時(shí)間序列非線性存在性檢驗(yàn)方法及其應(yīng)用

舒曉惠，宋金奇

（1.懷化學(xué)院 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，湖南 懷化 418000；2.江西師范大學(xué) 科技學(xué)院，南昌 330027）

0 引言

對(duì)經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列本身或者經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列組是否存在非線性的檢驗(yàn)，檢驗(yàn)思路可以分為參數(shù)檢驗(yàn)方法、非參數(shù)檢驗(yàn)方法以及視覺(jué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)（Ocular Econometrics）。對(duì)于參數(shù)檢驗(yàn)方法，Ramsey(1969)[1]提出了RESET檢驗(yàn)，其思路為將序列進(jìn)行AR(p)濾波后的殘差對(duì)序列的滯后項(xiàng)及估計(jì)值的k(k=2，3，...，s)次冪進(jìn)行回歸，使用 F 統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)；Keennan(1985)[2]簡(jiǎn)化為僅考慮k=2的情形，同時(shí)修正了RESET檢驗(yàn)可能存在的多重共線性；Tsay(1986)[3]則選擇將交叉項(xiàng)也考慮進(jìn)來(lái)以改進(jìn)檢驗(yàn)功效。RESET檢驗(yàn)主要對(duì)平均的線性偏離程度很敏感。對(duì)于非參數(shù)檢驗(yàn)方法，主要有Mcleod和Li(1983)[4]提出應(yīng)用Ljung-Box Q統(tǒng)計(jì)量對(duì)殘差序列平方檢驗(yàn)非線性性；Hinich(1982)[5]提出應(yīng)用雙譜檢驗(yàn)法，Ashley等(1986)[6]研究表明雙譜檢驗(yàn)對(duì)均值意義上的線性偏離很敏感。Brock,Dechert,Scheinkman(1996)[7]提出BDS檢驗(yàn)，其對(duì)均值意義上的線性偏離也很敏感。Lee等(1993)[8]提出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)檢驗(yàn)并與其他非線性檢驗(yàn)進(jìn)行MC比較，結(jié)果表明所用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)檢驗(yàn)除對(duì)雙線性模型檢驗(yàn)效果差之外，對(duì)其他模型則相近于或優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)檢驗(yàn)，同時(shí)研究認(rèn)為由于沒(méi)有一個(gè)支配性檢驗(yàn)方法，建議進(jìn)行組合檢驗(yàn)；舒曉惠（2010）提出使用平方殘差的Q檢驗(yàn)、BDS檢驗(yàn)以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)檢驗(yàn)方法進(jìn)行組合檢驗(yàn)。還有一種思路則是基于視覺(jué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)思想，即對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行圖形的直觀非線性分析：Hinich(1982)[5]以及Ashley等(1986)[6]通過(guò)對(duì)時(shí)間序列分析畫(huà)出雙譜三維圖，若序列為線性的，則譜圖是平坦的，若序列為非線性的，那么雙譜圖為不平坦的；PCA（Principal Component Analysis）主成分分析圖方法則是基于Packad等（1980）提出的對(duì)濾波后的時(shí)間序列進(jìn)行相空間重構(gòu)法，進(jìn)一步畫(huà)出主分量譜圖，若序列為線性的，則PCA譜圖為一條接近水平的直線，否則為非線性的；Gilmore(1993)[9]在對(duì)混沌的存在性檢驗(yàn)研究中提出鄰近返回檢驗(yàn)，同時(shí)畫(huà)出鄰近返回檢驗(yàn)圖，舒曉惠（2010）實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)圖中呈現(xiàn)一定的周期性規(guī)律，則直觀表明存在非線性特征。對(duì)于非線性非平穩(wěn)時(shí)間序列，對(duì)其進(jìn)行非線性存在檢驗(yàn)，是非線性協(xié)整理論中的重要環(huán)節(jié)。

近年來(lái)對(duì)于非線性協(xié)整領(lǐng)域的研究一直是非經(jīng)典計(jì)量理論中的一個(gè)前沿，對(duì)于時(shí)間序列是否存在被忽略的非線性特征，本文給出了組合檢驗(yàn)方法，并按照Lee等(1993)[8]的思路對(duì)我國(guó)貨幣需求函數(shù)展開(kāi)各種方法的實(shí)證研究。本文介紹了非線性存在性的組合檢驗(yàn)方法；運(yùn)用Gauss編程對(duì)我國(guó)貨幣需求函數(shù)的各變量序列展開(kāi)非線性存在性的組合檢驗(yàn)并給出實(shí)證研究結(jié)果。

1 非線性存在性的檢驗(yàn)方法

按照Lee等(1993)[8]給出的對(duì)于被忽略的非線性性的定義，對(duì)于隨機(jī)過(guò)程{Zt} ，令 Zt=(yt，X，其中，yt是一個(gè)標(biāo)量，Xt為k×1向量。Xt可以（但不是必須）包含一個(gè)常數(shù)和yt的滯后值。若對(duì)于某些參數(shù)θ*∈Rk有P[E(yt|Xt)=X′]＜1，則該線性模型則被稱(chēng)為“被忽略的非線性性”的。對(duì)于序列的非線性存在性檢驗(yàn)，基本思路是首先使用一個(gè)估計(jì)濾波器對(duì)線性結(jié)構(gòu)進(jìn)行濾波，具體做法是：用一個(gè)AR(p)模型來(lái)擬合序列，滯后階數(shù) p可用AIC來(lái)確定，其次，則是對(duì)估計(jì)的殘差進(jìn)行非線性存在性檢驗(yàn)，由于非線性形式的多樣性，目前并沒(méi)有一種較其他方法更好的檢驗(yàn)方法。依據(jù)Lee等(1993)[8]的研究結(jié)果，本文重點(diǎn)探討Q檢驗(yàn)、BDS檢驗(yàn)以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)檢驗(yàn)方法，并且引入BP加強(qiáng)型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

1.1 平方殘差的Q檢驗(yàn)

Mcleod和Li(1983)[4]提出基于平方殘差的Q檢驗(yàn)，其基本思路為對(duì)序列應(yīng)用ARMA(p,q)模型濾波后的殘差平方，再應(yīng)用Ljung-Box Q統(tǒng)計(jì)量來(lái)檢驗(yàn)序列的非線性存在性。該檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：

這里，{rt} 為殘差序列的i階自相關(guān)函數(shù)，T為樣本序列長(zhǎng)度，m為選取的檢驗(yàn)自相關(guān)的數(shù)目。

當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)，即檢驗(yàn)的時(shí)間序列模型為線性時(shí)，有統(tǒng)計(jì)量 Q(m)～χ2(m-p-q)。

本文按照Lee等(1993)[8]的研究思路，首先對(duì)檢驗(yàn)序列進(jìn)行AR(p)濾波，然后進(jìn)一步對(duì)濾波后的殘差序列再應(yīng)用上述式（1）統(tǒng)計(jì)量，則有，Q(m)～χ2(m-p)。

1.2 BDS檢驗(yàn)

BDS檢驗(yàn)由Brock,Dechert和Scheinkman(1987)在研究混沌存在性檢驗(yàn)中應(yīng)用關(guān)聯(lián)積分提出的，Liu,Granger和Heller(1992)研究表明，對(duì)于原假設(shè)為序列是獨(dú)立同分布的，BDS檢驗(yàn)也可以識(shí)別線性隨機(jī)過(guò)程與非線性隨機(jī)過(guò)程。其基本思路為：設(shè)原假設(shè)為{H0:xt是i.i.d.的，i=1,2,…,T}，利用相空間重構(gòu)技術(shù)，設(shè)相空間Rm中不相交的兩點(diǎn)i≠j，對(duì)于給定的某一臨界距離ε，則有相空間中關(guān)聯(lián)函數(shù)為：

這里，Θ(·)為Heaviside函數(shù)，即：當(dāng) u≥0，有θ(u)=1，否則θ(u)=0之間的歐氏距離（或其他范數(shù)‖·‖）。

令 S(m，ε)=Cm(ε)-[C1(ε)]m，則當(dāng)原假設(shè)成立，構(gòu)建統(tǒng)計(jì)量：M S(m，ε)漸近服從正態(tài)分布，其均值為0，方差為：C= ∫[F(z+ε)-F(z-ε)]dF(z),L= ∫[F(z+ ε)-F(z-ε)]2dF(z),而C1(ε)為C的相合估計(jì)，L的一致估計(jì)為：

由此，BDS統(tǒng)計(jì)量為：

實(shí)踐中，應(yīng)用BDS檢驗(yàn)時(shí)，首先對(duì)序列進(jìn)行AR(p)濾波將線性部分消除，則當(dāng)檢驗(yàn)拒絕原假設(shè)時(shí)，則說(shuō)明存在“被忽略的非線性”。

1.3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)檢驗(yàn)

由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以逼近任意函數(shù)，其具有廣泛的應(yīng)用，Lee等(1993)[8]研究了應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)檢驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)被忽略的非線性：當(dāng)時(shí)間序列為線性的原假設(shè)為真時(shí)，即（對(duì)于某些θ*），考慮連接增強(qiáng)型單隱層網(wǎng)絡(luò)的輸出個(gè)邏輯斯蒂累積分布函數(shù)：ψ(x)=1/[1+exp(-x)]），此時(shí)，最優(yōu)的網(wǎng)絡(luò)權(quán)數(shù)為；那么非線性存在性檢驗(yàn)可表述為對(duì)于特定的 q 和 γj將檢驗(yàn)假設(shè)=0（j=1，2，...，q）。Lee等(1993)[8]提出，檢驗(yàn)可以利用拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)。本文按此思路，將單個(gè)時(shí)間序列的非線性存在性檢驗(yàn)表述為：設(shè)時(shí)間序列xt與其滯后項(xiàng)存在關(guān)系如式（5）：

ut為白噪聲，且 ut～N(0，σ2)。

在線性性原假設(shè)下，則有 f*(xt-1，...，xt-p)=0 ；那么應(yīng)用 AR（p）對(duì) xt進(jìn)行濾波，得到殘差序列：，進(jìn)一步應(yīng)用加強(qiáng)型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)此殘差序列的輔助回歸方程如式（6）：

類(lèi)似Breitung（2001）的證明，式（2）的拉格朗日乘子（LM）得分統(tǒng)計(jì)量 TR2，在原假設(shè)為真時(shí)有：TR2～χ2(q)?？紤]到神經(jīng)元的共線性問(wèn)題，按照Lee等(1993)[8]的建議，可用其q*個(gè)主成份代替，則有TR2～χ2(q*)。

在具體檢驗(yàn)時(shí)，舒曉惠（2010）MC仿真研究發(fā)現(xiàn)，適合應(yīng)用的線性加強(qiáng)型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有:基于改進(jìn)的帶動(dòng)量的LM算法的BP加強(qiáng)型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，以及改進(jìn)的帶動(dòng)量的LM算法的加強(qiáng)型小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，其中小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型神經(jīng)元函數(shù)使用高斯小波和墨西哥帽（Mexican hat）小波。

加強(qiáng)型S型BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型為：

加強(qiáng)型小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型為：

這里，神經(jīng)元的函數(shù)為：高斯小波，ψ(x)=xexp(-x2/2)；墨西哥帽（Mexican hat）小波，ψ(x)=(1-x2)exp(-x2/2)。

2 應(yīng)用

2008年國(guó)際金融危機(jī)后，各國(guó)都在實(shí)施量化寬松貨幣政策，我國(guó)也實(shí)施了4萬(wàn)億的經(jīng)濟(jì)振興計(jì)劃，貨幣發(fā)行量迅速增長(zhǎng)；近年來(lái)經(jīng)濟(jì)進(jìn)入新常態(tài)，貨幣政策也有所改變，那么影響貨幣需求的變量序列的平穩(wěn)性發(fā)生變化了嗎？考慮到非線性性的存在，本文擬Q檢驗(yàn)、BDS檢驗(yàn)、BP加強(qiáng)型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、加強(qiáng)型高斯小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及加強(qiáng)型墨西哥帽小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法組合檢驗(yàn)貨幣需求函數(shù)的各變量序列進(jìn)行非線性存在性，進(jìn)而探討相關(guān)結(jié)論。

2.1 變量選擇和模型設(shè)定

考慮開(kāi)放經(jīng)濟(jì)條件下對(duì)貨幣需求函數(shù)影響[10，11]，根據(jù)我國(guó)貨幣供應(yīng)量的劃分，本文使用舒曉惠等（2009）[12]給出的狹義貨幣(M1)和廣義貨幣(M2)需求函數(shù)如下：

其中，m1為季節(jié)調(diào)整后的實(shí)際狹義幣余額，m2為季節(jié)調(diào)整后的廣義貨幣余額；規(guī)模變量，y為實(shí)際GDP，s為股票流通市值；國(guó)內(nèi)機(jī)會(huì)成本變量，rd為我國(guó)銀行間同業(yè)拆借加權(quán)平均利率，pd為通貨膨脹率；國(guó)際資本流動(dòng)的決定變量，e為匯率，ve為匯率波動(dòng)率，rf為國(guó)外利率，pf為國(guó)外通貨膨脹率；考慮我國(guó)經(jīng)濟(jì)開(kāi)放度的增加，引入制度變量外貿(mào)依存度op；ε1,ε2為誤差項(xiàng)。

2.2 變量序列數(shù)據(jù)來(lái)源、處理

選取1994年第1季度至2017年第3季度共95個(gè)季度數(shù)據(jù)作為計(jì)量分析的樣本。以1994年1季度為基期，環(huán)比計(jì)算CPI，然后通過(guò)定基CPI將GDP、股票流通市值、M1和M2折減為實(shí)際值，并應(yīng)用X12法進(jìn)行季節(jié)調(diào)整，得到y(tǒng)、s、m1、m2和e；我國(guó)及美國(guó)通貨膨脹率則根據(jù)我國(guó)季度環(huán)比CPI和美國(guó)CPI計(jì)算得到。先把進(jìn)出口總額按名義匯率折算成人民幣值表示，然后除以國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的季度數(shù)據(jù)得到貿(mào)易依存度(op)；匯率波動(dòng)率（ve）用名義匯率取對(duì)數(shù)后的當(dāng)期值減上期值乘以100得到。

2.3 非線性存在性檢驗(yàn)

按照Lee等(1993)[8]的探討，非線性存在性檢驗(yàn)用于探討平穩(wěn)序列的“非線性存在性”問(wèn)題。因此，首先對(duì)貨幣需求函數(shù)中的各變量序列分別進(jìn)行差分，應(yīng)用傳統(tǒng)單位根檢驗(yàn)方法ADF、DF-PP以及KPSS檢驗(yàn)，其結(jié)果如表1所示。

由表1，多數(shù)變量序列均以1%顯著性水平通過(guò)了差分后是平穩(wěn)的，但仍有m2，y，e三變量差分沒(méi)有通過(guò)ADF檢驗(yàn)，同時(shí)，rd，ve兩變量檢驗(yàn)結(jié)果KPSS檢驗(yàn)與ADF、DF-PP檢驗(yàn)存在差異，因此，進(jìn)一步對(duì)這些變量應(yīng)用單位根的秩檢驗(yàn)與全距檢驗(yàn)[12]，差分后的檢驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

綜合表1與表2的檢驗(yàn)結(jié)果，可以得到除序列ve是水平值平穩(wěn)，而其余變量為差分后平穩(wěn)。進(jìn)一步，對(duì)ve其他各差分序列進(jìn)行AR(p)濾波后，再對(duì)其殘差再應(yīng)用前述組合檢驗(yàn)方法進(jìn)行非線性存在性檢驗(yàn)。

步驟1，對(duì)于各檢驗(yàn)序列，按表1中的滯后期數(shù) p應(yīng)用AR(p)進(jìn)行擬合，得到濾波后的殘差序列，記為r(Dm1)，r(Dm2)，r(Dy)，r(Drd)，r(Drf)，r(Dpd)，r(Dpf)，r(ve)，r(Ds)，r(De)與r(DOp)。

步驟2，應(yīng)用Q檢驗(yàn)、BDS檢驗(yàn)、BP加強(qiáng)型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、加強(qiáng)型高斯小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及加強(qiáng)型墨西哥帽小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法組合檢驗(yàn)貨幣需求函數(shù)的各序列進(jìn)行非線性存在性檢驗(yàn)結(jié)果如下頁(yè)表3所示。

表1 單位根的ADF、DF-PP以及KPSS檢驗(yàn)結(jié)果

表2 單位根的秩檢驗(yàn)與全距檢驗(yàn)結(jié)果

由表3可知，各檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)結(jié)果一致通過(guò)存在非線性性的變量有：r(Dm1)，r(Dm2)，r(Drd)，r(Dpd)，r(ve)，r(Ds)與 r(DOp)；檢驗(yàn)結(jié)果基本一致的變量有：r(Dy)，r(Drf)，r(Dpf)與r(De)；序列ve由于滯后期為0，因此各方法無(wú)法給出檢驗(yàn)結(jié)果。綜合各檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的結(jié)果看，式（9）與式（10）建立的貨幣需求函數(shù)中，各經(jīng)濟(jì)變量序列均存在不同程度的被忽略的非線性。由此可見(jiàn)，在實(shí)證研究貨幣需求函數(shù)的穩(wěn)定性問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該充分考慮各經(jīng)濟(jì)序列可能存在的非線性對(duì)應(yīng)用傳統(tǒng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的影響；同時(shí)，基于線性性前提的線性協(xié)整理論在貨幣需求函數(shù)的穩(wěn)定性探討上的適用性也值得商榷。因此，也有必要在貨幣需求函數(shù)模型構(gòu)建也檢驗(yàn)中引入非線性研究方法。

表3 貨幣需求函數(shù)各變量序列的非線性存在性檢驗(yàn)結(jié)果

3 結(jié)論

本文對(duì)貨幣需求函數(shù)各序列按照Lee等(1993)[8]的思路，應(yīng)用Q檢驗(yàn)、BDS檢驗(yàn)、BP加強(qiáng)型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、加強(qiáng)型高斯小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及加強(qiáng)型墨西哥帽小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法等組合檢驗(yàn)方法進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn)，結(jié)果表明，組合檢驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)序列中的非線性特征。由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論上對(duì)任意函數(shù)具有無(wú)限逼近的特點(diǎn)，同時(shí)也存在過(guò)度擬合的問(wèn)題，因此，在進(jìn)行具體操作時(shí)，需要考慮不同神經(jīng)元函數(shù)的特性，選擇神經(jīng)元的個(gè)數(shù)與逼近誤差等，實(shí)證表明線性加強(qiáng)型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以應(yīng)用于非線性存在性的檢驗(yàn)。本文實(shí)證結(jié)果也表明，貨幣需求函數(shù)建模中的各經(jīng)濟(jì)變量序列均存在不同程度的被忽略的非線性，這有必要在貨幣需求函數(shù)模型構(gòu)建也檢驗(yàn)中引入非線性研究方法。最后，實(shí)證研究為經(jīng)濟(jì)變量序列存在的非線性特征提供了一個(gè)重要證據(jù)，這也進(jìn)一步要求我們?cè)谘芯拷?jīng)濟(jì)內(nèi)在規(guī)律中考慮非線性協(xié)整理論與方法的應(yīng)用。