利用Tracker研究氣墊導(dǎo)軌上彈簧振子運動

史振宇 丁益民 張余夢 殷子棋 蔣富麗

(湖北大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院,湖北 武漢 430062)

Tracker是國外針對物理教學(xué)而開發(fā)的視頻跟蹤分析和建模工具軟件，可以手動或自動跟蹤對象的位置、速度和加速度等并動態(tài)顯示[1]。氣墊導(dǎo)軌上的彈簧振子運動可以看作水平方向無摩擦的直線運動，在彈簧質(zhì)量不能忽略的情況下,在氣墊導(dǎo)軌上研究彈簧振子的簡諧運動，將彈簧本身的動能考慮在內(nèi)，可以來研究短時間內(nèi)彈簧振子系統(tǒng)運動中的機械能守恒問題[2]。而對于系統(tǒng)中長時間的運動必然要考慮黏滯阻力的存在,一般阻尼系數(shù)的計算可從品質(zhì)因數(shù)的角度推算,當(dāng)阻尼很小時，采用最大速度衰減法的近似求得氣墊導(dǎo)軌的阻尼系數(shù)較為準(zhǔn)確方便[3]。本文通過錄制氣墊導(dǎo)軌上彈簧振子從簡諧運動到阻尼振動全過程的運動視頻,分不同時間段利用Tracker軟件較為準(zhǔn)確地追蹤氣墊導(dǎo)軌上彈簧振子運動中的位置，并得到其運動的相關(guān)數(shù)據(jù)。在此基礎(chǔ)上,通過建立坐標(biāo)軸、定標(biāo)桿，結(jié)合形象直觀的圖像、表格進行定量分析。研究短時間段彈簧振子運動圖像,驗證彈簧振子系統(tǒng)中的機械能守恒,并對長時間段的彈簧振子運動圖像進行函數(shù)擬合,研究其做阻尼振動的運動規(guī)律,并計算滑塊在氣墊導(dǎo)軌上運動中的阻尼系數(shù)。

1 實驗原理

氣墊導(dǎo)軌上彈簧振子的簡諧振動原理圖如圖1所示。兩彈簧l1,l2的勁度系數(shù)分別為k1=1.592N/m、k2=1.767N/m；質(zhì)量分別為m1=0.0075kg、m2=0.0075kg；滑塊質(zhì)量為M=0.2300kg。

圖1 氣墊導(dǎo)軌簡諧振動示意圖

(1)

(2)

對式(1)積分得

(3)

(4)

整個系統(tǒng)動能與勢能之和為

(5)

(6)

當(dāng)滑塊在平衡位置時,彈簧l1、l2伸長后長度分別為x1=0.569m、x2=0.529m,以滑塊在平衡位置處為原點，滑塊位置為x時，Δx1=x1+x、Δx2=x2-x.令滑塊在不同位置的機械能為E0、E1、E2、E3、E4、…,前后位置機械能的差為

ΔE=En-1-En(n=1,2,3,…)

(7)

當(dāng)ΔE=0時，系統(tǒng)機械能守恒，考慮到氣墊導(dǎo)軌上的阻力的影響，ΔE不可能為零，但ΔE越小，說明系統(tǒng)能量損失越小，實驗結(jié)果越精確。

2 實驗操作

(1) 實驗準(zhǔn)備。下載安裝Tracker軟件，按圖1安裝好實驗設(shè)備，固定好拍攝設(shè)備(手機或普通數(shù)碼相機均可)，視頻幀率為25幀以上即可得到較好的效果。

(2) 拍攝視頻。為了方便捕捉滑塊的運動，在滑塊中心部位貼上邊長為2cm的白色方塊紙片作為質(zhì)點對象。將滑塊移離平衡位置后釋放，讓滑塊開始運動，拍攝視頻。

(3) 導(dǎo)入并分析視頻。將拍攝的視頻導(dǎo)入Tracker,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)軸，選取合適的參照物確定定標(biāo)桿長度，本實驗以滑塊自身為參照物，設(shè)置定標(biāo)桿長度為0.16m。創(chuàng)建一個質(zhì)點，在視頻中確定好質(zhì)點對象，點擊搜索，軟件將自動搜索質(zhì)點對象運動中的位置，并描繪相應(yīng)的圖像。圖2為Tracker導(dǎo)出的滑塊x-t圖像,右側(cè)為相應(yīng)的數(shù)據(jù)。

圖2 滑塊的位移(x)-時間(t)圖像

3 數(shù)據(jù)處理及分析

分析圖2可以得出，在將近5個周期內(nèi)，系統(tǒng)的最大振幅基本相等，而在最大振幅處滑塊的速度為零，則此時系統(tǒng)的動能與勢能之和等于勢能大小，且系統(tǒng)的機械能趨近相等。為了更好地驗證系統(tǒng)的機械能守恒，利用Tracker分析得到滑塊運動的v-x圖像如圖3所示。

在經(jīng)歷了這樣特殊的課程之后，從新加坡中學(xué)走出來的學(xué)生具有非常敏銳的“批判性思維”和“辯證思維”，他們的邏輯思維能力快速成長，也同樣對于他們的學(xué)術(shù)課程大有助益。

圖3 滑塊的速度(v)-位移(x)圖像

從圖3中選取5個點，記錄質(zhì)點對象位置x與速度v，將選取的5組數(shù)據(jù)代入式(6)計算系統(tǒng)總的機械能，并按式(7)計算兩點之間的機械能損失量ΔE。取圖3第一行數(shù)據(jù)x0=0.158m,v0=0.379m·s-1為初始狀態(tài)，代入式(6)計算初始狀態(tài)的機械能E0得E0=0.559J。

表1 取5個點計算所得實驗數(shù)據(jù)

在數(shù)據(jù)表格中，每10行記錄的數(shù)據(jù)時間間隔為0.333s。從實驗結(jié)果可以看出，系統(tǒng)的振動在相鄰的幾個周期內(nèi)損失的機械能ΔE非常小，可以近視看作總機械能守恒的簡諧運動。但時間間隔越大時，機械能損失也越大。

由于阻力不可避免，隨著時間的推移，系統(tǒng)的機械能也隨之減小，為了完整地研究這種振動，可利用Tracker記錄較長時間的振動圖像，進一步分析系統(tǒng)的阻尼系數(shù)。圖4是Tracker記錄滑塊運動2分鐘的x-t圖像。隨時間的增加，滑塊運動的最大振幅明顯減小，說明系統(tǒng)在長時間的運動過程中有較為明顯的機械能損失。

圖4 滑塊的位移(x)-時間(t)圖像

若考慮氣墊導(dǎo)軌上的粘滯阻力，

Ff=-bv

(8)

其與滑塊運動的速度成正比，b為阻尼系數(shù)。

-(k1+k2)x-bv=Ma+m0a

(9)

(10)

令M+m0=M0,式(10)可寫為

(11)

其解為

x=Ae-β tsin(ωdt+θ)

(12)

可得

(13)

對式(12)求導(dǎo)得

v=Ae-β t(-β)sin(ωdt+θ)+Ae-β tcos(ωdt+θ)ωd

(14)

將式(13)代入式(14)得

(15)

當(dāng)x=0時，滑塊處于平衡位置

v=ωdAe-β t

(16)

由式(16)可知在平衡位置處滑塊速度關(guān)于時間呈現(xiàn)指數(shù)衰減。利用Tracker分析得到滑塊的v-t圖，在平衡位置處，滑塊的最大速度隨時間的衰減如圖5所示。

圖5 滑塊的速度(v)-時間(t)圖像

4 結(jié)語

綜上所述，氣墊導(dǎo)軌上的彈簧振子運動在短時間內(nèi)機械能損失極小，可以近似地看作機械能守恒的簡諧振動。但對于其長時間的運動，必需要考慮氣墊導(dǎo)軌上阻尼的存在。利用Tracker軟件對氣墊導(dǎo)軌上彈簧振子運動進行分析，可以精確記錄氣墊導(dǎo)軌上滑塊運動的軌跡，并直接對其運動數(shù)據(jù)進行采樣，且數(shù)據(jù)量大，方便選擇處理。該方法方便、快捷、直觀、高效，其實驗結(jié)果與理論值相比誤差很小，具有很高的推廣價值。