向量問題中的最值學(xué)習(xí)札記

武增明

(云南省玉溪第一中學(xué) 653100)

一、從建立平面直角坐標(biāo)系入手

因?yàn)橄蛄靠梢杂米鴺?biāo)表示，所以通過建立平面直角坐標(biāo)系，把向量轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)，就把向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)或三角問題，接下來的工作就是去解決代數(shù)或三角問題.

1.從建立平面直角坐標(biāo)系入手，把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題

評(píng)注(1)建立平面直角坐標(biāo)系，將點(diǎn)A，B，C，D，P的坐標(biāo)表示出來是快速解決此題的關(guān)鍵.(2)以點(diǎn)A或點(diǎn)B或點(diǎn)D為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系的計(jì)算量比以點(diǎn)C為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系的計(jì)算量稍大一些.(3)由上述解法知，λ+μ有最小值1.

2.從建立平面直角坐標(biāo)系入手，把問題轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)最值問題

評(píng)注對(duì)于平面向量中涉及求數(shù)量積的最值(取值范圍)問題，建立平面直角坐標(biāo)系，可使問題變得簡單.

二、從向量的基本定義入手

從向量的基本定義、基本運(yùn)算法則、基本公式、線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算及向量的幾何意義入手，把向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)或三角函數(shù)問題.

1.從向量的基本定義入手，利用向量絕對(duì)值三角不等式及基本不等式解決問題

例3 (2017年高考浙江卷·文15理15)已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，則|a+b|+|a-b|的最小值是 ，最大值是 .

解析∵|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|=2，且|a+b|+|a-b|≥|(a+b)-(a-b)|=2|b|=4，∴|a+b|+|a-b|≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a+b與a-b反向時(shí)取等號(hào)，此時(shí)|a+b|+|a-b|取最小值4.

當(dāng)且僅當(dāng)|a+b|=|a-b|時(shí)取等號(hào)，此時(shí)a·b=0.

2.從向量的基本運(yùn)算入手，把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題

例4 上述例3.

解析設(shè)b=(2，0)，a=(x，y)，則x2+y2=1.

∵ 0≤x2≤1，

當(dāng)x2=1，即a∥b時(shí)，|a+b|+|a-b|有最小值4.

評(píng)注設(shè)a=(cosθ，sinθ)也可以.

3.從向量的坐標(biāo)形式入手，把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題

三、從圖形入手，通過圖形的直觀判斷解決最值問題

向量是溝通代數(shù)與幾何的重要工具，它集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性，又有幾何的直觀性，因而向量是幾何研究的一個(gè)有力工具.恰當(dāng)?shù)貙⒊橄蟮南蛄空Z言轉(zhuǎn)化為圖形語言，通過圖形的直觀性去觀察、分析，就可以尋找到解決問題的突破口，這種方法稱為圖解法，這種思路是破解向量背景下最值問題的一種有效途徑.

例6 (2010年高考浙江卷·理16)已知平面向量α、β(α≠0，α≠β)滿足|β|=1，且α與β-α的夾角為120°，則|α|的最大值是 .

評(píng)注(1)向量是既有大小又有方向的量，具有代數(shù)和幾何的雙重身份.本題由β-α聯(lián)想到向量減法的幾何意義，恰當(dāng)?shù)貙l件轉(zhuǎn)化為圖形語言，將向量問題轉(zhuǎn)化為三角問題，借助解三角形的方法來處理，有效地建立了向量與三角的聯(lián)系，使問題變得清晰明了.(2)此題解法較多(參見文[3])，筆者認(rèn)為上述解法直觀、簡捷，容易被學(xué)生接受，值得我們一線教師重視.

又由〈a-c，b-c〉=60°，知∠ACB=60°.

因此∠AOB與∠ACB互補(bǔ)，所以O(shè)、A、C、B四點(diǎn)共圓，根據(jù)圖形可得當(dāng)OC為該圓的直徑時(shí)，則|c|為最大.

此時(shí)，∠OAC=∠OBC=90°，又OA=OB=1，所以Rt△OAC≌Rt△OBC，得∠AOC=∠BOC=60°.

故選A.

評(píng)注(1)該題的“原型”是2008年高考浙江卷理科第9題：已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0，則|c|的最大值是( ).

將兩者進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)除了角度的設(shè)置不一樣，其余幾乎一致.這也提醒我們要多研究高考題，從高考題的求解中去總結(jié)思想方法，方能以不變應(yīng)萬變，進(jìn)而提高自己的解題能力.(2)此題被考生公認(rèn)為當(dāng)年高考難題，難倒了許多考生.究其原因，是沒有想到要從圖形角度思考，或者作出符合題意的圖形后，沒有想到四點(diǎn)共圓.此題可以說確實(shí)難，如果沒有想到上述解法，用其它方法很難求解，甚至解不出來.