從一道幾何題的教學(xué)設(shè)計(jì)看探究式學(xué)習(xí)

屠長娥

摘要：探究式學(xué)習(xí)是學(xué)生了解和認(rèn)識(shí)這個(gè)世界的重要途徑，是學(xué)生主動(dòng)去發(fā)現(xiàn)問題，并通過動(dòng)手實(shí)踐操作，研究問題最終達(dá)到解決問題。本文主要從一道具體的數(shù)學(xué)探究題的教學(xué)設(shè)計(jì)討論如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生自主進(jìn)行探究式學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：新課標(biāo)；探究式學(xué)習(xí)；案例分析；K字模型

探究式學(xué)習(xí)是指在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)類似于學(xué)術(shù)研究的情境，學(xué)生通過動(dòng)手做、做中學(xué)主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題，實(shí)驗(yàn)、操作、調(diào)查、收集與處理信息、表達(dá)與交流等探索活動(dòng)，獲得知識(shí)、培養(yǎng)能力、發(fā)展情感與態(tài)度，特別是發(fā)展探究精神與創(chuàng)新能力。這種學(xué)習(xí)方式是通過親身探究獲得的知識(shí)是學(xué)生自己主動(dòng)建構(gòu)起來的，是學(xué)生真正理解、真正相信的、真正屬于學(xué)生自己的。而新課標(biāo)倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與，樂于探究，勤于動(dòng)手。這與探究式學(xué)習(xí)的意義不謀而合。那么，下面從一到具體的探究式數(shù)學(xué)題的教學(xué)設(shè)計(jì)討論在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究式學(xué)習(xí)。

一、問題情境，揭示探究目的

在 中， 點(diǎn)D為直線BC上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF連CF接試問：（1）BC與CF的位置關(guān)系；（2）BC，CD，CF之間的數(shù)量關(guān)系。

在教學(xué)實(shí)施的過程中并未向?qū)W生提供圖形。所以，在學(xué)生剛接觸這道題時(shí)會(huì)覺得難以下手。那么如何激發(fā)他們的求知欲，做到主動(dòng)發(fā)現(xiàn)，自己探究呢？為此，借助了幾何畫板這一數(shù)學(xué)工具，通過變換點(diǎn)D的不同位置，在運(yùn)動(dòng)過程中度量 的數(shù)值，發(fā)現(xiàn)BC與CF位置關(guān)系是： ，如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，有BC=CD+CF；如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上時(shí)，DC=BC+CF；如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，CF=BC+DC.結(jié)論是通過幾何畫板探究出來了，那么如何證明呢？

圖1 圖2 圖3

動(dòng)手操作，深入研究

1.引導(dǎo)學(xué)生正確分類

（1）通過幾何畫板的演示，你認(rèn)為點(diǎn)D的位置可能有幾種情況？

生答：三種，在點(diǎn)B、C之間，在點(diǎn)B的左邊，在點(diǎn)C的后邊。

希爾伯特曾說：“在討論數(shù)學(xué)問題時(shí)，我相信特殊化比一般化起著更為重要的作用。”由此在上課時(shí)可以從特殊到一般設(shè)置問題進(jìn)行引導(dǎo)。

（2）這三種情況中有沒有位置比較特殊的，你能畫出這種情況

并直接出結(jié)論嗎？

生答：當(dāng)點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)時(shí)。

2.特殊位置，觀察思考

如右圖，易知 .所以 .

3.由特殊到一般，證明結(jié)論

剛剛的點(diǎn)D在特殊位置時(shí)，我們是通過證明 得到結(jié)論的，那么這種方式能不能應(yīng)用在其他位置上證明呢？你能把其他情況也動(dòng)手畫一畫嗎？

三、小組合作，交流討論

1.以三人為一組（意圖：每個(gè)人負(fù)責(zé)點(diǎn)D的一個(gè)位置，讓每位學(xué)生都參與探究活動(dòng)），進(jìn)行組內(nèi)討論，交流與表達(dá)自己的看法；

2.各組推薦一個(gè)代表匯報(bào)討論情況，交流證明方法；

3.學(xué)生得到點(diǎn)D的不同位置時(shí)，BC與CF的位置關(guān)系以及BC，CD，CF之間的數(shù)量關(guān)系的完整證明過程。

四、歸納總結(jié)，提煉方法

1.在這個(gè)問題探究過程中，我們是如何入手的？怎么采取分類情況的？

生：先是利用幾何畫板動(dòng)手操作，根據(jù)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)的不同位置進(jìn)行分類。由此可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)幾何題中涉及到動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要進(jìn)行分類討論。

2.在證明過程中，我們運(yùn)用到什么方法？想到這種證明方法的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？

生：證明三角形全等，關(guān)鍵是題目中給出的等腰三角形有腰相等，以及直角就會(huì)有兩角互余。

3.根據(jù)本道題，你能歸納出什么樣的方法？

生：由等腰三角形或者直角三角形可以構(gòu)造三角形全等或者相似解決一些線段之間的關(guān)系。

五、數(shù)學(xué)思考

1.如圖4，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，延長BA交CF于點(diǎn)G，連接GE。若已知 ， ，求出GE的長。

師：這是上面的拓展延伸，你能利用歸納的方法（三角形全等）來解決這一問題嗎？

圖4 圖5

展示學(xué)生解決成果：如圖5，過點(diǎn)A作 于點(diǎn)H，過點(diǎn)E作 于點(diǎn)M， 于點(diǎn)N. 由上面的結(jié)論，可得 又 ， 是矩形，

又 是正方形， 又

又 .

2.總結(jié)提煉：這道題中不僅僅用到了前面已經(jīng)證明的結(jié)論，而且利用等腰直角三角形構(gòu)造出的兩個(gè)三角形全等的證明方法，這種圖形被抽象成一種數(shù)學(xué)模型?——K字模型.數(shù)學(xué)新課標(biāo)要求學(xué)生要學(xué)會(huì)從復(fù)雜圖形中抽象出基本圖形，并且能理清基本圖形中的基本元素與其關(guān)系，利用直觀來思考。而上面抽象出來的K字模型就是其中一種基本圖形。具體如下：如圖， 于點(diǎn)B， 于點(diǎn)D，點(diǎn)P是BD上的一點(diǎn)，且 .在此圖形中，易證： .當(dāng)AP與PC不相等時(shí)，可以得到 .

拓展延伸

1.如圖6所示，在直角 中， ，20B=30A，點(diǎn)A在反比例函數(shù) 的圖像上，若點(diǎn)B在反比例函數(shù) 的圖像上，則K的值為 . （2017年吳中區(qū)初二數(shù)學(xué)期末考試題）

圖6 圖7

解析：在這道題中明顯存在一個(gè)直角三角形，那么不妨嘗試用K字模型。如圖7，分別過點(diǎn)A、B作X軸的垂線，交X軸于點(diǎn)C、D.則 ，相似比為 ，則 即 ，又因?yàn)?，所以 .

2.如圖，二次函數(shù) 的圖像分別與X軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，與Y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1.

求二次函數(shù)解析式，A、B的坐標(biāo)；

若點(diǎn) 是Y軸上一點(diǎn)， ，將點(diǎn)Q繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ，得到點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)E恰好在該二次函數(shù)圖像上時(shí)，求t得值；（2017年江都區(qū)一模）

解析：（1）根據(jù)頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1，可得 從而二次函數(shù)解析式為

（2）如圖，過點(diǎn)p作x軸的平行線GH，過點(diǎn)E作 ，垂足記為H，過點(diǎn)Q作 ，垂足記為G。由K字模型可知 .則 ，又因?yàn)镻（0，t），Q（-5，0），所以 代入二次函數(shù)解析式得 ，解得 （舍）。

從上面的一道 字模型幾何題的教學(xué)設(shè)計(jì)，可以看到在設(shè)計(jì)探究式學(xué)習(xí)課程時(shí)。首先，設(shè)置問題情境，明確探究的目標(biāo)。問題情境是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，積極探求的心理取向，是為之后的學(xué)生學(xué)習(xí)過程服務(wù)的，是學(xué)生思維發(fā)展的奠基石。需要注意設(shè)置問題情境時(shí)不能流于形式主義，只為了吸引學(xué)生眼球，這樣不僅不能取得良好教學(xué)效果，也會(huì)讓學(xué)生呢過感覺數(shù)學(xué)的華而不實(shí)。然后，向?qū)W生拋出問題。教師所提的問題應(yīng)該是基于探究目標(biāo)和幾何直觀，由淺入深，層層遞進(jìn)，讓學(xué)生有思考問題、回答問題的興趣，從而達(dá)到引導(dǎo)學(xué)生分析問題的目的。其次，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作。教育家陶行知提出“在做中學(xué)”的教育思想，國家科學(xué)教育改革項(xiàng)目?—HIBL把“做中學(xué)”定義為基于動(dòng)腦、動(dòng)手的科學(xué)探究，讓學(xué)生在動(dòng)手做學(xué)習(xí)中建構(gòu)自己的科學(xué)概念和認(rèn)知模型。因此，在教學(xué)活動(dòng)中應(yīng)該加強(qiáng)學(xué)生的操作和動(dòng)手活動(dòng)，以此激發(fā)學(xué)生的思維，加深對(duì)知識(shí)的理解和記憶。再次，組織學(xué)生合作交流，表達(dá)。英國教育家哈里麥多克斯在《學(xué)習(xí)方略》中提出“小組合作交流對(duì)于那些學(xué)習(xí)速度較慢的人來說具有‘加快作用”。在合作交流的過程中，學(xué)生的思維是開放的，可以吸收不同的思路，并且通過交流使片面的個(gè)人結(jié)論和思路變得豐富起來，也使學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解逐漸完善，最終求知目的。最后，讓學(xué)生歸納小結(jié)。在一節(jié)課結(jié)束時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)從知識(shí)點(diǎn)和方法讓進(jìn)行歸納與反思，這樣可以培養(yǎng)學(xué)生的概括能力，同時(shí)把所學(xué)的知識(shí)與方法更加系統(tǒng)化地理解記憶，把所學(xué)的方法應(yīng)用到此類問題上以拓展學(xué)生思維。

總之，在教學(xué)過程中開展探究式學(xué)習(xí)方式，可以使學(xué)生充分發(fā)揮主體作用。學(xué)生在探究時(shí)利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過參與課堂活動(dòng)，與他人合作交流，經(jīng)歷挫折與失敗，成功與興奮，獲得自信感，也同時(shí)認(rèn)識(shí)到自己的不足，也能激發(fā)學(xué)生自主探究，成為新知的發(fā)現(xiàn)者，體會(huì)理解科學(xué)的本質(zhì)與精神?！笆谌艘贼~不如授人以漁”，教會(huì)學(xué)生知識(shí)，不如教會(huì)學(xué)生探究知識(shí)的方法，這就是探究式學(xué)習(xí)方式的本質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

[1]任長松《新課標(biāo)學(xué)習(xí)方法的變革》，人民教育出版社.

[2]焦建林《初中數(shù)學(xué)探究式教學(xué)研究》，理科考試研究（數(shù)學(xué)版），2015.