對(duì)含參量反常積分一致收斂性的教學(xué)法探討

白 梅，魏紅燕

(周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 周口 466001)

含參量反常積分是數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的重要內(nèi)容，因其牽扯到多元函數(shù)的積分問題，所以在教學(xué)中有很大難度，需要探討易于學(xué)生接受的方式進(jìn)行講解，且有文獻(xiàn)[1] 對(duì)此部分的教學(xué)進(jìn)行探究, 文獻(xiàn)[1] 中研究了從定義出發(fā)進(jìn)行講授，下面借鑒類比的思想[2-3]探究含參量反常積分的教學(xué), 更易于學(xué)生接受.

1 含參量反常積分與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系

首先建立含參量反常積分與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之間的聯(lián)系：

(1)

這樣就把含參量無窮限反常積分分布到可列個(gè)有限區(qū)間，從而變成無限個(gè)含參量正常積分的和，與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之間建立起了聯(lián)系，從而在以下方面進(jìn)行聯(lián)系：

第一，判別方法的一致性. 從函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂判別法之柯西收斂準(zhǔn)則、余項(xiàng)上確界極限為0、魏爾斯特拉斯M判別法、阿貝爾判別法、狄利克雷判別法，依次過渡到含參量反常積分的一致收斂性判別法.

第二，證明方法的一致性. 在式(1)中建立了含參量反常積分與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)間的關(guān)系，一致收斂的判別方法可以直接類比得到，因其研究方法平行，所以在定理的證明思路上亦可借鑒進(jìn)行推導(dǎo).

2 教學(xué)策略

2.1 按教材編排順序直接講授弊端

(1)學(xué)生不理解為什么要研究含參量反常積分的一致收斂性，會(huì)對(duì)知識(shí)產(chǎn)生孤立感，加之理論抽象，不易于學(xué)生理解.

(2)直接進(jìn)行定理結(jié)論講解，學(xué)生對(duì)定理?xiàng)l件的產(chǎn)生感覺突兀，不便學(xué)生熟記定理?xiàng)l件.

(3)證明方法沒有借鑒，思路不容易分析.

2.2 教學(xué)建議

為此，筆者采用如下教學(xué)方法：

第一，人身安全。大多數(shù)藝術(shù)院校學(xué)生的特點(diǎn)為思維活躍，個(gè)性突出，行為大膽。這就增加了產(chǎn)生摩擦事件發(fā)生的概率。由于受到學(xué)校限制，大部分學(xué)生在校住宿，還有少部分學(xué)生選擇校外住宿，可能會(huì)存在安全隱患。具體來講，學(xué)生存在的人身安全問題主要為住宿、上課、出行等。針對(duì)這三個(gè)方面，學(xué)校應(yīng)采取一系列的管理措施。比如輔導(dǎo)員在每晚規(guī)定時(shí)間檢查宿舍人數(shù)、做好寢室防火監(jiān)督、體育課做好防護(hù)措施、要求學(xué)生夜間結(jié)伴出行、規(guī)范校園車輛等。

(1)鞏固舊知，回顧銜接.由第1部分的分析，本節(jié)課采用銜接導(dǎo)入法與激疑導(dǎo)入法相結(jié)合，根據(jù)知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯聯(lián)系，找準(zhǔn)新舊知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系，以舊引新或溫故知新.通過對(duì)已知知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)，喚起學(xué)生已有知識(shí)中能對(duì)新內(nèi)容的講授產(chǎn)生積極作用的知識(shí)，引入時(shí)注意以下幾點(diǎn)：

第一，找準(zhǔn)新舊知識(shí)點(diǎn)的連接點(diǎn). 詳細(xì)引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)式(1)，建立函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與含參量反常積分之間具體的聯(lián)系，兩者間可以通過構(gòu)造一個(gè)嚴(yán)格遞增的數(shù)列來相互表示.

第二，搭橋鋪路，巧設(shè)契機(jī). 在構(gòu)建了新舊知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系后，復(fù)習(xí)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂判別法及一致收斂的重要作用時(shí)，要設(shè)置難點(diǎn)和疑問，有疑才有問、有思、有究，激發(fā)學(xué)生的思考欲，使學(xué)生的思維盡快得到啟發(fā)，為傳授新知識(shí)營(yíng)造契機(jī). 具體可以從兩方面設(shè)置疑問，如：復(fù)習(xí)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)柯西收斂準(zhǔn)則判別一致收斂性時(shí)，設(shè)置疑問“既然兩者有式(1)這樣的聯(lián)系，那么含參量反常積分判斷一致收斂性有沒有這樣的準(zhǔn)則呢？如果有，條件有沒有不一樣的地方？”

(2)引導(dǎo)過渡，類比新知.在銜接了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和含參量反常積分后，本節(jié)課的核心重點(diǎn)內(nèi)容即引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂判別法過渡到含參量反常積分的一致收斂判別法，下面以一致收斂的柯西準(zhǔn)則為例，詳細(xì)分析如何類比.

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂柯西準(zhǔn)則[4]：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)在數(shù)集D上一致收斂的充要條件為：對(duì)任給的正數(shù)ε，總存在某正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，對(duì)一切x∈D和一切正整數(shù)p，都有|un+1(x)+un+2(x)+…+un+p(x)|<ε.

|un+1(x)+un+2(x)+…+un+p(x)|=

n+1>N,n+p+1>N，由{An}的遞增性及首項(xiàng)為c，有An+1>AN>c,An+p+1>AN>c，令A(yù)N為M，則M>c，此時(shí)An+1,An+p+1為任大于M的兩個(gè)數(shù)，用新的符號(hào)A1,A2替換，即類比得出含參量反常積分積分一致收斂的柯西準(zhǔn)則，即文獻(xiàn)[4] 中定理19.7的結(jié)果.

在詳細(xì)分析了一致收斂的柯西準(zhǔn)則后，使學(xué)生熟悉了類比的思想，并得出了新知，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，在此，可設(shè)置疑問，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)其他的一致收斂判別法能否如此類比到含參量反常積分？再次激發(fā)學(xué)生求知欲，促進(jìn)學(xué)生自己動(dòng)手動(dòng)腦的實(shí)踐性.

(3)承上啟下，啟發(fā)思考.在講完含參量反常積分一致收斂判別法后，本節(jié)課接近尾聲，可以采取聯(lián)系式和懸念式相結(jié)合的方法進(jìn)行結(jié)課，即此時(shí)可以把下一次課的內(nèi)容對(duì)學(xué)生加以引導(dǎo)啟發(fā)，設(shè)置一些和本節(jié)課和下節(jié)課都相關(guān)的問題，如“我們學(xué)習(xí)了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性后，研究了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)，并且知道函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性是分析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)連續(xù)、可微、可積性的重要工具，由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和含參量反常積分的關(guān)系，是否也可以用類比的方法推出含參量反常積分的性質(zhì)呢？”采取引起學(xué)生聯(lián)想和思索的結(jié)課方式，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和積極性，且使學(xué)生對(duì)下一節(jié)課的內(nèi)容有一種感知，方便下一次課的順利進(jìn)行.

3 教學(xué)評(píng)價(jià)

本節(jié)課采用了將含參量反常積分與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)聯(lián)系起來，類比函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂判別法，得到含參量反常積分一致收斂判別法的教學(xué)方法，和傳統(tǒng)的直接講授法相比具備以下優(yōu)點(diǎn)：

第一，以舊帶新，自然導(dǎo)入，使學(xué)生在回顧舊知時(shí)主動(dòng)思考，調(diào)動(dòng)了學(xué)習(xí)的積極性，能在輕松愉快的氛圍中學(xué)習(xí)知識(shí)，避免了上臺(tái)就講，開板就唱，未充分調(diào)動(dòng)學(xué)生大腦思考的弊端.

第二，聯(lián)系式教學(xué)，加強(qiáng)了教學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系，使學(xué)生融會(huì)貫通地獲得知識(shí)，并學(xué)會(huì)用學(xué)過的知識(shí)分析、解決一些問題，避免了直接講解定理結(jié)論及證明時(shí)學(xué)生產(chǎn)生的對(duì)知識(shí)的孤立感.

第三，懸念式結(jié)課，在課程即將結(jié)束時(shí)，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系，對(duì)下節(jié)課的內(nèi)容設(shè)置疑問，激發(fā)了學(xué)生的求知欲，使學(xué)生能在課后自覺的深入思考、探究問題，并有助于下一節(jié)課的順利進(jìn)行.