣才算美，在歷史上也不是一成不變的。

葛立恒數(shù)：

大到全宇宙都寫不下

數(shù)有無窮多個，我們一般只跟它們中較小的打交道，對于絕大多數(shù)數(shù)，人類恐怕從來沒有接觸到過。

但在上世紀(jì)70年代，美國數(shù)學(xué)家羅納德·葛立恒所從事的一項工作后來證明與之打交道的數(shù)非常大。他試圖解決一個與更高維度的立方體有關(guān)的問題，當(dāng)他最終得到解答的時候，發(fā)現(xiàn)答案涉及到的數(shù)如此之大，以至我們沒法將它寫下——假如按A4紙的厚度，一頁寫2000個數(shù)字的話，整個宇宙空間都不夠?qū)懀?/p>

不過，還是有方法讓你略知這個數(shù)是多少的。例如，對于3×3×3，一種更簡潔的寫法是33（或3^3），意思是“3個3的乘積”，結(jié)果是27。

我們還可以用箭頭記號↑來表示，把3^3記作3↑3。3↑↑3表示3^（3^3），即327。這個數(shù)大約是7.6萬億。

如果再添加一個箭頭，3↑↑↑3（即3的327次方），冪上有冪的結(jié)果是讓這個數(shù)大到難以置信的地步。而所謂的葛立恒數(shù)，是3↑↑……↑3，中間有64個箭頭。它大到整個宇宙都不夠?qū)懙某潭?！我們只知道它的個位數(shù)字是7。

274，207，281-1：

密碼學(xué)上用到的數(shù)

2的74207281次方減1，這是目前已知的最大素數(shù)。這個數(shù)有2200多萬位。它不僅是素數(shù)，還是一個梅森素數(shù)。所謂的梅森素數(shù)就是可以表達成2 n-1的素數(shù)。

其他的梅森素數(shù)還有3和31，但找到更大的梅森素數(shù)并不是一件容易的事。迄今，我們只找到49個梅森素數(shù)。盡管數(shù)千年前，人類就知道素數(shù)有無窮多個，但梅森素數(shù)是否也有無窮多個，我們至今還不清楚。

你也許會說，這都是些數(shù)學(xué)家們的游戲，跟我們毫不相干。錯了，如果沒有這些非常大的素數(shù)，這個世界會很不一樣。因為目前金融交易的加密技術(shù)都有賴于素數(shù)；沒有可靠的加密技術(shù)，人類的經(jīng)濟活動將受到嚴(yán)重干擾。

用素數(shù)加密的步驟是，接收方將兩個大素數(shù)相乘，然后用這個積經(jīng)過一套復(fù)雜的處理，得到2個被稱為“公鑰”的數(shù)。接收方把公鑰傳給發(fā)送方。發(fā)送方用公鑰對信息進行加密，再傳回接收方。接收方收到密文后，須用原先相乘的那兩個素數(shù)（它們本來就是接收方提供的）來解密破譯。

讓兩個素數(shù)相乘，對于電腦是很容易的事情，但如果乘積足夠大的話，要把它還原回兩個素數(shù)，那計算量就非常大了。竊聽者即使截獲公鑰和密文，但由于他們不知道最初相乘的素數(shù)是哪兩個，他們也會一籌莫展。

i：虛數(shù)

數(shù)學(xué)上說，兩個正數(shù)的乘積是正數(shù)，兩個負(fù)數(shù)相乘積也是正數(shù)。那么，什么數(shù)的平方是-1呢？答案是虛數(shù) i。

第一個把負(fù)數(shù)的平方根稱為虛數(shù)的，是法國大數(shù)學(xué)家笛卡爾。但直到18世紀(jì)，數(shù)學(xué)家才發(fā)明用 i 來表示-1的平方根。

虛數(shù)無法出現(xiàn)在一般的數(shù)軸上，所以數(shù)學(xué)家另設(shè)了一條虛數(shù)軸，與原來的實數(shù)軸相交于0。這樣，虛數(shù)就可以在二維的平面上表示出來。虛數(shù)在描述交流電或在量子力學(xué)上描述波函數(shù)時很有用。

循著數(shù)學(xué)家發(fā)明虛數(shù)的先例，1843年愛爾蘭數(shù)學(xué)家哈密爾頓又發(fā)明了四元數(shù)，即在復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)上又添加了兩個獨立的維度。四元數(shù)一般可表示為a + bk + cj + di，其中a、b、c 、d是實數(shù)。如果復(fù)數(shù)可在二維平面上表示出來，那么四元數(shù)需要在四維空間才能表示。按這條思路，其實還可以創(chuàng)造八元數(shù)、十六元數(shù)……

李雅普諾夫指數(shù)：

長期天氣預(yù)報之不可能

氣象部門雖然可以預(yù)測明天、后天的天氣，但要想預(yù)測下個月的天氣，幾乎是不可能的，所以你手機上的天氣預(yù)報APP，最多只給你顯示未來一周的天氣。

長期的天氣預(yù)報之所以不可能，是因為大氣系統(tǒng)對于初始條件非常敏感。19世紀(jì)下半葉，俄國數(shù)學(xué)家亞歷山大·李雅普諾夫發(fā)明了一個指數(shù)來衡量一個系統(tǒng)對其初始條件的敏感程度。例如，請想像一下扔一個球。如果你知道扔的角度和速度，就可以計算出球會落在哪里。預(yù)測準(zhǔn)確度可以好到無需考慮像空氣阻力等次要因素的影響。即使你測量球的出射角度有點偏差，也關(guān)系不大。這說明，球的運動對初始條件是不敏感的。這種情況對應(yīng)的李雅普諾夫指數(shù)是0，或者可能是負(fù)值。

何種情況算對初始條件敏感呢？還是以扔球為例。倘若在地面上以同樣的速度拋擲一個球，你以30度角拋出去，最高只能拋到一棵樹的高度，但以30.00000001度拋出去，卻拋到太空的高度了（當(dāng)然，這只是假設(shè)）。一億分之一度的微小差異，卻造成如此懸殊的結(jié)果。這就是對初始條件敏感的一個例子。數(shù)學(xué)家把這類系統(tǒng)稱為混沌。

一個系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)高于零，就是不可預(yù)測的。天氣就是一個很好的例子，因為初始條件（例如氣壓或溫度）的微小差異，會隨著時間的推移呈指數(shù)式增長，就像美國氣象學(xué)家說的，“一只蝴蝶在巴西輕拍翅膀，可以導(dǎo)致一個月后在美國德克薩斯州起一場龍卷風(fēng)。”而要把初始條件測量絕對準(zhǔn)確，又非人力所及，這就讓預(yù)測失去了意義。

拉普拉斯極限：為什么我們不會被甩出太陽系？

1609年，偉大的天文學(xué)家開普勒出版了一本名為《新天文學(xué)》的書。書中的一個結(jié)論對當(dāng)時的世人可謂一枚重磅炸彈：行星繞太陽的軌道不是完美的圓形，而是橢圓形的。

這個結(jié)論被隨后的觀測所證實，所以接受起來倒也不難，但做出這一預(yù)言的核心——開普勒方程，卻讓很多天文學(xué)家暈頭轉(zhuǎn)向。

該方程描述的是從任意起始點開始，天體運動的坐標(biāo)與時間的關(guān)系。但要求得位置解，卻非常棘手。數(shù)學(xué)家花了150年的時間才找到解決這一問題的方法。這個費力的過程涉及一長串的數(shù)學(xué)表達式，稱為“級數(shù)展開”。然后，法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯證明，當(dāng)天體的軌道太扁時，這一方法將會失效。

數(shù)學(xué)上用偏心率來衡量一個橢圓偏離標(biāo)準(zhǔn)圓有多遠(yuǎn)。圓的偏心率為0，偏心率越大，橢圓越扁。拉普拉斯發(fā)現(xiàn)，對于偏心率大于0.66的行星軌道（現(xiàn)在稱為“拉普拉斯極限”），該方法求得的解已不再是橢圓，而是開放的曲線。

這意味著偏心率越高，軌道越不穩(wěn)定。幸運的是，地球軌道的偏心率只有0.02。離太陽越遠(yuǎn)的天體，通常具有更高的偏心率，比如冥王星的偏心率是0.25。

對于彗星那樣有著極高偏心率的天體，它們時而靠近太陽，時而扎進太陽系中最冷的邊緣地區(qū)。我們當(dāng)然誰都不想地球也這樣。

無窮大：

與有限性質(zhì)迥然有別

“億！”

“億億！”

“無窮大！”

“無窮大加一！”

……

你在孩提時一定跟同伴玩過看誰報出的數(shù)最大的游戲。對于我們生活的這個平凡的世界，恐怕沒有比無窮大的存在更離奇、更另類的了。在物理學(xué)上，當(dāng)計算涉及無限大的時候，多半是理論出了問題，令物理學(xué)家不得不回頭修改理論。歷史上，量子論的提出就肇始于計算黑體輻射時出現(xiàn)的令人困惑的無限大。

不過，無窮大的事物并不意味著不存在。例如，黑洞中心的奇點，其密度就是無窮大，但黑洞的存在已經(jīng)越來越成為不爭的事實（當(dāng)然，也有人一直堅持認(rèn)為可以通過量子引力理論來消除奇點密度的無窮大，可惜這樣的量子引力理論目前還不存在）。

在數(shù)學(xué)上，研究無窮大的數(shù)學(xué)分支是集合論。對無窮大的研究，揭示出它有許多不可思議的特征。

不妨考慮一下德國數(shù)學(xué)家希爾伯特在1924年提出來的一個讓人頭疼的問題：想象一個旅館里有無窮多個房間，房間里都住滿了人?，F(xiàn)在，又來了一群無窮多的新客人。旅館該如何處理？

換成你，或許會打出“本店今日已滿員，恕不接待新客”的牌子，但希爾伯特卻說，依照他的辦法，包你能把所有新客人都安排住下。辦法是這樣：把1號房間的客人挪到2號，把2號房間的客人挪到4號，把3號房間的客人挪到6號，依次類推，把n號房間的客人挪到2n號；這樣下去，所有奇數(shù)號房間都空出來了，你就可以把新客人安排住進去。如果再來一群無窮多的客人，你依然可以如法炮制。這意味著，一座有著無窮多房間的旅館，盡管已經(jīng)住滿了人，卻依然能夠接納無窮多的新客人。

這僅僅只是無窮大不可思議的特性之一。此外，還有諸如“部分可以等于整體”“一些無窮大似乎比另一些無窮大還要大”等等。說實話，對于這些有悖常理的特征，即便使用集合論研究起來也是一頭霧水。

至此，我們已大致領(lǐng)略了數(shù)王國里一些特殊而奇妙的數(shù)。有些涉及天文，有些涉及金融，有些涉及審美，有些涉及密碼術(shù)……其實，倘若結(jié)合科學(xué)人文的各個領(lǐng)域，那么數(shù)王國里幾乎每個數(shù)都能找到其不平凡之處，但限于篇幅，我們就不一一細(xì)說了。

拓展閱讀

如何定義數(shù)？

我們迄今對數(shù)的最好描述涉及數(shù)學(xué)上的集合論，尤其是空集的概念。像一個空文件袋一樣，一個空集意味著里面什么都沒有，所以這是獨一無二的，也是最容易定義的。我們把0定義為空集。

有了空集，就容易定義其它數(shù)了。按集合論的觀點，一切數(shù)學(xué)對象，包括集合本身，都可以成為集合里的元素。我們定義1是這樣一個集合，它的元素只有一個空集，用集合論的符號表示，就是{空集}。定義2是{空集， {空集}}，3是{空集， {空集， {空集}}}……這樣，整個自然數(shù)列都可以通過空集構(gòu)造出來。

本福德定律

本福德定律說的是，一些與自然現(xiàn)象或人類活動有關(guān)的數(shù)目列表中，從0到9出現(xiàn)的概率有一定的分布規(guī)律。比如說，假如你對世界各地河流的流域面積做個列表，或檢查一個公司的賬目，不論采用什么度量單位，你會發(fā)現(xiàn)以1開頭的數(shù)總是要比以其他數(shù)字開頭的數(shù)多。然后第二多的是以2開始的數(shù)，第三多的是以3開頭的數(shù)，如此等等。以1開頭的數(shù)占大約30.1%，只有大約4.6%的數(shù)是以9開頭的。

這一規(guī)律最初是由一位天文學(xué)家在19世紀(jì)提出來的。他在檢查人們使用的對數(shù)表時，意外地發(fā)現(xiàn)對數(shù)表中所有數(shù)以1起首的那幾頁相較其他頁破爛，說明這幾頁人們用得最多，與人類的活動關(guān)系最密切。后來，在1930年代，這條規(guī)律被美國工程師弗蘭克·本福德重新發(fā)現(xiàn)。

為什么會有這樣一條定律，至今還沒有一個滿意的解釋?？紤]到自然界中一些隨機的過程，譬如分子、原子的無規(guī)則運動，它們所產(chǎn)生的分布曲線是鐘形的，概率最大的往往是那些中間值，那就更奇怪了。

本福德定律雖然只是一條經(jīng)驗定律，但在某些方面很有用。譬如，美國國稅局曾用它識破了一些公司為逃稅而臨時拼湊的財務(wù)賬本上的破綻。2009年在某國的選舉中，一名候選人的得票數(shù)計分在很多選區(qū)都以7開頭，這引起人們的懷疑，最后查明這次選舉存在舞弊。