常數(shù)列在等比數(shù)列求和中的應(yīng)用與推廣

趙圣濤

(山東省淄博市淄博中學(xué) 255000)

一、方法的提出——等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)

已知數(shù)列an是首項(xiàng)為a1，公比為q(q≠0)的等比數(shù)列，求該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.

解(1)當(dāng)q=1時(shí)，易知Sn=na1.

綜上，由(1),(2)可知，等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式為

因?yàn)閍n=a1qn-1，所以上面的公式也可寫成

因上述推導(dǎo)過(guò)程中的關(guān)鍵是如何構(gòu)造常數(shù)列，所以本文將該方法稱之為構(gòu)造常數(shù)列法，該方法的特點(diǎn)是思路簡(jiǎn)潔，沒(méi)有繁瑣的運(yùn)算，易于理解.

二、方法的推廣

1. 問(wèn)題提出

在數(shù)列求和的教學(xué)中，經(jīng)常遇到如下題型：

已知數(shù)列an滿足an=bncn，其中bn是公差不為0的等差數(shù)列，cn是公比不為1的等比數(shù)列，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.

對(duì)上述數(shù)列an，結(jié)合自身特點(diǎn)，通常稱其為等差乘等比型數(shù)列. 既然構(gòu)造常數(shù)列法能在等比數(shù)列求和中應(yīng)用，那么能否將該方法推廣到等差乘等比型數(shù)列求和中去呢？經(jīng)研究，這是切實(shí)可行的.

2. 問(wèn)題解決

不失一般性，設(shè)等差乘等比型數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=(kn+d)qn(k≠1且k≠0，q≠0且q≠1)，求數(shù)列數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.

該方法思路清晰，運(yùn)算量小，運(yùn)算技巧遠(yuǎn)低于錯(cuò)位相減法和文[1]中所介紹的方法，有較強(qiáng)的實(shí)用性和可操作性. 同時(shí)該方法和常數(shù)列緊密地聯(lián)系在了一起，進(jìn)一步深化了人們對(duì)常數(shù)列的認(rèn)識(shí)與理解.

三、方法應(yīng)用