基于范數(shù)歸一化和稀疏正則化約束的結(jié)構(gòu)損傷檢測

駱紫薇， 余 嶺，2， 劉煥林， 潘楚東

(1.暨南大學(xué) 力學(xué)與建筑工程學(xué)院，廣州 510632； 2.暨南大學(xué) 重大工程災(zāi)害與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510632)

結(jié)構(gòu)損傷檢測對結(jié)構(gòu)安全和服役有著重要的意義，近年來引起眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注和研究[1-5]。一些學(xué)者通過分析模態(tài)參數(shù)對結(jié)構(gòu)參數(shù)改變的敏感度建立基于靈敏度分析的結(jié)構(gòu)損傷識別方法[6-7]。由于損傷往往發(fā)生在結(jié)構(gòu)局部，因此，將l1范數(shù)正則化方法運(yùn)用到靈敏度分析能產(chǎn)生稀疏解，提高識別精度，改善問題的不適定性。但是，計(jì)算得到的靈敏度矩陣各列數(shù)值范圍相差較大，會致使稀疏求解過程計(jì)算效率和識別精度降低；同時，測量噪聲等因素影響導(dǎo)致識別結(jié)果出現(xiàn)損傷折減系數(shù)大于1或者小于0等不合理的情況。

本文通過增加范數(shù)歸一化與稀疏正則化約束，提出了一種結(jié)構(gòu)損傷檢測方法。該方法在靈敏度矩陣修正的過程中，每次迭代均對靈敏度矩陣進(jìn)行范數(shù)歸一化，并分別對稀疏求解過程、損傷折減系數(shù)改變量以及總損傷折減系數(shù)增加約束。稀疏求解過程的約束能限制迭代的方向，使得求解過程指向更加明確；牛頓迭代法約束通過減少步長來提高識別精度；總剛度折減系數(shù)約束能改善結(jié)果的不合理性。最后，通過三種不同結(jié)構(gòu)數(shù)值仿真算例驗(yàn)證了所提方法的有效性。懸臂梁結(jié)果表明范數(shù)歸一化能有效減少迭代成本，增加模型約束能明顯提高方法魯棒性；兩層剛架和二維桁架數(shù)值仿真進(jìn)一步驗(yàn)證了新方法的適用性和魯棒性。

1 結(jié)構(gòu)損傷識別

1.1 靈敏度分析法

由于在實(shí)際工程中，結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷往往可以忽略質(zhì)量變化，僅考慮剛度變化，因此，本文通過對彈性模量E的折減來描述結(jié)構(gòu)單元的損傷過程。由有限元理論可得，結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣可假設(shè)為

(1)

式中：Ki,αi分別為結(jié)構(gòu)第i個單元的單元剛度矩陣和損傷折減系數(shù)；N為結(jié)構(gòu)的單元數(shù)。

由此可得結(jié)構(gòu)第r階特征值和第r階振型關(guān)于損傷折減系數(shù)的一階靈敏度計(jì)算公式分別為

(2)

(3)

式中：λr,φr(r= 1, 2, …,n)分別為結(jié)構(gòu)的第r階特征值和第r階振型；n為結(jié)構(gòu)的總自由度數(shù)，則一階靈敏度識別公式為

(4)

式中：Δfλ= {Δλ1, Δλ2, …, Δλm}T和Δfφ= {Δφ1, Δφ2, …, Δφl}T分別為結(jié)構(gòu)損傷前后的特征值之差和振型差；m和l分別為計(jì)算時所采用的特征值階數(shù)和模態(tài)振型階數(shù)；Δα= {Δα1, Δα2, …, ΔαN}T為損傷折減系數(shù)改變量所構(gòu)成的向量；S為結(jié)構(gòu)的一階靈敏度矩陣。

由于SΔα和Δf是近似相等的關(guān)系，因此，需要對靈敏度矩陣進(jìn)行迭代修正，即采用牛頓迭代法進(jìn)行求解得到更精確的Δα。

1.2 稀疏正則化

由Tibshirani[8]提出的LASSO正則化方法(Least Absolute Shrinkage and Selection Operator，LASSO)，下文簡稱l1正則化方法，通過對回歸系數(shù)向量進(jìn)行l(wèi)1范數(shù)罰來壓縮回歸系數(shù)，并使絕對值較小的回歸系數(shù)被置零，從而實(shí)現(xiàn)回歸系數(shù)向量的稀疏化。對式(4)添加l1范數(shù)罰

min‖Δα‖1subject to‖SΔα-Δf‖2≤ε

(5)

式中：ε為識別結(jié)果與理論結(jié)果之間的允許誤差，其與測量噪聲有關(guān)。

式(5)可等價于以下的l1范數(shù)正則化問題

(6)

式中：β> 0為正則化參數(shù)；N為稀疏向量Δα的維數(shù)。

本文采用基于近似梯度方法及其變種形式的稀疏優(yōu)化問題求解軟件包SLEP(Sparse Learning with Efficient Progections)[9]對式(6)進(jìn)行求解，并采用最小信息準(zhǔn)則[10](Akaike Information Criterion，AIC)選取最優(yōu)正則化參數(shù)。

2 方法優(yōu)化

2.1 范數(shù)歸一化

模態(tài)參數(shù)對各單元損傷的靈敏度不同，導(dǎo)致靈敏度矩陣各列的數(shù)值范圍可能存在較大差距。當(dāng)用近似梯度方法進(jìn)行迭代求解時，會導(dǎo)致梯度方向偏離最優(yōu)解方向，使識別精度和速度受到影響。據(jù)此，本文對靈敏度矩陣各列進(jìn)行范數(shù)歸一化處理，令每個迭代步的梯度方向基本指向最優(yōu)。歸一化具體過程如下：假設(shè)把單元1～單元N的損傷折減系數(shù)改變量逐次設(shè)為1，可以得到此過程的損傷折減系數(shù)改變量矩陣為

(7)

式中：Δαnorm為N×N的單位矩陣; Δαi(i= 1, 2, …,N)為結(jié)構(gòu)第i個單元發(fā)生完全損傷，其他單元無損時對應(yīng)的損傷折減系數(shù)改變量。

把Δαnorm各列分別代入式(4)可得

SΔαnorm=[Δf1, Δf2, …, ΔfN]

(8)

式中：Δfi(i= 1, 2, …,N)對應(yīng)于Δαi的結(jié)構(gòu)模態(tài)變化量。

可以選取任意p(p≥ 1)范數(shù)進(jìn)行范數(shù)歸一化，本文選取2-范數(shù)進(jìn)行范數(shù)歸一化，定義范數(shù)歸一化向量為

P={‖Δf1‖2, ‖Δf2‖2, …， ‖ΔfN‖2}T

(9)

式中：║·║2為向量的2-范數(shù)。

對一階靈敏度矩陣S進(jìn)行范數(shù)歸一化

(10)

式中:Si(i= 1, 2, …,N)為一階靈敏度矩陣S中第i列的所有元素；Se為范數(shù)歸一化后的一階靈敏度矩陣。ΔR和Δα之間的關(guān)系為

(11)

式中：ΔRi(i= 1, 2, …,N)為ΔR中第i個元素。

2.2 模型約束

2.2.1 稀疏正則化約束

上述方法對噪聲比較敏感，魯棒性較差。近似梯度法在噪聲的影響下，其搜索方向波動較大，容易出現(xiàn)誤判。本文創(chuàng)新性地對近似梯度法的每次迭代初值進(jìn)行約束，使其只在約束區(qū)域內(nèi)取值，保證了迭代方向的正確性，達(dá)到提高識別精度、減少誤判的目的。

稀疏正則化的迭代約束為

(12)

在軟件包SLEP求解Δαi的過程中，通過在每次迭代求解前設(shè)置初值約束，可達(dá)到約束迭代方向的目的。

2.2.2 牛頓迭代法約束

損傷結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)改變量與損傷折減系數(shù)改變量之間是非線性關(guān)系，采用靈敏度矩陣修正的靈敏度分析方法實(shí)際是利用牛頓迭代法把非線性關(guān)系近似為線性關(guān)系來尋求問題的解。計(jì)算過程中，牛頓迭代法的步長可能比實(shí)際損傷折減系數(shù)改變量大。加上噪聲的影響，由l1正則化方法求得的步長是不合理的，因此需要對牛頓迭代法的步長增加約束

-k≤Δαj≤k

(13)

式中:Δαj為牛頓迭代法第j次迭代的步長；k為牛頓迭代法每次迭代過程的步長范圍值，k越小則步長越小，但需要花費(fèi)更多的迭代時間。

2.2.3 總損傷折減系數(shù)約束

由于噪聲對實(shí)測模態(tài)參數(shù)的影響，在靈敏度分析過程中，損傷折減系數(shù)有可能出現(xiàn)負(fù)值，這代表著結(jié)構(gòu)損傷狀態(tài)的剛度大于無損狀態(tài)，是不合理的。因此，需要對每次迭代求得的總損傷折減系數(shù)增加約束

s≤γi≤1

(14)

式中：γi= 1-αi為某次迭代求得的第i個單元的總損傷折減系數(shù)；s=1-t為總損傷折減系數(shù)的最小值。

以上結(jié)構(gòu)損傷檢測新方法流程圖如圖1所示。

圖1 結(jié)構(gòu)損傷檢測流程圖Fig.1 Flow chart of structural damage detection

3 數(shù)值仿真

3.1 范數(shù)歸一化仿真結(jié)果分析

為了驗(yàn)證所加范數(shù)歸一化的有效性，采用如圖2所示的懸臂梁數(shù)值算例。懸臂梁長0.7 m、寬0.05 m、高0.01 m，共分為10個單元，圈內(nèi)數(shù)字為單元編號，其余為節(jié)點(diǎn)編號。各單元的彈性模量和密度分別是2.01×1011N/m2和7 800 kg/m3。對懸臂梁設(shè)置單損傷工況，第2單元損傷5%，取前三階頻率和振型作為輸入。在無噪聲的情況下考察范數(shù)歸一化對結(jié)構(gòu)損傷識別結(jié)果的影響。識別結(jié)果的誤差計(jì)算公式為

(15)

(16)

圖2 懸臂梁有限元模型Fig.2 Finite element model of cantilever beam

識別結(jié)果如表1和圖3所示。歸一化前后靈敏度矩陣各列的范數(shù)值如圖4所示。從圖4可知，靈敏度矩陣各列的范數(shù)值隨著靈敏度矩陣修正過程而增大；雖然從圖3可知，在無噪聲的情況下，無范數(shù)歸一化和有范數(shù)歸一化的識別結(jié)果大致相同，但從表1可知，范數(shù)歸一化處理后能明顯減少迭代時間，提高識別精度。

表1 范數(shù)歸一化前后懸臂梁的損傷識別結(jié)果比較

圖3 懸臂梁的損傷識別結(jié)果(無歸一化與歸一化)Fig.3 Identified damage results of cantilever beam (non-normalization and normalization)

圖4 懸臂梁的范數(shù)歸一化向量結(jié)果圖(無歸一化與歸一化)Fig.4 Final norm normalized vector diagram of cantilever beam (non-normalization and normalization)

3.2 約束仿真結(jié)果分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證模型約束的有效性，在范數(shù)歸一化的基礎(chǔ)上，對懸臂梁設(shè)置單損傷工況，第5單元損傷60%，同樣取前三階頻率和振型作為輸入，在15%的噪聲水平下考察不同約束對識別結(jié)果的影響。

為了便于討論，本文在以下數(shù)值算例均考慮t=k=1-s的情況，且認(rèn)為損傷率達(dá)到90%時，結(jié)構(gòu)失效。

本文考慮噪聲的能量與頻率和振型改變的能量有關(guān)，將參與計(jì)算的頻率和振型按如下方式添加噪聲

(17)

(18)

所設(shè)置工況如表2所示。由于實(shí)際損傷程度未知，因此無法確定t的合適取值范圍，為方便起見，取t=0.9，即結(jié)構(gòu)失效。其中工況2～工況4是只加稀疏正則化約束進(jìn)行損傷識別；工況5是加稀疏正則化約束和牛頓迭代法約束進(jìn)行損傷識別；工況6是同時添加三種約束進(jìn)行損傷識別。

由圖5、圖6和表2、表3所示的識別結(jié)果可以看出，在無約束情況下，損傷識別結(jié)果嚴(yán)重失真，出現(xiàn)個別單元剛度強(qiáng)化(數(shù)值增長)和損傷單元剛度為負(fù)等不合理情況。比較工況2～工況4可知：當(dāng)t過大，約束不夠強(qiáng)，損傷單元的識別精度并沒有很大的改善；當(dāng)t過小，約束太強(qiáng)，近似梯度法在被限制的范圍內(nèi)搜索不到最合適的解。比較工況3和工況5可以看出，在t和k的約束下，受損單元誤差和總誤差都降低了。在雙約束的基礎(chǔ)上，增加總損傷折減系數(shù)約束，避免了αi<0的不合理情況，且有效地減少了誤判。

表2 不同約束下懸臂梁的損傷識別結(jié)果比較

表3 懸臂梁工況1第一次迭代所得損傷折減系數(shù)

圖5 無約束下懸臂梁的損傷識別結(jié)果Fig.5 Identified damage results of cantilever beam under unconstraint condition

圖6 增加約束后懸臂梁的損傷識別結(jié)果Fig.6 Identified damage results of cantilever beam via adding constraint

3.3 方法適用性數(shù)值分析

t,k和s的取值影響到損傷識別結(jié)果，為了確定t,k和s的取值，先在t=k=1-s=0.9的約束下得到損傷識別結(jié)果，再由識別得到的單元最大損傷率δ得到t,k和s的取值：t=k=1-s≈δ+0.05。

3.3.1 懸臂梁模型損傷識別

如表4所示設(shè)置損傷工況，取懸臂梁前六階頻率和振型作為輸入，在不同的噪聲水平下考察噪聲對識別結(jié)果的影響。識別結(jié)果如表4和圖7所示。從中可知，噪聲對損傷識別結(jié)果影響不大，沒有誤判且能精確識別出結(jié)構(gòu)的損傷程度，表明優(yōu)化后的算法對懸臂梁進(jìn)行損傷識別有較強(qiáng)的抗噪性。

圖7 懸臂梁工況3的損傷識別結(jié)果(10%的噪聲水平)Fig.7 Identified damage results of cantilever beam under case 3 with noise 10%

工況損傷程度/%t , k取值噪聲水平5%10%15%15單元損傷100.1510.04110.07810.1025單元損傷100.259.9619.9229.8848單元損傷2019.96619.93119.90035單元損傷50.254.9434.8914.8428單元損傷2019.96219.92119.8882單元損傷109.9489.9069.858

3.3.2 剛架模型損傷識別

進(jìn)一步考察本文提出方法在圖8所示二層剛架模型[11]的適用性。

每層剛架的高和寬均為1.41 m。共分為18個單元，框內(nèi)數(shù)字為單元編號，其余數(shù)字為節(jié)點(diǎn)編號，剛架其它參數(shù)見表5。取前六階頻率和振型作為輸入，如表6對剛架設(shè)置損傷工況，在不同的噪聲水平下考察噪聲對識別結(jié)果的影響。從圖9和表6識別可知，在噪聲的影響下，識別精度隨著噪聲水平的增大而下降，局部單元有損傷率較小的誤判出現(xiàn)，計(jì)算損傷與實(shí)際損傷存在上下波動，但仍能較為準(zhǔn)確地識別損傷。

表5 剛架參數(shù)

圖8 剛架有限元模型Fig.8 Finite element model of rigid frame

圖9 剛架工況3的損傷識別結(jié)果(10%的噪聲水平)Fig.9 Identified damage results of rigid frame under case 3 with noise 10%

工況損傷程度/%t , k取值噪聲水平5%10%15%117單元損傷200.2520.00019.98919.982217單元損傷200.2520.01219.97219.9508單元損傷1010.14610.06510.287317單元損傷50.455.0765.087 65.047 18單元損傷4040.09540.24140.4055單元損傷109.7479.5539.272

3.3.3 桁架模型仿真

同樣，進(jìn)一步以圖10所示二維桁架驗(yàn)證所提損傷識別方法的適用性。

桁架總長為5 m，高0.5 m。共分為40個單元，其中圈內(nèi)數(shù)字為單元編號，其余為節(jié)點(diǎn)編號。材料的彈性模量、密度和橫截面積分別是2.1×1011N/m2，7 800 kg/m3和0.003 m2。取前六階頻率和振型作為輸入，在不同的噪聲水平下考察噪聲的影響，如表7設(shè)置桁架的損傷工況。識別結(jié)果如表7和圖11所示。由表7和圖11可以看出雖然損傷識別結(jié)果出現(xiàn)少量誤判，但損傷識別結(jié)果精度較高，基本不受噪聲的影響。

表7 桁架損傷工況及損傷單元識別結(jié)果(損傷率%)

圖10 二維桁架有限元模型Fig.10 Finite element model of truss

圖11 桁架工況3的損傷識別結(jié)果(10%的噪聲水平)Fig.11 Identified damage results of truss under case 3 with noise 10%

3.3.4 仿真結(jié)果分析

由上述三個仿真算例的損傷識別結(jié)果可知：① 在各種噪聲水平下，所提方法均能有效定位損傷并精確識別損傷程度；②噪聲對損傷識別結(jié)果影響不明顯，表明所提方法具有較強(qiáng)魯棒性；③三種模型中，懸臂梁的損傷識別結(jié)果最好，剛架和桁架均存在小于1.5%的誤判，雖然單元損傷程度大小與實(shí)際損傷存在上下波動，但仍能較好地定位損傷和識別損傷程度。因此，所提方法在三種模型的數(shù)值仿真算例中均能有效且準(zhǔn)確地識別損傷位置和損傷程度。

4 結(jié) 論

本文通過約束結(jié)構(gòu)損傷識別稀疏解，提出了一種基于范數(shù)歸一化與稀疏正則化約束的結(jié)構(gòu)損傷檢測方法。該方法通過對靈敏度矩陣修正迭代過程進(jìn)行范數(shù)歸一化處理，并分別對稀疏解、損傷折減系數(shù)改變量以及總損傷折減系數(shù)增加約束，達(dá)到提高損傷識別效率和精度的目的。三種不同結(jié)構(gòu)模型數(shù)值仿真算例驗(yàn)證了所提方法的有效性、適用性和魯棒性。結(jié)論如下：

(1) 范數(shù)歸一化能把靈敏度矩陣各列的數(shù)值范圍控制在相同量級內(nèi)，提高了方法的收斂速度和識別精度。

(2) 稀疏正則化約束參數(shù)t取值合理時，可以得到較準(zhǔn)確的結(jié)構(gòu)損傷識別結(jié)果；當(dāng)不能確定稀疏正則化約束參數(shù)t的取值范圍時，可通過控制牛頓迭代法的步長k，對方法加強(qiáng)約束，獲得準(zhǔn)確的損傷識別結(jié)果；增加總損傷折減系數(shù)約束s不僅能提高結(jié)果的合理性，而且能減少單元誤判，提高識別結(jié)果精度。

(3) 三種不同結(jié)構(gòu)的數(shù)值仿真研究表明：本文所提方法既能有效定位結(jié)構(gòu)損傷又能準(zhǔn)確識別損傷程度，且對噪聲不敏感，具有較強(qiáng)魯棒性。