圓柱體渦激振動(dòng)的高階非線性振子模型研究

康 莊， 張 橙， 付 森， 徐 祥

(哈爾濱工程大學(xué) 深海工程技術(shù)研究中心，哈爾濱 150001)

渦激振動(dòng)現(xiàn)象廣泛存在于許多工程領(lǐng)域中，例如海洋油氣勘探中的立管、橋梁懸索、天線等[1]。當(dāng)一定流速的流體繞過(guò)柱形結(jié)構(gòu)物時(shí)，會(huì)在其后方產(chǎn)生周期性的泄渦現(xiàn)象，漩渦的不斷產(chǎn)生和脫落會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生周期性變化的升力和阻力，使其發(fā)生橫流向和順流向的渦激振動(dòng)，渦激振動(dòng)是結(jié)構(gòu)產(chǎn)生疲勞損傷的重要原因之一。

對(duì)圓柱進(jìn)行渦激振動(dòng)進(jìn)行研究是對(duì)立管等柱形結(jié)構(gòu)物渦激振動(dòng)分析的基礎(chǔ)，近些年大量研究者通過(guò)開(kāi)展模型試驗(yàn)或采用CFD(Computational Fluid Dynamics)數(shù)值模擬以系統(tǒng)研究圓柱渦激振動(dòng)中的諸多現(xiàn)象及產(chǎn)生機(jī)理等，如Govardhan等[2-6]等。這兩種方法的研究?jī)?nèi)容較為豐富，但模型試驗(yàn)的成本較高，CFD數(shù)值模擬又較為復(fù)雜，特別是在高雷諾數(shù)情況下的數(shù)值模擬仍是一個(gè)難題，其目前還難以滿足工程的實(shí)際需求，因此通過(guò)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并結(jié)合試驗(yàn)數(shù)據(jù)選取合適的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)來(lái)快速預(yù)報(bào)渦激振動(dòng)的一些重要特性得到了廣泛的關(guān)注。

Bishop等[7]最先提出了利用自激自限的Van der Pol方程來(lái)模擬渦激振動(dòng)中流體對(duì)結(jié)構(gòu)的升力作用。之后Hartlen等[8]對(duì)Bishop等的模型進(jìn)行了改進(jìn)，將結(jié)構(gòu)振動(dòng)的速度與Van der Pol方程進(jìn)行耦合，其改進(jìn)的模型是最早提出的尾流振子模型。在他們的研究基礎(chǔ)上，Griffin等[9-11]都對(duì)尾流振子模型進(jìn)行了研究并取得了一定的成果，這也使得尾流振子模型逐漸成為預(yù)報(bào)圓柱體渦激振動(dòng)的最經(jīng)典的模型。但他們的研究大多都只考慮了單自由度渦激振動(dòng)，而渦激振動(dòng)中的流向振動(dòng)具有其高頻特性及對(duì)橫向振動(dòng)產(chǎn)生的耦合作用，在渦激振動(dòng)中所產(chǎn)生的作用是不可忽視的，特別是對(duì)于較低質(zhì)量比的結(jié)構(gòu)物。

Srinil等[12]通過(guò)采用兩個(gè)duffing方程和兩個(gè)Van der Pol方程來(lái)分別模擬結(jié)構(gòu)振子和流體振子的運(yùn)動(dòng)，但其得到的脈動(dòng)升力與脈動(dòng)阻力之間不存在聯(lián)系，難以充分考慮流向振動(dòng)與橫向振動(dòng)的耦合作用。秦偉等[13]利用離散點(diǎn)渦的方法推導(dǎo)了圓柱渦激振動(dòng)所受的流體力，再結(jié)合線性振動(dòng)方程與經(jīng)典尾流振子方程，得到了一種可以計(jì)算雙自由度渦激振動(dòng)相關(guān)特性的模型，但其建立的雙自由度渦激振動(dòng)預(yù)報(bào)模型中的線性化假設(shè)過(guò)多，使得最后預(yù)報(bào)結(jié)果的精度仍有提高的空間。

為定性且定量預(yù)報(bào)圓柱雙自由度渦激振動(dòng)幅值響應(yīng)、頻率及運(yùn)動(dòng)軌跡等重要特性，本文首先基于拉格朗日第二類動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)了雙自由度渦激振動(dòng)方程，將傳統(tǒng)的線性結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程改為了非線性振動(dòng)方程以提高預(yù)報(bào)精度；然后利用畢奧-沙伐定理、圓定理以及非定常流動(dòng)的卜拉休斯合力公式推導(dǎo)了圓柱所受的脈動(dòng)流體力，得出了脈動(dòng)升力與脈動(dòng)阻力間的數(shù)學(xué)關(guān)系，減少了方程數(shù)量，有利于提高計(jì)算效率；最后引入一個(gè)包含五階氣動(dòng)阻尼項(xiàng)的高階Van der Pol方程來(lái)模擬流體振子，此方程可以更好地模擬遲滯現(xiàn)象以及低質(zhì)量比條件下振動(dòng)幅值的超上端分支。在此基礎(chǔ)上提出了一種用以準(zhǔn)確預(yù)報(bào)圓柱雙自由度渦激振動(dòng)幅值等重要特性的高階非線性振子模型，然后對(duì)模型在不同質(zhì)量比和阻尼比下進(jìn)行了驗(yàn)證與分析，并對(duì)模型中各參數(shù)進(jìn)行了敏感性分析，系統(tǒng)研究了該模型的預(yù)報(bào)特點(diǎn)。

1 高階非線性振子模型的建立

1.1 非線性結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程

結(jié)構(gòu)的渦激振動(dòng)具有很強(qiáng)的非線性特征，以彈性支承方式來(lái)固定圓柱時(shí)一般會(huì)用到多個(gè)彈簧，特別是在雙自由度的渦激振動(dòng)中，圓柱帶動(dòng)彈簧運(yùn)動(dòng)時(shí)已經(jīng)不再是滿足線性條件。圓柱雙自由度渦激振動(dòng)的模型，如圖1所示。四個(gè)彈簧的耦合作用使其運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)出非線性特征。

對(duì)于圖1中的振動(dòng)模型，設(shè)四個(gè)彈簧的彈性系數(shù)均為k，其原始長(zhǎng)度均為a，圓柱位于中心的平衡位置時(shí)各彈簧均為原長(zhǎng)狀態(tài)，則對(duì)于該系統(tǒng)，其動(dòng)能為

(1)

勢(shì)能為

圖1 圓柱雙自由度渦激振動(dòng)的模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of VIV of a cylinder with two DOF

(2)

則拉格朗日函數(shù)為

(3)

(4)

式中:qj分別為X和Y; 對(duì)式(4)求解即可得到X和Y方向的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程

(5a)

(5b)

可以發(fā)現(xiàn)式(5a)和式(5b)是非線性耦合方程，其非線性主要體現(xiàn)在彈簧的幾何非線性上，此公示較為復(fù)雜，難以直接求解，需要對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)。應(yīng)用二元函數(shù)的泰勒展開(kāi)公式對(duì)上式中的非線性項(xiàng)進(jìn)行三階展開(kāi)，得到

(6a)

(6b)

同時(shí)，考慮到kx=ky=2k，m=ms+ma，c=cs+cf。

(7a)

(7b)

可以發(fā)現(xiàn)改進(jìn)的非線性結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程包含X3，XY2，Y3以及YX2，其中X3和Y3主要模擬振動(dòng)的軸向幾何非線性，XY2和YX2主要模擬橫向和流向振動(dòng)的耦合非線性，并且本文改進(jìn)推導(dǎo)的方程將軸向幾何非線性參數(shù)和耦合非線性參數(shù)聯(lián)系了起來(lái)，減少了非線性項(xiàng)中的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，有利于提高計(jì)算的精度和減小計(jì)算量。

1.2 流體力推導(dǎo)

將貼近圓柱表面的一層區(qū)域稱為近壁控制域，近壁控制域以外的區(qū)域稱為尾渦域，如圖2所示。設(shè)在某一時(shí)刻近壁控制域有m個(gè)控制渦，尾渦域有n個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)渦，則整個(gè)流體域內(nèi)一共有N=m+n個(gè)離散點(diǎn)渦。

圖2 圓柱周圍流場(chǎng)劃分示意圖Fig.2 Schematic diagram of flow division around the cylinder

由N個(gè)點(diǎn)渦與均勻來(lái)流疊加，并結(jié)合圓柱壁面映像—圓定理可得到圖2中流場(chǎng)復(fù)勢(shì)為

(8)

由非定流動(dòng)的卜拉休斯合力公式可知圓柱所受流體力為

(9)

(10a)

(10b)

式中：xk和yk為第k個(gè)渦位置與直徑D的比值，即無(wú)量綱化的位置。

對(duì)于上式中的方括號(hào)部分，將其分別記為fD1和fL1，在控制域內(nèi)，點(diǎn)渦的平均速度可以忽略不計(jì)，所以只有尾渦域的點(diǎn)渦對(duì)其產(chǎn)生作用。在尾渦域中，認(rèn)為uk=U，vk=0，即點(diǎn)渦沿順流向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)由于尾渦域中點(diǎn)渦到圓心距離的平方增加很快，并且點(diǎn)渦的橫向位置yk較小，將其近似為0，則fD1和fL1可以近似表達(dá)為

fD1=0

(11a)

(11b)

對(duì)于尾渦域中的總渦量Γn(t)，由于正向和反向點(diǎn)渦交替進(jìn)入尾渦域，其總渦量表現(xiàn)為周期性地增大和減小的狀態(tài)，并且其頻率為泄渦頻率ωst，峰值為Γ，出于簡(jiǎn)化的目的，用余弦曲線來(lái)描述這一過(guò)程，則

fD1=0

(12a)

fL1=ρΓUcos(2πωstt)

(12b)

(13a)

(13b)

式中：xC和yC為等效控制渦質(zhì)心的無(wú)量綱位置；考慮到y(tǒng)C在y軸的正負(fù)半軸振動(dòng)，而xC只在x軸正半軸作微幅變化，因此只考慮yC的作用。

根據(jù)渦的生滅原理，整個(gè)流場(chǎng)的渦量是保持不變的，因此等效控制渦的渦量變化與尾渦域的渦量變化過(guò)程相反，因此可得到

ΓC=-Γcos(2πωstt)

(14)

進(jìn)一步得到

(15)

等效控制渦的大小與尾渦域的渦強(qiáng)大小相反，并且等效控制渦取代的是剛進(jìn)入尾渦域的點(diǎn)渦的位置，因此yC在尾渦域正向點(diǎn)渦與反向點(diǎn)渦的位置間交替變換，也可以用余弦函數(shù)來(lái)近似表示其變化過(guò)程，并且認(rèn)為其幅值與穩(wěn)定點(diǎn)渦的渦強(qiáng)有關(guān)，但由于其具體大小未知，需要引入由試驗(yàn)確定的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)α，進(jìn)而可以將其表示為

(16)

進(jìn)一步可得到

(17a)

fL2=0

(17b)

結(jié)合推導(dǎo)得到的fD1，fL1，fD2以及fL2，再引入無(wú)量綱尾流變量q=2CL/CL0，CL0為參考升力系數(shù)，它表示固定圓柱在流場(chǎng)中所受的升力，結(jié)合FL=ρDU2CL/2，得到4Γcos(2πωstt)=UDCL0q，因此FX和FY為

(18a)

(18b)

1.3 Van der Pol方程的高階改進(jìn)

經(jīng)典尾流振子模型利用Van der Pol方程來(lái)模擬尾流振子的運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)acchinetti等[14]在其研究中認(rèn)為Van der Pol方程的激勵(lì)項(xiàng)與橫流向振動(dòng)的加速度有關(guān)，Dolatabadi等[15]研究發(fā)現(xiàn)經(jīng)典尾流振子模型可以較好地預(yù)報(bào)高質(zhì)量比情況下的圓柱渦激振動(dòng)響應(yīng)，但在低質(zhì)量比條件下，經(jīng)典尾流振子模型預(yù)報(bào)得到的值要偏小，因此有必要對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)。

本文根據(jù)Landl[16]提出的一種高階Van der Pol方程模型，結(jié)合Farshidianfar對(duì)單自由度渦激振動(dòng)的高階尾流振子模型的研究，對(duì)經(jīng)典尾流振子模型進(jìn)行了高階改進(jìn)。Landl的高階模型包括了一個(gè)Van der Pol阻尼項(xiàng)和一個(gè)五階氣動(dòng)阻尼項(xiàng)，具體公式為

(19)

式中：Ωr為結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率；α′,β′,λ′和b為經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，需要根據(jù)不同的具體問(wèn)題而選擇。將其轉(zhuǎn)化為Van der Pol方程的形式，令α′=-ε，β′/ε=-β，λ′/ε=λ，再結(jié)合Van der Pol方程可以得到

(20)

可以發(fā)現(xiàn)該模型方程與經(jīng)典Van der Pol方程是相通的，當(dāng)β=1，λ=0時(shí)此方程便是經(jīng)典Van der Pol方程，此方程通過(guò)調(diào)整β和λ的值便可適當(dāng)?shù)卦黾覸an der Pol振子的振動(dòng)幅值，可以有效地改善經(jīng)典Van der Pol方程難以準(zhǔn)確模擬出低質(zhì)量比條件下的高振動(dòng)幅值情況。

1.4 耦合非線性振子方程

(21a)

(21b)

(21c)

式中：M=CD0/(32π2St2μ);N=CL0/(16π2St2μ);ξ=cs/(2msωn)為圓柱的黏性阻尼比；ωn為固有頻率，μ為質(zhì)量比參數(shù)，μ=(ms+ma)/ρD2;δ=ωn/ωst為頻率比;γ=cf/(4πSt)，根據(jù)Ogink等[17]的研究將其取為0.5；η為圓柱振動(dòng)的幾何非線性參數(shù)，本文通過(guò)與試驗(yàn)結(jié)果擬合將其取為0.2；h為無(wú)量綱形式的耦合參數(shù)，根據(jù)Facchinetti等的研究將其取為12；ε為Van der Pol方程的阻尼參數(shù)，與圓柱的質(zhì)量比有關(guān)，本文通過(guò)與大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合給出了其確定曲線，如圖3所示；β和λ為Van der Pol振子的非線性參數(shù)。CL0和CD0分別為參考升力系數(shù)和參考脈動(dòng)阻力系數(shù)，本文參考Blevins等[18-19]的研究，將CL0和CD0分別取為0.3和0.2。

圖3 由質(zhì)量比得到的參數(shù)ε值擬合曲線Fig.3 Fitting curve of ε based on mass ratio

對(duì)于β和λ，參考Stappenbelt等[20]對(duì)非線性方程的求解方法，在無(wú)外力擾動(dòng)時(shí)，高階Van der Pol方程可寫為

(22)

該方程的解可分為線性部分u(t)和非線性部分εv(t)，忽略其中的高階非線性部分，可得到

q(t,ε)=u(t)+εv(t)+…

(23)

將式(23)代入式(22)，對(duì)其中的線性部分和非線性部分分別求解，可得到

(24)

代數(shù)運(yùn)算求解式(24)得到

u=q0cosωt

(25a)

(25b)

(26)

可以發(fā)現(xiàn)公式中的自變量有兩個(gè)，為β和λ，通過(guò)合理選擇β和λ的值便可達(dá)到改變q0從而改變流體振子振動(dòng)幅值的目的，進(jìn)而影響結(jié)構(gòu)振子的振動(dòng)幅值，本文通過(guò)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，將β取為0.25，λ取為0.008。

2 算例驗(yàn)證與分析

2.1 圓柱雙自由度渦激振動(dòng)算例驗(yàn)證

以Jauvtis等 的圓柱雙自由度渦激振動(dòng)模型試驗(yàn)為參考，圓柱相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 圓柱各項(xiàng)參數(shù)

利用變步長(zhǎng)四階龍格-庫(kù)塔法對(duì)高階非線性振子模型進(jìn)行求解，得到了圓柱無(wú)量綱振幅、頻率以及運(yùn)動(dòng)軌跡，并與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖4～圖6所示。

(a)橫向振動(dòng)

(b)流向振動(dòng)圖4 圓柱振動(dòng)幅值響應(yīng)對(duì)比Fig.4 Comparison of the amplitude of the cylinder

通過(guò)對(duì)比分析圖4(a)的橫向振幅曲線可以發(fā)現(xiàn)，Ur>4之后，圓柱橫向渦激振動(dòng)逐漸進(jìn)入共振階段，其振幅顯著增加，Ur>8后，開(kāi)始渡過(guò)共振階段，幅值又大幅減小，這與Williamson的試驗(yàn)結(jié)果在總體趨勢(shì)上是一致的，并且對(duì)于渦激振動(dòng)幅值響應(yīng)預(yù)報(bào)中最重要的“上端分支”和“超上端分支”，數(shù)值結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，得到的最大振動(dòng)幅值約為1.5D，與試驗(yàn)結(jié)果非常接近。但也可以發(fā)現(xiàn)數(shù)值模型沒(méi)有準(zhǔn)確模擬出振動(dòng)幅值中的“下端分支”，這主要是由于本文將耦合參數(shù)ε選為僅和質(zhì)量比有關(guān)的常數(shù)，如果將其再與約化速度聯(lián)系起來(lái)即可調(diào)整下端分支的形狀，這在今后可以進(jìn)行進(jìn)一步的研究。

對(duì)于圖4(b)的流向振幅曲線，可以發(fā)現(xiàn)在Ur=2.5附近處，流向振動(dòng)出現(xiàn)了流向的共振，而后其振幅又迅速減小，緊接著由于橫向振動(dòng)對(duì)流向振動(dòng)的耦合作用，大幅值的橫向振動(dòng)導(dǎo)致流向振動(dòng)也開(kāi)始大幅增加，之后由于橫向振動(dòng)渡過(guò)共振，流向振動(dòng)幅值也相應(yīng)大幅減小。數(shù)值模型得到的流向振幅趨勢(shì)與最大值都與試驗(yàn)結(jié)果吻合良好，再結(jié)合其對(duì)橫向振動(dòng)幅值響應(yīng)的合理預(yù)測(cè)，表明本文的非線性振子模型可以定性并定量地預(yù)測(cè)圓柱雙自由度渦激振動(dòng)幅值特性。

圖5 圓柱橫向振動(dòng)無(wú)量綱頻率對(duì)比Fig.5 Comparison of the cross-flow dimensionless frequency

對(duì)于圖5的橫向無(wú)量綱振動(dòng)頻率，可以發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果在Ur大約為4～9發(fā)生了鎖定現(xiàn)象，而在其他Ur下則滿足斯特勞哈爾關(guān)系，這與試驗(yàn)數(shù)據(jù)及相關(guān)的理論研究基本一致，但由于數(shù)值模型未能準(zhǔn)確模擬出Wiiliamson試驗(yàn)中橫向振動(dòng)的“下端分支”，導(dǎo)致其在Ur較大時(shí)與其試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)一定差別，總的來(lái)說(shuō)，數(shù)值模型基本能夠定性反應(yīng)圓柱渦激振動(dòng)的頻率特性。

圖6 圓柱渦激振動(dòng)運(yùn)動(dòng)軌跡圖Fig.6 Trajectory of the vortex-induced vibration of the cylinder

圖6給出了計(jì)算得到的各約化速度下圓柱的運(yùn)動(dòng)軌跡，在流速較低時(shí)，流向振動(dòng)幅值相對(duì)橫向幅值較大，圓柱運(yùn)動(dòng)軌跡為扁平或標(biāo)準(zhǔn)的“8”字形，但是其總體運(yùn)動(dòng)比較小；隨著流速的增大，橫向振動(dòng)逐漸進(jìn)入共振狀態(tài)，幅值顯著增加，圓柱軌跡表現(xiàn)為拉長(zhǎng)的“8”字形，并且逐漸表現(xiàn)出向右傾斜的趨勢(shì)，Ur為8～9附近軌跡形狀接近月牙形；隨著的流速的持續(xù)增加，橫向和流向振幅均大幅減小，圓柱運(yùn)動(dòng)軌跡又變?yōu)榱丝s小的“8”字形，并不斷在變瘦變小，這些軌跡變化規(guī)律與目前的渦激振動(dòng)研究結(jié)果一致。

總的來(lái)說(shuō)，通過(guò)與Williamson的試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，發(fā)現(xiàn)本文提出的高階非線性振子模型能夠較為準(zhǔn)確地模擬出圓柱渦激振動(dòng)幅值響應(yīng)、頻率及運(yùn)動(dòng)軌跡特性，可以為快速預(yù)報(bào)結(jié)構(gòu)物渦激振動(dòng)特性研究提供一定的參考。

圖7 不同質(zhì)量比下圓柱橫向振動(dòng)幅值響應(yīng)對(duì)比Fig.7 Comparison of cross-flow amplitude of the cylinder with different mass ratios

2.2 質(zhì)量比對(duì)振動(dòng)的影響

質(zhì)量比是影響圓柱渦激振動(dòng)特性的一個(gè)重要因素，本文將參考Stappenbelt等開(kāi)展的圓柱雙自由度渦激振動(dòng)試驗(yàn)結(jié)果，將質(zhì)量比分別選為2.36,3.68,5.19,6.54,8.76及10.63，阻尼比選為0.006，進(jìn)行圓柱雙自由度渦激振動(dòng)特性預(yù)報(bào)。

圖7為不同質(zhì)量比圓柱渦激振動(dòng)橫向振幅的計(jì)算結(jié)果與Stappenbelt的試驗(yàn)結(jié)果，Increase和Decrease分別表示加速和減速模擬，可以發(fā)現(xiàn)在不同質(zhì)量比下，兩種結(jié)果在趨勢(shì)上能夠保持一致，并且計(jì)算的最大幅值與試驗(yàn)值差別不大，另外，可以發(fā)現(xiàn)隨著質(zhì)量比的增加，圓柱橫向振動(dòng)的最大幅值在不斷減小，鎖定區(qū)間也在減小，振子模型預(yù)測(cè)的遲滯區(qū)間在不斷變大，這是因?yàn)殡S著質(zhì)量比的增加，耦合參數(shù)ε也在增加，使模型方程的非線性增強(qiáng)，導(dǎo)致遲滯區(qū)間變大。

對(duì)比分析圖8中流向振動(dòng)幅值響應(yīng)曲線，發(fā)現(xiàn)各質(zhì)量比條件下的計(jì)算結(jié)果也與試驗(yàn)結(jié)果在趨勢(shì)上一致，并且計(jì)算的最大幅值在總體上與試驗(yàn)值基本吻合，但在質(zhì)量比為2.36時(shí)過(guò)度地預(yù)測(cè)了圓柱流向振動(dòng)最大幅值，這是由于在低質(zhì)量比條件下本文選取ε時(shí)參考的是Willamson試驗(yàn)，而Stappenbelt等試驗(yàn)在低質(zhì)量比條件下的流向幅值結(jié)果要比Willamson試驗(yàn)結(jié)果偏小，導(dǎo)致此時(shí)的模型預(yù)測(cè)出現(xiàn)差別。另外，隨著質(zhì)量比的增加，橫向振動(dòng)對(duì)流向振動(dòng)的耦合作用在減弱，使得其第二個(gè)峰值不斷減小，與橫向振動(dòng)類似，流向振動(dòng)遲滯區(qū)間也隨質(zhì)量比的增大而增大。

另外，為分析質(zhì)量比對(duì)圓柱在幅值分支突變附近的運(yùn)動(dòng)軌跡的影響，在圖9中給出了不同質(zhì)量比下Ur為6.0, 8.5, 10.0時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線?？梢园l(fā)現(xiàn)在Ur=6.0時(shí)，隨著質(zhì)量比的增加，其軌跡的“8”字形變得越細(xì)，這是因?yàn)橘|(zhì)量比增加使得橫向振動(dòng)對(duì)流向振動(dòng)的耦合作用降低；Ur=8.5時(shí)，低質(zhì)量比下圓柱軌跡為“月牙”形，隨著質(zhì)量比的增加其軌跡形狀大幅減小，并且沒(méi)有呈現(xiàn)出“月牙”形，這是因?yàn)殡S著質(zhì)量比增加，鎖定區(qū)間在減小，在Ur為8.5時(shí)其振動(dòng)已跳出鎖定區(qū)；Ur=10時(shí)，各質(zhì)量比下圓柱軌跡又變?yōu)椤?”字形，并且質(zhì)量比越高，“8”字形越小。

圖8 不同質(zhì)量比下圓柱流向振動(dòng)幅值響應(yīng)對(duì)比Fig.8 Comparison of in-line amplitude of the cylinder with different mass ratios

圖9 不同質(zhì)量比下圓柱運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)比Fig.9 Comparison of the trajectories of the cylinder with different mass ratios

2.3 阻尼比對(duì)振動(dòng)的影響

阻尼比是另一個(gè)影響圓柱渦激振動(dòng)特性的參數(shù)，本文參考Blevins等開(kāi)展的不同阻尼比下的圓柱雙自由度渦激振動(dòng)試驗(yàn)結(jié)果，對(duì)質(zhì)量比為5.4，阻尼比分別為0.002, 0.02, 0.05, 0.1, 0.2及0.4的圓柱渦激振動(dòng)進(jìn)行數(shù)值模型預(yù)報(bào)，并與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。

圖10為各阻尼比下圓柱的橫向幅值響應(yīng)曲線，可以發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果的曲線趨勢(shì)與最大值與試驗(yàn)結(jié)果具有較好的吻合度，隨著阻尼比的增加，橫向振動(dòng)幅值顯著降低，遲滯現(xiàn)象也不再明顯，但其鎖定區(qū)間的大小變化不大。

圖11為各阻尼比下圓柱的流向幅值響應(yīng)曲線，由于高阻尼比下流向振幅非常小，本文只給出了阻尼比為0.002和0.02時(shí)的對(duì)比結(jié)果；由圖11可知計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果在趨勢(shì)上能夠保持一致，但計(jì)算得到的最大幅值要比試驗(yàn)值偏小一些，并且隨著阻尼比的增加，流向振幅的最大值隨之減小。

總的來(lái)說(shuō)，各阻尼比條件下的模型計(jì)算幅值響應(yīng)與試驗(yàn)結(jié)果基本吻合，再次驗(yàn)證了本文模型應(yīng)用的正確性和廣泛性。

同樣，在圖12中給出了Ur為6.5和8.5時(shí)的圓柱運(yùn)動(dòng)軌跡曲線，可以發(fā)現(xiàn)Ur為6.5時(shí)，隨著阻尼比的增大，運(yùn)動(dòng)軌跡逐漸由“8”字形變?yōu)椤霸卵馈毙危⑶臆壽E尺寸大幅減小，這是由于阻尼比較大時(shí)其振幅達(dá)到峰值時(shí)的Ur較小，對(duì)應(yīng)的“月牙”形軌跡會(huì)提前出現(xiàn)；Ur為8.5時(shí)，其軌跡也隨阻尼比的增加而向“月牙”形過(guò)渡，但其尺寸大小的變化較為緩慢，這是由于Ur為8.5時(shí)開(kāi)始跳出鎖定區(qū)間，阻尼比對(duì)其振幅的影響較小。

圖10 不同阻尼比下圓柱橫向振幅對(duì)比Fig.10 Comparison of cross-flow amplitude of the cylinder with different damping ratios

(a)ξ=0.002

(b)ξ=0.02圖11 不同阻尼比下圓柱流向振幅對(duì)比Fig.11 Comparison of in-line amplitude ofthe cylinder with different damping ratios

(a)Ur=6.5

(b)Ur =8.5圖12 不同阻尼比下圓柱運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)比Fig.12 Comparison of the trajectories ofthe cylinder with different mass ratios

3 模型參數(shù)敏感性分析

本文模型主要引入了三類經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，分別為幾何非線性參數(shù)η、耦合參數(shù)h和ε以及流體振子阻尼參數(shù)β和λ，為全面分析其對(duì)預(yù)報(bào)效果的影響，需要對(duì)其敏感性進(jìn)行研究。

3.1 幾何非線性參數(shù)分析

將模型的幾何非線性參數(shù)η分別取值為0, 0.1, 0.2和0.3進(jìn)行圓柱雙自由度渦激振動(dòng)計(jì)算，圓柱參數(shù)仍取Jauvtis等的圓柱雙自由度渦激振動(dòng)模型試驗(yàn)參數(shù)，質(zhì)量比為2.6，阻尼比為0.005。將模型預(yù)報(bào)結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖13所示。

(a)橫向振動(dòng)

(b)流向振動(dòng)圖13 不同幾何非線性參數(shù)下圓柱振動(dòng)幅值響應(yīng)對(duì)比Fig.13 Comparison of the amplitudes withdifferent geometric nonlinear parameters

由圖13可知，隨著參數(shù)η的增加，橫向和流向振幅曲線形狀都發(fā)生了較為明顯的變化。對(duì)于橫向振動(dòng)，η增加時(shí)，曲線達(dá)到峰值時(shí)的Ur有所增大，并且其峰值大小各不相同，η為0.1和0.2時(shí)預(yù)報(bào)得到的最大幅值均與試驗(yàn)結(jié)果較為接近，但η為0.2時(shí)的峰值對(duì)應(yīng)的Ur更接近試驗(yàn)值。對(duì)于流向振動(dòng)，其形狀隨η的變化較為劇烈，隨著η的增加，其第二個(gè)峰值的大小也在增加，但第一個(gè)峰值大小基本沒(méi)有變化，可見(jiàn)η對(duì)流向振動(dòng)的影響主要體現(xiàn)在橫向?qū)α飨虻鸟詈献饔梅矫?，并且η?.2時(shí)流向幅值響應(yīng)結(jié)果與試驗(yàn)值吻合最好。

總的來(lái)說(shuō)，隨著η的增加，橫向最大振幅在減小，而流向最大振幅在增加，并且流向幅值響應(yīng)曲線形狀受η的影響更大，通過(guò)分析選擇幾何非線性參數(shù)的大小可以實(shí)現(xiàn)對(duì)橫向和流向振動(dòng)耦合作用的合理配置。

3.2 耦合參數(shù)分析

首先對(duì)參數(shù)ε進(jìn)行分析，以Stappenbelt等的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為參考，在質(zhì)量比為5.19，阻尼比為0.006的條件下，將ε分別取為0.03， 0.066和0.1進(jìn)行計(jì)算，將得到的圓柱幅值響應(yīng)曲線與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖14所示。

由圖14可知，隨著參數(shù)ε的增加，橫向振動(dòng)和流向振動(dòng)的最大幅值都在不斷減小，并且鎖定區(qū)間寬度也出現(xiàn)微小幅度的減小。對(duì)于橫向振動(dòng)，其峰值所對(duì)應(yīng)的Ur值隨ε的增加而減小，三組參數(shù)下所得結(jié)果的差別主要體現(xiàn)在鎖定區(qū)域內(nèi)，ε取0.066時(shí)模型預(yù)報(bào)結(jié)

(a)橫向振動(dòng)

(b)流向振動(dòng)圖14 不同參數(shù)ε下圓柱振動(dòng)幅值響應(yīng)對(duì)比Fig.14 Comparison of the amplitudes with different ε

果與試驗(yàn)結(jié)果吻合最好；對(duì)于流向振動(dòng)，其幅值曲線形狀對(duì)ε的變化更敏感，表明隨著ε的增大，橫向振動(dòng)對(duì)流向振動(dòng)的耦合作用更強(qiáng)，使其變化更大?？偟膩?lái)說(shuō)，參數(shù)ε的作用主要是調(diào)節(jié)橫向與流向振動(dòng)的鎖定區(qū)域內(nèi)幅值峰值大小及它們之間耦合作用的大小。

對(duì)于參數(shù)h，仍以Stappenbelt的試驗(yàn)參數(shù)為基礎(chǔ)，將其分別取值為8,12和16，將模型預(yù)報(bào)結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，如圖15所示。

(a)橫向振動(dòng)

(b)流向振動(dòng) 圖15 不同參數(shù)h下圓柱振動(dòng)幅值響應(yīng)對(duì)比 Fig.15 Comparison of the amplitudes with different h

由圖15可知，參數(shù)h不僅影響最大振幅的大小，而且也影響鎖定區(qū)間的寬度，隨著參數(shù)h的增加，橫向和流向振動(dòng)的最大幅值都有所增加，其鎖定區(qū)間的寬度也有顯著增加。通過(guò)與試驗(yàn)值進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)h為12時(shí)模型預(yù)報(bào)的最大振幅、鎖定區(qū)間寬度以及曲線形狀等能夠與試驗(yàn)結(jié)果吻合良好，其他取值均出現(xiàn)較大差別，這與Facchinetti等的研究結(jié)果一致。

3.3 流體振子阻尼參數(shù)分析

對(duì)于阻尼參數(shù)β和λ，圓柱質(zhì)量比仍為5.19，阻尼比為0.006，依據(jù)“1.4”節(jié)中介紹的參數(shù)確定方法選擇4組參數(shù)β和λ，分別編號(hào)為方案1～方案4，具體見(jiàn)表2，考慮到參數(shù)β和λ對(duì)遲滯區(qū)間有一定的影響，分別采用勻加速和勻減速兩種條件進(jìn)行計(jì)算，將各方案的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，如圖16所示。

表2 阻尼參數(shù)選擇方案

(a)橫向振動(dòng)

(b)流向振動(dòng)圖16 不同阻尼參數(shù)方案的圓柱振動(dòng)幅值響應(yīng)對(duì)比Fig.16 Comparison of the amplitude with different damping parameter schemes

對(duì)比分析橫向振動(dòng)幅值曲線，可以發(fā)現(xiàn)方案1～方案4的最大振動(dòng)幅值依次遞減，但其鎖定區(qū)間和遲滯區(qū)間的寬度經(jīng)歷了先增后減的過(guò)程，其中方案2的鎖定區(qū)間和遲滯區(qū)間最大；同樣，在流向振動(dòng)幅值曲線中也出現(xiàn)了類似的結(jié)果，而且流向振動(dòng)不僅第二個(gè)峰值在發(fā)生變化，第一個(gè)峰值也有所區(qū)別，表明流向振動(dòng)第一峰值的大小對(duì)流體振子阻尼參數(shù)的變化較為敏感，可以通過(guò)合理改變流體振子阻尼參數(shù)的大小來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)其第一峰值的調(diào)整。將各方案得到的曲線與試驗(yàn)值比較，發(fā)現(xiàn)方案2的結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果擬合較好，表明本文所選擇的阻尼參數(shù)β為0.25，λ為0.008的參數(shù)組合是合理的。

4 結(jié) 論

本文通過(guò)將非線性的結(jié)構(gòu)振子方程和高階Van der Pol方程進(jìn)行耦合，并基于離散點(diǎn)渦理論推導(dǎo)了脈動(dòng)升力和阻力，提出一種可以定性定量預(yù)報(bào)圓柱雙自由度渦激振動(dòng)幅值、頻率及軌跡等重要特征的高階非線性振子模型，然后對(duì)模型進(jìn)行了算例驗(yàn)證，并分析了不同質(zhì)量比和阻尼比下的振動(dòng)特性，最后對(duì)模型中的三類參數(shù)進(jìn)行了敏感性分析，得出以下結(jié)論：

(1)應(yīng)用本文提出的高階非線性振子模型計(jì)算得到的低質(zhì)量比圓柱振動(dòng)幅值、頻率等特性與Williamson的試驗(yàn)結(jié)果吻合良好，并且得到的圓柱運(yùn)作軌跡變化規(guī)律與現(xiàn)有研究一致，表明本文模型可以較為準(zhǔn)確地預(yù)報(bào)低質(zhì)量比圓柱渦激振動(dòng)重要特性，驗(yàn)證了模型在低質(zhì)量比條件下應(yīng)用的正確性。

(2)在不同質(zhì)量比和阻尼比下的模型預(yù)報(bào)幅值響應(yīng)結(jié)果能夠與Stappenbelt等的試驗(yàn)結(jié)果基本保持一致，并且發(fā)現(xiàn)質(zhì)量比和阻尼比對(duì)圓柱橫向和流向振動(dòng)幅值及運(yùn)動(dòng)軌跡等特性有較大的影響，表明本文的高階非線性振子模型可以用于預(yù)報(bào)不同質(zhì)量比和阻尼比柱形結(jié)構(gòu)物的雙自由度渦激振動(dòng)重要特性，驗(yàn)證了其應(yīng)用的廣泛性。

(3)通過(guò)采用控制變量法改變模型中的幾何非線性參數(shù)η、耦合參數(shù)ε與h以及流體振子阻尼參數(shù)β與λ，對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)參數(shù)η對(duì)橫向和流向振幅都有所影響，通過(guò)分析選擇η的大小可以實(shí)現(xiàn)對(duì)橫向和流向振動(dòng)幅值的合理配置；參數(shù)ε的作用主要是調(diào)節(jié)橫向與流向振幅峰值及它們之間耦合作用的大小，而參數(shù)h不僅影響最大振幅的大小，而且也影響鎖定區(qū)間的寬度；參數(shù)β和λ除了可以調(diào)節(jié)橫向和流向幅值峰值的大小以外，還影響著遲滯區(qū)間的大小。另外，在對(duì)各參數(shù)進(jìn)行對(duì)比分析的過(guò)程中也發(fā)現(xiàn)本文所選取的參數(shù)可以更加準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)出圓柱渦激振動(dòng)的幅值特性，表明本文模型參數(shù)的選擇合理可行。

總的來(lái)說(shuō)，相比于經(jīng)典尾流振子模型，本文的高階非線性振子模型更加全面地考慮了雙自由度渦激振動(dòng)中的非線性特征，并且建立了脈動(dòng)升力和脈動(dòng)阻力的數(shù)學(xué)關(guān)系，在一定的質(zhì)量比和阻尼比范圍內(nèi)的預(yù)報(bào)精度較高，可以為此范圍內(nèi)的海洋柱形結(jié)構(gòu)物雙自由度渦激振動(dòng)特性的快速預(yù)報(bào)提供一定的理論支持。