不規(guī)則場地鋪磚的優(yōu)化設(shè)計(jì)
——以南昌站站臺為例

范信順 江西省九江市工程造價(jià)管理站，九江 332000

南昌站是京九線在中部地區(qū)的省會站，又是浙贛鐵路的交匯處，客流量大，位于南昌市中心。既有車站為線側(cè)平式，高架候車室跨線進(jìn)站，旅客地道出站站場既有4座站臺。本次施工為新老站房連接與新建城際場二臺三線，東站房及站臺處高架候車室，同時(shí)新建無站臺柱雨棚及14米寬旅客出站地道，新建11、12、13道及 五、六臺，改造一～四臺及南北頭咽喉區(qū)道岔與相關(guān)線路。總建筑面積為84713m2，其中新建東站房18458m2，新建高架候車室16540m2，新建無柱雨棚49715m2。

南昌站采用了國內(nèi)外少見的大曲率站臺，場地狹小，不規(guī)則弧形站臺多，同時(shí)站臺面標(biāo)準(zhǔn)高，要求美觀圓滑，不能做成鋸齒或者折線形，這給大曲率站臺石材鋪貼及對應(yīng)的大曲率雨棚鋼結(jié)構(gòu)安裝精度控制帶來了很大的難度。

1 最小包絡(luò)矩形算法——減少廢磚數(shù)量

目前，國內(nèi)外對鋪磚方案的研究更多是施工工藝方面，而對鋪磚優(yōu)化設(shè)計(jì)的研究十分稀少，往往都是依靠技術(shù)工人的熟練程度和經(jīng)驗(yàn)總結(jié)。但是這種方法不僅耗費(fèi)人力，而且會造成大量的廢磚。根據(jù)南昌站改建工程的施工背景和施工要求，對南昌站的多個(gè)不規(guī)則弧形站臺地面進(jìn)行鋪磚優(yōu)化設(shè)計(jì)，并根據(jù)優(yōu)化算法生成鋪磚效果示意圖。針對南昌站大曲率站臺的實(shí)際情況和鋪磚的工藝要求，擬通過曲線擬合、圖形分析和優(yōu)化分割等方法解決南昌站異形界面優(yōu)化鋪磚的關(guān)鍵問題，在符合施工要求的情況下盡可能減少用磚數(shù)量，降低成本。

（1）基于最小二乘法的直線擬合

曲線擬合是一種廣泛應(yīng)用于工程實(shí)測數(shù)據(jù)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理方法，它利用連續(xù)曲線近似地刻畫平面上離散點(diǎn)組所表示的函數(shù)關(guān)系從而分析數(shù)據(jù)。通過對曲線的相關(guān)特征參數(shù)的分析研究，為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)尋求最佳擬合曲線，試圖找到數(shù)據(jù)內(nèi)在的規(guī)律。為解決南昌站站臺不規(guī)則弧形邊界的處理問題，通過最小二乘法將邊界曲線擬合為直線處理，并將站臺平面構(gòu)成幾何多邊形處理。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數(shù)據(jù)，最小二乘法還可用于線性擬合。在本項(xiàng)目中，首先需要對站臺的弧形邊界進(jìn)行直線擬合，在CAD中導(dǎo)出站臺平面圖后選取一些切點(diǎn)作為關(guān)鍵點(diǎn)，可通過C++實(shí)現(xiàn)直線擬合。

（2）不規(guī)則多邊形的最小包絡(luò)矩形的構(gòu)造

多邊形的最小包絡(luò)矩形是指能完全包含多邊形上的所有頂點(diǎn)，且各邊均與多邊形相接觸，在多邊形的無數(shù)外接包絡(luò)矩形中面積最小的一個(gè)包絡(luò)矩形。在求取不規(guī)則多邊形最小包絡(luò)矩形時(shí)，一般可以分為凹多邊形和凸多邊形分別求解，首先判斷出該多邊形的內(nèi)角大小和各頂點(diǎn)的凹凸性，若是凹邊形則首先需補(bǔ)為凸邊形再對其進(jìn)行求解，然后根據(jù)最小包絡(luò)矩形的旋轉(zhuǎn)角度分割所需要的網(wǎng)柵進(jìn)行求取（例如方磚規(guī)格600mm×600mm，即為網(wǎng)柵規(guī)格）。

（3）多邊形的內(nèi)角和凹凸性判斷

通過多邊形面積求解公式來進(jìn)行多邊形各頂角的凹凸性的判斷，通過DXF得到各頂點(diǎn)坐標(biāo)，若多邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)（x1，y1）（x2，y2）......（xn，yn）按照逆時(shí)針排列，則該多邊形面積表示為：

設(shè)多邊形的頂點(diǎn)是按逆時(shí)針排列的，按順序獲取三個(gè)頂點(diǎn)i-1，i，i+1，根據(jù)面積計(jì)算公式（2）求取三個(gè)頂點(diǎn)的面積ΔS：

這時(shí)ΔS＞0，且i點(diǎn)是凸頂點(diǎn)；如果ΔS＜0，三個(gè)點(diǎn)是順時(shí)針排列的，則i點(diǎn)是凹頂點(diǎn)；如果ΔS＝0，則i點(diǎn)與i-1和i+1三點(diǎn)共線。通過多邊形連續(xù)的三個(gè)頂點(diǎn)，以及點(diǎn)線之間的關(guān)系就可以確定中間頂點(diǎn)的內(nèi)角角度，但是求解過程中會出現(xiàn)兩個(gè)值，為了確定每個(gè)內(nèi)角的角度（假設(shè)為A），這里要加入頂點(diǎn)凹凸性來進(jìn)行判斷。如果該頂角是凸角，則其內(nèi)角0°＜A＜180°；反之，其內(nèi)角180°＜A≤360°。

以上是對各頂角的凹凸性進(jìn)行判斷，在工程中，也可以采用叉積法進(jìn)行多邊形凹凸性的判斷，其中主要是應(yīng)用到向量叉乘，判斷依據(jù)為：將多邊形邊長用向量進(jìn)行表示，并將相鄰邊長進(jìn)行向量叉乘，若所有叉積均為負(fù)或均為正，則該多邊形為凸多邊形，反之，則為凹多邊形。如圖1所示。

圖1 凹凸性判斷

（4）凹多邊形的凸化處理（凸包法）

如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)都是凸的，那我們就將這個(gè)多邊形定義為凸多邊形；只要多邊形有一個(gè)頂點(diǎn)不是凸的，即為凹多邊形。目前，判斷多邊形頂點(diǎn)凹凸性的算法有多種，常用的有凸包算法、矢量面積法、角度法、向量積法等，本文采用凸包算法進(jìn)行執(zhí)行，執(zhí)行過程主要包括排序、準(zhǔn)備堆棧、反復(fù)退棧、求出凸包四個(gè)步驟，總之，凸包法的主要原理就是先找出多邊形中內(nèi)角度大于180°的頂點(diǎn)，標(biāo)記為凹點(diǎn)，然后將頂點(diǎn)相鄰的兩個(gè)點(diǎn)連接，遮擋凹陷的區(qū)域，重復(fù)上述步驟直至所有凹點(diǎn)去除，從而達(dá)到多邊形凸化的目的。

（5）求解最小包絡(luò)矩形

①包絡(luò)矩形算法概念

最小包絡(luò)矩形算法可以對二維不規(guī)則圖形進(jìn)行簡化預(yù)處理。該算法的思想是在排樣初期，根據(jù)圖形形狀特征進(jìn)行相應(yīng)的處理，使之構(gòu)成近似矩形且盡可能緊密排列，從而獲取最終的排樣圖案。該算法較為簡單便捷，但是如果一旦忽略了圖形的形狀特征，就會極大降低圖形的利用率，因此在確定最小包絡(luò)矩形時(shí)，應(yīng)將不規(guī)則圖形的形狀考慮進(jìn)去。

最早是利用窮舉法來求取最小包絡(luò)矩形，就是通過對所有包絡(luò)矩形進(jìn)行篩選，找到面積最小的包絡(luò)矩形。但是這種算法存在一定的缺陷，不僅計(jì)算量大，速度慢，而且需要在一定限定的條件下才可能得到最小包絡(luò)矩形。該方法的主要步驟是：先對凹多邊形進(jìn)行凸化處理，求出凸多邊形邊長與坐標(biāo)軸的夾角；再以凸多邊形的邊長為基準(zhǔn)，對其進(jìn)行旋轉(zhuǎn)、選擇，使得這條基準(zhǔn)邊長與某一坐標(biāo)軸重合，得到一個(gè)新的凸多邊形；最后求出包絡(luò)矩形的面積，其中，面積最小的包絡(luò)矩形就是最小包絡(luò)矩形。

②最小包絡(luò)矩形排樣問題的研究

由于二維矩形件優(yōu)化排樣難，目前還未找到有效解決排樣問題的通用算法。在南昌站站臺鋪設(shè)面磚時(shí)，對其定向一次性填充到底，盡量減少對磚塊的切割次數(shù)，其填充工藝描述如下：設(shè)已知站臺的長為L，寬W（L≥W），所需磚塊的尺寸為600mm×600mm。優(yōu)化排樣的基本目標(biāo)：待鋪設(shè)的面磚在滿足站臺鋪設(shè)面上互不超越不重疊站臺邊界的前提下，不僅能快速重復(fù)進(jìn)行填充，而且提高磚塊的利用率。將排樣布局磚塊的利用率定義為Emax，利用率越大，磚塊的切割次數(shù)越少，磚塊的利用率就越高。排樣模型如下：首先，實(shí)現(xiàn)矩形件排樣的關(guān)鍵在于排放算法。在滿足任何一個(gè)待排放矩形在不超越材料的情況下，同時(shí)滿足BL（Bottom-Left）算法。其次，現(xiàn)場施工最重要的規(guī)則是：先角后邊。事實(shí)上，據(jù)觀察和了解，一般在填充面磚時(shí)，工人總是拉一根水平線，然后從水平線一邊開始向另一邊進(jìn)行填充。

以上排樣方案中，滿足了“一填到底”的鋪磚工藝要求。由于只討論了板材的寬W對待鋪設(shè)面磚長或?qū)捛笥嗟慕Y(jié)果，對于鋪設(shè)面磚后剩余的板材邊界面積，也可考慮其對面磚長或?qū)挼那笥嘟Y(jié)果。兩者可以同時(shí)進(jìn)行，再根據(jù)最后結(jié)果排樣。其目的是使不能填充的部分的面積達(dá)到最小，以此提高材料的利用率。

2 大曲率站臺算法具體設(shè)計(jì)

（1）具體步驟

步驟1：首先要導(dǎo)入站臺的CAD設(shè)計(jì)圖，并進(jìn)行圖形預(yù)處理。

步驟2：顯示出站臺的縮放圖像，并在右下角注明縮放比例。

步驟3：對站臺的大曲率不規(guī)則圖形進(jìn)行直線擬合，從而得到多邊形。

步驟4：對擬合后的多邊形按照幾何特征分類，主要為類平行四邊形和類梭形。

步驟5：選擇基于幾何特征的分割算法。

步驟6：判斷是否為類平行四邊形，若是，則按照鋪磚的規(guī)格進(jìn)行最小包絡(luò)矩形的分割，否則，進(jìn)行下一步判斷。

步驟7：判斷是否為類梭形，在多個(gè)類梭形的情況下考慮組合。

步驟8：對最終分割出的結(jié)果進(jìn)行用磚數(shù)量計(jì)算，切割次數(shù)計(jì)算等，得出評價(jià)結(jié)果。

（2）實(shí)際效果展示

在闡述了直線擬合和求取最小包絡(luò)矩形的方法后，可將南昌站站臺劃分為多個(gè)部分，分別求取各個(gè)部分的最小包絡(luò)矩形，并按照矩形的旋轉(zhuǎn)角度分割600mm×600mm的網(wǎng)柵，即為鋪磚效果圖。在分析了南昌站站臺后可歸納出兩種典型的鋪磚界面，分別是類平行四邊形和類梭形。圖2為原圖的鋪磚效果局部示意圖，圖3為改進(jìn)后的鋪磚方案后的局部示意圖。

（3）類平行四邊形鋪磚界面

以南昌站六站臺類平行四邊形部分（如圖2所示）為例，求其最小包絡(luò)矩形。

按照上述七個(gè)步驟求取最小包絡(luò)矩形：在最小包絡(luò)矩形中均勻分割網(wǎng)柵，生成改進(jìn)后的鋪磚效果示意圖，如圖3所示。

圖2 原南昌站六站臺局部鋪磚示意圖

圖3 改進(jìn)后的南昌站六站臺 局部鋪磚示意圖

3 對比與總結(jié)

在CAD中導(dǎo)出鋪磚效果圖后，通過分布式網(wǎng)柵計(jì)算可得到同面積同幾何邊界情況下改進(jìn)鋪磚方案前后所用磚數(shù)量和切割次數(shù)的多少。用磚數(shù)量越少，工程成本越低；切割次數(shù)越少，操作復(fù)雜度越小。

同面積同幾何邊界情況下改進(jìn)鋪磚算法前后的用磚數(shù)量和切割次數(shù)

①運(yùn)用CAD對南昌站大曲率站臺邊界平面圖進(jìn)行導(dǎo)出，對平面圖進(jìn)行直線擬合和多邊形的構(gòu)造。

②Matlab軟件對多邊形進(jìn)行矩形分割和最小包絡(luò)矩形的求解，生成利于鋪磚的規(guī)則矩形。

③根據(jù)待鋪磚的規(guī)格對各部分矩形進(jìn)行網(wǎng)柵分割處理，最終生成鋪磚方案示意圖。

通過解決關(guān)鍵技術(shù)進(jìn)一步改進(jìn)任意多邊形的分割方案并擴(kuò)充其使用范圍，對類似工程的設(shè)計(jì)與施工具有指導(dǎo)意義。