導(dǎo)數(shù)的幾個(gè)巧妙用

吳慧卓

摘要：從新的角度推導(dǎo)了商的求導(dǎo)法則、反三角函數(shù)的求導(dǎo)法則和初等幾何中的余弦定理，擴(kuò)展了求解思路和方法，也擴(kuò)大了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用范圍。

關(guān)鍵詞：求導(dǎo)法則；反三角函數(shù)；余弦定理

中圖分類號(hào)：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2018）34-0202-02

在高等數(shù)學(xué)里，利用乘積的求導(dǎo)法則和鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則不僅可以解決某些導(dǎo)數(shù)的計(jì)算問(wèn)題，還可以巧妙的被用來(lái)推導(dǎo)其他的求導(dǎo)法則和求導(dǎo)公式，甚至還可以利用導(dǎo)數(shù)建立微分方程來(lái)證明初等幾何中的余弦定理。下面，分別給出三種問(wèn)題的證明.

一、利用乘積的求導(dǎo)法則推導(dǎo)商的求導(dǎo)法則

注：這個(gè)方法簡(jiǎn)單易懂，但缺點(diǎn)是沒(méi)有首先證明商的導(dǎo)數(shù)的存在性。但對(duì)于較低要求的學(xué)生，還是有借鑒意義的。

二、利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法證明反三角函數(shù)的求導(dǎo)公式

注：一般教材推導(dǎo)反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式都是利用原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于反函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)這個(gè)關(guān)系來(lái)推導(dǎo)的，但很多學(xué)生對(duì)這個(gè)方法中的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不甚理解，而這個(gè)方法未涉及反函數(shù)求導(dǎo)法則。

三、利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則推導(dǎo)余弦定理

考慮由圖2給出的三角形ABC，證明余弦定理：

證明：由正弦定理知

解此微分方程，有

a =b +c -2bccosB

筆者從新的角度推導(dǎo)了商的求導(dǎo)法則、反三角函數(shù)的求導(dǎo)公式，所采用方法與一般教材的方法不同，該方法簡(jiǎn)潔易懂，更利于學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握。另外，導(dǎo)數(shù)除了可用于解決高等數(shù)學(xué)中的單調(diào)性、極值、拐點(diǎn)和凹凸等問(wèn)題外，還可以證明初等幾何中的余弦定理，進(jìn)一步擴(kuò)大了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用范圍。

參考文獻(xiàn)：

[1]王綿森，馬知恩.工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2006：95.

[2]王綿森，馬知恩.工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)）上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2006：101.

[3]高中數(shù)學(xué)必修5[M].杭州：江蘇教育出版社，2014：5.